株洲市二中2012年高中新生综合素质测试数学试卷

株洲市二中 2012 年高中新生综合素质测试

数学试卷
本卷共 21 小题,时量 120 分钟,满分 150 分,试卷总页 4 页
一、选择题(本大题满分 40 分,每小题 5 分,在各题的四个选项中,只有一个是正确的) 1.下列四个结果中,比 ?1 小的数是 A、 ? 2
2

B、 (2 ? 3)0

C、 | ? sin 30? |

D、 3

?2

2.下列各式计算正确的是 A.3 2+2 3=5 5 B.2(a2)3=6a6 C. 10a6÷5a2=2a4 D.(a-2)2=a2-4 3、某中学数学兴趣小组 12 名成员的年龄情况如下: 年龄(岁) 人数 12 1 13 4 14 3 15 2 16 2

则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是 A、15,16 B、13,15 C、13,14 D、14,14 4.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°,那么∠2 的度数是 A、32° B、58° C、68° D、60°

第 4 题图

第 5 题图

5、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD, 对角线 AC⊥BC,∠B=60?,BC=2cm,则梯形 ABCD 的面积 为 A. 3 3 cm2 B.6 cm2 C. 6 3 cm2 D.12 cm2

6.为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”,张村和王村之间的道路需要进行改造, 施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了 两村之间道路的改造.下面能反映该工程尚未改造道路里程 y(公里)与时间 x(天)的函数关系的大致 图像是

A.

B.

C.

D.

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7. 如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图,则该立方体露在外面部分 (不包 括与桌面接触的部分)的表面积是( ) cm2。

正视图 A. 11

左视图 B.15

俯视图 C.18

D.22

, 8、如图所示,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1 2) ,且与 x 轴交点的横坐标分别为

x1,x2 ,其中 ?2 ? x1 ? ?1 , 0 ? x2 ? 1 ,下列结论:
① b ? 4ac ? 0 ;
2

y

② 4a ? 2b ? c ? 0 ; ④ ax ? bx ? c ? 0 的解集是: x1 ? x ? x2 .
2

2

③ 2a ? b ? 0 ;

其中正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(本题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 9.分解因式: x ? 2x ?15x ? ___________.
3 2

? 2 ?1

0

1

x

10、图象经过点 P(2cos30?, ? tan 60?) 的反比例函数的表达式为____________. 11.如图,RtΔ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,CD= 4,BD=3,则 sinA=__________________.
M

C
A E G F D

A

D

B
B C

第 11 题图

第 12 题图

12.在平行四边形 ABCD 的边 AB 和 AD 上分别取点 E 和 F,使 AE ? 对角线 AC 于 G,则

1 1 AB , AF ? AD ,连结 EF 交 3 4

AG 的值是 AC


?1

?1? 13.有三张卡片(背面完全相同)分别写在 12 , ? ? , ?3 ,把它们背面朝上洗匀后,小军从中抽 ?2?
取一张,记下这个数后放回洗匀,小明又从中抽出一张.李刚为他们俩设计了一个游戏规则:若两人抽 取的卡片上两数之积是有理数,则小军获胜,否则小明获胜. 则小军获胜的概率是_____________.

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14、如图,直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O(0,0) 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC ,B 的大小为______________________。

第 14 题图

第 15 题图

15、如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而 来 , ? ? 如 此 类 推 . 设 由 正 n 边 形 “ 扩 展 ” 而 来 的 多 边 形 的 边 数 为 an , 则 a6 ? ;

1 1 1 1 = ? ? ? ??? ? a3 a4 a5 a99

.

三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分)

5? x ? 2x ? 4 ? 1? ? 16. (本题满分 12 分) (1)解不等式组: ? 3 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ? 2 ? x ? 1? ? 6 ? x ?
x ? x ?1 ? 1 ? 2 (2)先化简,再求值:已知 x ? 2 ? 1 ,求 ? 2 ? ? 的值. ? x ? x x ? 2x ? 1 ? x
17、 (本题满分 12 分)株洲市市区的公共自行车系统自建立以来,因其绿色环保、方便快捷,受到广大 市民热烈欢迎,已经成为株洲市的一张名片。某班同学对市民使用公共自行车情况做过调查,结果为三 个层级,A 级:天天使用公共自行车;B 级:一周使用 3 次以上(包括 3 次) 级:一周使用 3 次以下, ;C 并将调查结果绘制成图① 和图② 的统计图(不完整) .请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了 名市民; (2)将图① 补充完整,并求出图② C 级所占的圆心角的度数; 中 (3) 根据抽样调查结果, 请你估计我市区近 1200000 名市民中大约有多少人经常使用公共自行车 (包 括 A 级和 B 级)? 人数 120 100 50 50 120 C级A级 B 级 60%

A级 B级 C级 图① 图② 图②

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18. (本题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k-

2

1 )=0. 2

⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形 ABC 的周长. 19、 (本题满分 13 分)为解决目前农民卖菜难的问题,一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜 180 吨,准备 加工后进行销售,销售后获利的情况如图所示: 已知该公司的加工能力是:每天能精加工 5 吨或粗加工 15 吨,但两种加工不能同时进行.受季节等 条件的限制,公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完. ⑴如果要求 20 天刚好加工完 180 吨蔬菜,则公司应安排几天精加工,几天粗加工? ⑵如果先进行粗加工,然后进行精加工. ①试求出销售总利润 W 元与精加工的蔬菜吨数 m 之间的函数关系式; ②若要求在不超过 18 天的时间内,将 180 吨蔬菜全部加工完后进行销售,则加工这批蔬菜最多可 获得多少利润?此时如何分配加工时间?
利润(百元) 2500 精加工 粗加工 精加工 粗加工 1000

100 20 100 0

加工量(吨)

20、(本题满分13分)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任 意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. ⑴ 求证:△AMB≌△ENB; ⑵当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由; ⑶ 当 AM+BM+CM 的最小值为 3 ? 1 时,求正方形的边长.

y

A E

D
O

A' N Q P C A x

N B

C'

M C

21. (本题满分 13 分)已知二次函数 y ? ? 与 y 轴交于点 C . (1)求点 B 坐标;

3 2 m x ? 3m x ? 2 的图象与 x 轴交于点 A ( 2 3 ,0)、点 B , 3

(2)点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 CO 向 O 点运动,到达点 O 后停止运动,过点 P 作 PQ// AC 交 OA 于点 Q , 将四边形 PQAC 沿 PQ 翻折, 得到四边形 PQA'C ' , 设点 P 的运动时间为 t . ①

3 2 m x ? 3m x ? 2 图象的对称轴上; 3 ②设四边形 PQA'C ' 落在第一象限内的图形面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值.
当 t 为何值时,点 A' 恰好落在二次函数 y ? ?
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– — – — –– — – — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – ——

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数学答卷
一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 题次 答案 1 2 3 4 5 6 7

座位号

8

座位号:

二. 填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 9、 11、 13、 15、 (1) 三. 解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分 10、 12、 14、 (2)

初中毕业学校:

学生姓名:

考场号:

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16、 (6 分) (1)

(2) 分) (6

17、 (12 分) (1)

(2)

(3)

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18、 (12 分)

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19、 (13 分)

20、 (13 分)

A
N E E

A

D

D

N B
B

M

M

C

C

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21、 (13 分)

y

A'
O

N Q P

A

x

C' C

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数 学 试 题
本卷共 20 小题 时量:120 分钟 分值:150 分
一、选择题(本大题满分 40 分,每小题 5 分,在各题的四个选项中,只有一个是正确的) 1.下列四个结果中,比 ?1 小的数是( A ) A、 ? 2
2

B、 (2 ? 3)0 (
2 3

C、 | ? sin 30? | C )

D、 3

?2

2.下列各式计算正确的是

A.3 2+2 3=5 5 B.2(a ) =6a6 C. 10a6÷5a2=2a4 D.(a-2)2=a2-4 3、某中学数学兴趣小组 12 名成员的年龄情况如下: 年龄(岁) 人数 12 1 13 4 14 3 15 2 16 2

则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是( D ) A、15,16 B、13,15 C、13,14 D、14,14

4.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°,那么∠2 的度数是( B ) A、32° B、58° C、68° D、60°

第 4 题图

第 5 题图

5、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD, 对角线 AC⊥BC,∠B=60?,BC=2cm,则梯形 ABCD 的面积 为( A ) A. 3 3 cm2 B.6 cm2 C. 6 3 cm2 D.12 cm2

6.为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”,张村和王村之间的道路需要进行改造, 施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了 两村之间道路的改造.下面能反映该工程尚未改造道路里程 y(公里)与时间 x(天)的函数关系的大致 图像是( D )

A.

B.

C.

D.
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7. 如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图,则该立方体露在外面部分 (不包 括与桌面接触的部分)的表面积是( C ) cm2。

正视图 A. 11

左视图 B.15

俯视图 C.18

D.22

8、如图所示,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1 2) ,且与 x 轴交点的横坐标分别为 ,

x1,x2 ,其中 ?2 ? x1 ? ?1 , 0 ? x2 ? 1 ,下列结论:
① b ? 4ac ? 0 ;
2

y

2

② 4a ? 2b ? c ? 0 ; ③ 2a ? b ? 0 ; ④ ax ? bx ? c ? 0 的解集是: x1 ? x ? x2 .
2

? 2 ?1

0

1

x

其中正确的有( D ) A.1 个 B.2 个

C.3 个

D.4 个

二、填空题(本题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 9.分解因式: x3 ? 2x2 ?15x ? ___________. x (x-5) (x+3) 10、图象经过点 P(2cos30?, ? tan 60?) 的反比例函数的表达式为____________. y ? ?

3 x

11.如图,RtΔ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,CD= 4,BD=3,则 sinA=__________________.
M A

3 5

C
D

A

D

B
B

E

G

F

C

第 11 题图 第 12 题图 12.在平行四边形 ABCD 的边 AB 和 AD 上分别取点 E 和 F,使 AE ? 对角线 AC 于 G,则

1 1 AB , AF ? AD ,连结 EF 交 3 4

AG 的值是 AC



1 7
?1

?1? 13.有三张卡片(背面完全相同)分别写在 12 , ? ? , ?3 ,把它们背面朝上洗匀后,小军从中抽 ?2?
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取一张,记下这个数后放回洗匀,小明又从中抽出一张.李刚为他们俩设计了一个游戏规则:若两人抽 取的卡片上两数之积是有理数,则小军获胜,否则小明获胜. 则小军获胜的概率是_____________. ____5/9__ 14、如图,直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O(0,0) 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC ,B 的大小为______________________。 30?

第 14 题图

第 15 题图

15、 如图, (1) 第 个多边形是由正三角形 “扩展 “而来, (2) 第 个多边形是由正四边形 “扩展” 而来, ?? 如此类推.设由正 n 边形 “扩展” 而来的多边形的边数为 an , a6 ? 则 ;

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? a3 a4 a5 a99



. 42 ,

97 ; 300

三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分)

5? x ? 2x ? 4 ? 1? ? 16. (本题满分 12 分) (1)解不等式组: ? 3 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ? 2 ? x ? 1? ? 6 ? x ? 5? x ? 2x ? 4 ? 1? ? 解: ? 3 2 ? 2 ? x ? 1? ? 6 ? x ?
由(1)得:x>-1 由(2)得: x ? 4

(1) (2)
所以原不等式组的解集为: ?1 ? x ? 4 ---------------------4 分

-5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

5

x

----------------------------------------------------6 分

x ? x ?1 ? 1 ? 2 (2)先化简,再求值:已知 x ? 2 ? 1 ,求 ? 2 ? ? 的值. ? x ? x x ? 2x ? 1 ? x
解:当 x ? 2 ? 1 时,

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x ? x ?1 ? 1 ? 2 ? 2 ?? ? x ? x x ? 2x ? 1 ? x x ?1 x ?( ? )? x x( x ? 1) ( x ? 1) 2 x2 ?1 ? x2 ?x x( x ? 1) 2 ?1 ? ( x ? 1) 2 1 ?? 2 ?
-----------------6 分 17、 (本题满分 12 分)株洲市市区的公共自行车系统自建立以来,因其绿色环保、方便快捷,受到广大 市民热烈欢迎,已经成为株洲市的一张名片。某班同学对市民使用公共自行车情况做过调查,结果为三 个层级,A 级:天天使用公共自行车;B 级:一周使用 3 次以上(包括 3 次) 级:一周使用 3 次以下, ;C 并将调查结果绘制成图① 和图② 的统计图(不完整) .请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了 名市民; (2)图① C 级是多少人?图② C 级所占的圆心角的度数是多少? 中 中 (3) 根据抽样调查结果, 请你估计我市区近 1200000 名市民中大约有多少人经常使用公共自行车 (包 括 A 级和 B 级)? 人数 120 100 50 50 120 C级A级 B 级 60%

A级 B级 C级 图① 图② 图② (1)200; ---------------------------------------------------------------4 分 (2)200-120-50=30(人) .

C 所占圆心角度数=360° ×

30 =54° . 200

---------------------------------8 分

(3)1200000× (25%+60%)=1020000.---------------------------------------12 分
2

18. (本题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k-

1 )=0. 2

⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形 ABC 的周长. 解: (1)

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第 13 页 共 17 页

1 ? ? (2k ? 1) 2 ? 16(k ? ) 2 2 ? 4k ? 12k ? 9 ? (2k ? 3) 2 恒大于等于0
所以:无论 k 取何值,这个方程总有实数根。-------5 分 (2)三角形 ABC 为等腰三角形,可能有两种情况: 1)b 或 c 中至少有一个等于 a= 4,即:方程 x -(2k+1)x+4(k可得 k=
2

1 )=0 有一根为 4, 2

5 2 ,方程为 x -6x+8=0.另一根为 2,此时三角形 ABC 周长为 10;------9 分 2 1 2 2)b=c 时, ? ? (2k ? 1) ? 16(k ? ) ? 0 2 3 2 得 k= ,方程为 x - 4x+4=0.得 b=c=2, 此时 ABC 不能构成三角形; 2
综上,三角形 ABC 周长为 10。 --------------------12 分 19、 (本题满分 13 分)为解决目前农民卖菜难的问题,一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜 180 吨,准备 加工后进行销售,销售后获利的情况如图所示: 已知该公司的加工能力是:每天能精加工 5 吨或粗加工 15 吨,但两种加工不能同时进行.受季节等 条件的限制,公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完. ⑴如果要求 20 天刚好加工完 180 吨蔬菜,则公司应安排几天精加工,几天粗加工? ⑵如果先进行粗加工,然后进行精加工. ①试求出销售总利润 W 元与精加工的蔬菜吨数 m 之间的函数关系式; ②若要求在不超过 18 天的时间内,将 180 吨蔬菜全部加工完后进行销售,则加工这批蔬菜最多可 获得多少利润?此时如何分配加工时间?
利润(百元) 2500 精加工 粗加工 精加工 粗加工 1000

100 20 100 0

加工量(吨)

解:⑴设应安排 x 天进行精加工,y 天进行粗加工, 根据题意得: ?

? x ? y ? 20 ?5 x ? 15 y ? 180

解得 ?

? x ? 12 ?y ? 8

答:应安排 12 天进行精加工,8 天进行粗加工. ······················· 分 ··········· ·········· · 3 ·········· ··········· · ⑵①精加工 m 吨,则粗加工(180-m)吨,根据题意得:
株洲市二中 2012 年高中新生综合素质测试数学试卷 第 14 页 共 17 页

由图:粗加工量 x 吨与其获得利润 y1 函数关系为: y1 ? 10 x , 精加工量 x 吨与其获得利润 y2 函数关系为: y2 ? ?

?5 x 0 ? x ? 20 , ?30m ? 500 x ? 20

故: W ? ?

?5m ? 10(180 ? m) 0 ? m ? 20 ?30m ? 500 ? 10(180 ? m) m ? 20

?1800 ? 5m 0 ? m ? 20 ------------------------------------------------------------ 8 分 ?? ?1300 ? 20m m ? 20
② 当 m ? 20 时,W 的最大值为 1800; m ? 20 时,m 越大,W 越大,但: ∵要求在不超过 18 天的时间内将所有蔬菜加工完, ∴

m 180 ? m ? ? 18 解得 m≤45. 5 15 ∴ m ? 45 时,W 有最大值 2200

∴精加工天数为 45÷5=9, 粗加工天数为(180-45)÷15=9. ∴安排 9 天进行粗加工,9 天进行精加工,可以获得最多利润为 22 万元. ---------------13 分 20、(本题满分13分)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任 意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. ⑴ 求证:△CMB≌△ENB; ⑵当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由; ⑶ 当 AM+BM+CM 的最小值为 3 ? 1 时,求正方形的边长.
A D

N E M

B

C

解:⑴∵△ABE 是等边三角形, ∴BC=BA=BE,∠ABE=60°. ∵∠MBN=60°, ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN. 即∠MBA=∠NBE. ∠MBC=∠NBE 又∵MB=NB, ∴△CMB≌△ENB(SAS). ??????5 分 ⑵如图,连接 CE,当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时, AM+BM+CM 的值最小.
株洲市二中 2012 年高中新生综合素质测试数学试卷 F E N

A

D

M B C

第 15 页 共 17 页

理由如下:连接 MN.由⑴知,△AMB≌△ENB, ∴AM=EN. ∵∠MBN=60°,MB=NB, ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM=MN. ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根据“两点之间线段最短” ,得 EN+MN+CM=EC 最短 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小,即等于 EC 的长.------------9 分 ⑶过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F, ∴∠EBF=90°-60°=30°. 设正方形的边长为 x,则 BF= 在 Rt△EFC 中, 2 2 2 ∵EF +FC =EC , ∴(
x 2 3 2 ) +( x+x) = 2 2

x 3 x,EF= . 2 2

? 3 ? 1? .
2

解得,x= 2 (舍去负值). ∴正方形的边长为 2 .------------------------13 分 21. (本题满分 13 分)已知二次函数 y ? ? 与 y 轴交于点 C . (1)求点 B 坐标; (2) P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 CO 向 O 点运动, 点 到达点 O 后停止运动, 过点 P 作 PQ// AC 交 OA 于点 Q ,将四边形 PQAC 沿 PQ 翻折,得到四边形 PQA'C ' ,设点 P 的运动时 间为 t . ①当 t 为何值时,点 A' 恰好落在二次函数 y ? ? 值. 解: (1)将 A( 2 3 ,0)代入 y ? ?

3 2 m x ? 3m x ? 2 的图象与 x 轴交于点 A ( 2 3 ,0)、点 B , 3

3 2 m x ? 3m x ? 2 图象的对称轴上; 3 ②设四边形 PQA'C ' 落在第一象限内的图形面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系式,并求出 S 的最大 3 2 3 m x ? 3m x ? 2 解得 m ? ???1 分 3 3

1 2 3 令 y ? 0 ,解得: x1 ? 3, x2 ? 2 3

∴函数的解析式为 y ? ? x ? 3 x ? 2

∴B( 3 ,0) ??????????????????????????3 分 (2)①由解析式可得点 C (0,?2)

3 3 2 Rt △ AOC 中 ∵ OC ? 2, OA ? 2 3 ∴ ?OAC ? 30?, ?OCA ? 60? ∴ ?PQA ? 150?, ?A' QH ? 60? , AQ ? A' Q
二次函数图象的对称轴方程为 x ?
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过点 A′作 A ' H ? x 轴于点 H ,则 QH ? AH

3 ? 3 ?OQ ? QH ? ∴? 2 ?OQ ? 2QH ? 2 3 ?
解得 QH ?

3 2

则 AQ ? 3 , CP ? 1 ∴ t ? 1 ???????????????????? 7 分 ②分两种情况: ⅰ)当 0 ? t ? 1 时,四边形 PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形 QA’N.

NQ ? A ' Q ? 3t
A' H ? AQ sin 60? ? 3t ?
S△ A' NQ ?

3 3 ? t 2 2

1 3 3 3 2 3t ? t ? t 2 2 4 3 3 当 t ? 1 时,有最大值 S ? 4 ⅱ)当 1 ? t ? 2 时,设四边形 PQA′C′落在
第一象限内的图形为四边形 M O QA′.

S四边形MOQA ' ? S梯形PQA 'C ' ? S?OPQ ? S?PC ' M ? ? 3 3 3 2 ? ?2 3 ? (2 ? t ) 2 ? ? (2 ? t ) 2 ? t 2 4 ? ? 2 5 3 2 t ? 4 3t ? 2 3 4 8 6 3 当 t ? 时,有最大值 S四边形MOQA ' ? 5 5 8 6 3 .-------13 分 综上:当 t ? 时,四边形 PQA’C’落在第一象限内的图形面积有最大值是 5 5 ??

株洲市二中 2012 年高中新生综合素质测试数学试卷

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