2014届高三数学大一轮复习正弦定理和余弦定理学案理新人教A版

第五章 解三角形与平面向量
学案 23 正弦定理和余弦定理
导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

自主梳理

1.三角形的有关性质

(1)在△ABC 中,A+B+C=________; (2)a+b____c,a-b<c;

(3)a>b?sin A____sin B?A____B; (4)三角形面积公式:S△ABC=12ah=12absin C=12acsin B=_________________;

(5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B 或________________?三角形为等腰或直角三 角形;

sin(A+B)=sin

C,sin

A+B 2 =cos

C 2.

2.正弦定理和余弦定理

定理 内容

正弦定理
________________ =2R

余弦定理 a2=____________, b2=____________, c2=____________.

①a=__________,

b=__________,

变形 形式

c=__________; ②sin A=________, sin B=________, sin C=________; ③a∶b∶c=__________;

cos A=________________; cos B=________________; cos C=_______________.

④sin

a+b+c A+sin B+sin

C=sian

A

①已知两角和任一边,求另一角和其他

解决 的问题

两条边.

①已知三边,求各角;

②已知两边和其中一边的对角,求另一 ②已知两边和它们的夹角,求第三边和

边和其他两角.

其他两个角.

自我检测

1 . (2010· 上 海 ) 若 △ABC 的 三 个 内 角 满 足 sin A∶sin B∶sin C = 5∶11∶13 , 则

△ABC( )

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

2.(2010·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,

sin

C=2

3 sin

B,则

A

等于

()

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

3.(2011·烟台模拟)在△ABC 中,A=60°,b=1,△ABC 的面积为 3,则边 a 的值为( )

A.2 7

B. 21

C. 13

D.3

4.(2010·山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,

sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. 5.(2010·北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C=23π ,则 a=________.

探究点一 正弦定理的应用
例 1 (1)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,求角 A、C 和边 c; (2)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,求边 b 和 c.

变式迁移 1 (1)在△ABC 中,若 tan A=13,C=150°,BC=1,则 AB=________;
(2)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45°,则 B=________. 探究点二 余弦定理的应用 例 2 (2011·咸宁月考)已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a2+c2-b2 =ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值.

变式迁移 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,B=23π ,b= 13,a+c=4, 求 a.

探究点三 正、余弦定理的综合应用 例 3 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状.

变式迁移 3 (2010·天津)在△ABC 中,AABC=ccooss BC. (1)证明:B=C; (2)若 cos A=-13,求 sin???4B+π3 ???的值.

1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它是 对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用.
2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出 其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边 对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.
3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、余 弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是 解此类问题的突破口.

(满分:75 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010·湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B 等于

()

A.-2 3 2

B.2 3 2

C.-

6 3

D.

6 3

2.在△ABC 中 AB=3,AC=2,BC= 10 ,则A→B ? →AC等于

()

3

2

2

3

A.-2

B.-3

C.3

D.2

3.在△ABC 中,sin2A2=c- 2cb(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为(

)

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形

4.(2011·聊城模拟)在△ABC 中,若 A=60°,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小为( )

A.30°

B.45°

C.135°

D.45°或 135°

5.(2010·湖南)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120°,

c= 2a,则 A.a>b C.a=b

B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

()

题号

1

2

3

4

5

答案

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.在△ABC 中,B=60°,b2=ac,则△ABC 的形状为________________. 7.(2010·广东)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b

= 3,A+C=2B,则 sin C=________. 8.(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,且 BD∶DC∶AD=2∶3∶6,则
∠BAC 的大小为________.

三、解答题(共 38 分)

9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos A ? 2 5 ,→ABA→C=3. 25
(1)求△ABC 的面积;
(2)若 b+c=6,求 a 的值.

10.(12 分)(2010·陕西)在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC =14,DC=6,求 AB 的长.

11.(14 分)(2010·重庆)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b2+3c2 -3a2=4 2bc.
(1)求 sin A 的值; (2)求2sin???A+1π-4 ???csoisn???2BA+C+π4 ???的值.

答案 自主梳理

1.(1)π

(2)> (3)> > (4)12bcsin A (5)A+B=π2

a

b

c

2.sin A=sin B=sin C

b2

+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C ①2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C ②2aR

b 2R

c 2R

③sin A∶sin B∶sin C

b2+c2-a2 2bc

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

自我检测 1.C 2.A 3.C

4.π6 5.1

课堂活动区 例 1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和 边,但要注意对解的情况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断 方法如下:在△ABC 中.已知 a、b 和 A,求 B.若 A 为锐角,①当 a≥b 时,有一解;②当 a= bsin A 时,有一解;③当 bsin A<a<b 时,有两解;④当 a<bsin A 时,无解.若 A 为直角或 钝角,①当 a>b 时,有一解;②当 a≤b 时,无解.

解 (1)由正弦定理sian A=sibn B得,sin A= 23. ∵a>b,∴A>B,∴A=60°或 A=120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

c=bssiinn

C B=

6+ 2

2;

当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,

c=bssiinn

C B=

6- 2

2 .

综上,A=60°,C=75°,c=

6+ 2

2,

或 A=120°,C=15°,c=

6- 2

2.

(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.

a

b

c

由正弦定理sin A=sin B=sin C,

得 b=a·sisninA B=4 6,c=a·sisninA C=4 3+4.

∴b=4 6,c=4 3+4.

10 变式迁移 1 (1) 2 (2)60°或 120°

解析 (1)∵在△ABC 中,tan A=13,C=150°,

∴A 为锐角,∴sin A= 1 . 10

又∵BC=1.

∴根据正弦定理得 AB=BCs·insiAn

C =

210.

(2)由 b>a,得 B>A,由sian

b A=sin

B,

得 sin

B=bsian

A 25 6 = 50 ×

2 2=

3 2,

∵0°<B<180°

∴B=60°或 B=120°.

例 2 解 (1)∵a2+c2-b2=ac,

∴cos B=a2+2ca2c-b2=12.

∵0<B<π ,∴B=π3 .

(2)方法一 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a.

由余弦定理,得 cos A=b2+2cb2c-a2=5147.

∵0<A<π ,

∴sin A= 1-cos2A= 1241,

∴tan A=scions AA= 53. 方法二 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,

得 b= 7a.

由正弦定理,得 sin B= 7sin A.

由(1)知,B=π3 ,∴sin

A=

21 14 .

又 b= 7a>a,∴B>A,

∴cos A= 1-sin2A=5147.

∴tan A=scions AA= 53.

方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得 sin C=3sin A. ∵B=π3 ,∴C=π -(A+B)=2π3 -A,

∴sin(2π3 -A)=3sin A,

∴sin23π cos A-cos2π3 sin A=3sin A,

∴ 23cos A+12sin A=3sin A,

∴5sin A= 3cos A,

∴tan

A=scions

A A=

53.

变式迁移 2 解 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B

=a2+c2-2accos23π

=a2+c2+ac=(a+c)2-ac.

又∵a+c=4,b= 13,∴ac=3,

联立?????aac+=c= 3 4 ,解得 a=1,c=3,或 a=3,c=1.

∴a 等于 1 或 3.

例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.

解 方法一 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)

?a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],

∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,

由正弦定理,得

sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,

∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0,

∴sin 2A=sin 2B,由 0<2A<2π ,0<2B<2π ,

得 2A=2B 或 2A=π -2B,

即△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,

由正、余弦定理,即得

a2b×b2+2cb2c-a2=b2a×a2+2ca2c-b2,

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),

即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,

∴a=b 或 c2=a2+b2,

∴三角形为等腰三角形或直角三角形.

变式迁移 3 解题导引 在正弦定理sian A=sibn B=sicn C=2R 中,2R 是指什么?a=

2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 的作用是什么?

(1)证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知得

sin sin

BC=ccooss

BC.

于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0,

即 sin(B-C)=0.

因为-π <B-C<π ,从而 B-C=0.

所以 B=C.

(2)解 由 A+B+C=π 和(1)得 A=π -2B,

故 cos 2B=-cos(π -2B)=-cos A=13.

又 0<2B<π ,于是 sin 2B= 1-cos22B=2 3 2.

从而 sin 4B=2sin 2Bcos 2B=4 9 2, cos 4B=cos22B-sin22B=-79.

所以 sin???4B+π3 ???

=sin

4Bcos

π 3

+cos

4Bsin

π 3

=4

2-7 18

3.

课后练习区

1.D 2.D 3.B 4.B 5.A

6.等边三角形 解析 ∵b2=a2+c2-2accos B, ∴ac=a2+c2-ac, ∴(a-c)2=0,

∴a=c,又 B=60°,

∴△ABC 为等边三角形.

7.1

解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180°知,B=60°.

由正弦定理知,si1n A=sin 630°,
即 sin A=12. 由 a<b 知,A<B,∴A=30°, C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°, ∴sin C=sin 90°=1.

8.π4

解析 设∠BAD=α ,∠DAC=β ,

1

1

则 tan α =3,tan β =2,

∴tan∠BAC=tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

11 3+2 =1-13×12=1.

∵∠BAC 为锐角,∴∠BAC 的大小为π4 .

A 25 9.解 (1)因为 cos2= 5 , 所以 cos A=2cos2A2-1=35,sin A=45.……………………………………………………(4 分) 又由→AB·→AC=3 得 bccos A=3,所以 bc=5,

因此 S△ABC=12bcsin A=2.…………………………………………………………………(8 分) (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-156bc=20,所以 a=2 5.………(12 分) 10.解

在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得, cos∠ADC=AD22+ADD·C2-DCAC2

=1020×+1360×-6196=-12,…………………………………………………………………(6 分)

∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.…………………………………………………………(8 分)

在△ABD 中,AD=10,B=45°,

∠ADB=60°,

AB

AD

由正弦定理得sin∠ADB=sin B,

∴AB=AD·ssiinn∠B ADB=1s0isnin456°0°

10×

3 2



=5 6.…………………………………………………………………………(12

2

2

分) 11.解 (1)∵3b2+3c2-3a2=4 2bc,

∴b2+c2-a2=4 3 2bc.

由余弦定理得,cos

A=b2+2cb2c-a2=2

3

2 ,……………………………………………(4

分)

又 0<A<π ,故 sin A= 1-cos2A=13.……………………………………………………(6 分)

(2)原式=2sin???A+1π4-???scions???π2A-A+π4 ???………………………………………………………
(8 分)

=2sin???A+2π4si???ns2iAn???A-π4 ???

=2???

22sin

A+

22cos A?????? 22sin 2sin2A

A-

22cos

A???…………………………………………(11

分) sin2A-cos2A 7
= 2sin2A =-2.





A+π4

B+C+π4

1-cos 2A

72.……………………………………………………(14 分)






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