函数概念及表示方法的知识点总结

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 函数概念及表示方法的知识点总结 作者:杨红 来源:《理科考试研究· 高中》2013 年第 03 期 函数概念及表示方法这部分内容在高考中占有非常重要的地位,考查的知识点不是很难, 但知识点的范围却比较广,包括构成函数的要素,求简单函数的定义域和值域,以及有关映射 的概念.学生们在平常的学习过程中,也要多了解一些简单的分段函数,还要会选用合适的方 法来表示函数. 函数概念及表示方法是函数部分的基础知识,主要以概念和函数的三要素及表示方法为主. 近年来,函数的图象、分段函数也成为了高考考查的热点.在高考中,这部分内容对学生的要 求不是很高,是很好的得分点,函数的表达式及对应法则等内容,仍然是高考的重要内容.下 面将这一节中的知识点和考点进行梳理,并总结一些方法. 一、有关函数的一些基本概念梳理 1. 函数的定义:设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中任 何一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么这样的对应就叫做集合 A 到 B 的一个函数.也可简单地理解为“不能一对多,可以多对一”.记作:y=f(x),x∈ A.函数的定 义是一种理解型的内容,主要在选择题中考查. 2. 函数的定义域、值域:在函数 y=f(x),x∈ A 中,自变量 x 的取值范围 A 就是函数的 定义域,而与 x 的值对应的 y 值就是函数值,函数值 y 的集合就是值域. 函数的定义域和值域考查的形式有很多,选择题、填空题、以及解答题都会有出现,是高 考常考的内容.在求函数的定义域时,可以按照下面这几种方法来快速判断和求解: ① 函数是整式时,自变量 x 可以取任意的值,也就是定义域是全体实数. ② 函数是分式函数时,一定要注意,分母不能为 0,那么定义域就是除使分母为零外的一 切实数. ③ 如果函数是偶次根式时,就要注意被开方数不能为负;是奇次根式时,被开方数可以是 任意实数. ④ 当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y=tanx 中,x≠kπ+ π2 (k∈ Z). 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ⑥ 含有零(负)指数幂的时候,注意底数不能为 0. ⑦ 若函数中包含了若干个基本初等函数的四则运算,那么该函数的定义域很可能就是各基 本初等函数的定义域的交集. 3. 函数的三要素:函数定义域、值域以及对应法则. 4. 相等函数:必须是除定义域相同外,函数的对应法则也相同,这样的两个函数才是相等 函数. 二、函数的表示方法 表示函数的方法常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 三、区间 设 a,b 是两个任意实数,且 a 四、分段函数 分段函数是由几个不同区间段上的解析式组合而成的,所以分段函数的定义域是几个不同 定义域区间的并集.要注意的是:1.分段函数是一个函数,不能当成几个函数来看.在求解函数 解析式时,要先分段求解,最后结果却要把几个解析式合并到一起.2.求分段函数的定义域,要 先求出各段函数的定义域,最后求并集.3.在求分段函数的最大值与最小值时,要先把各段函数 中的最大和最小值求出来,再加以比较,得出结论. 五、映射的概念 映射的概念与函数的概念是相互联系的,如果 A、B 是两个非空集合,按照某种对应法则 f,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包 括集合 A,B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到 B 的映射. 映射的概念不太好理解,主要可以从以下几方面去理解: ① 对于集合 A、B 的对应法则 f 是一个确定的整体系统. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ② 对应法则 f 有“方向性”,也就是集合 A 到集合 B 的对应,不能简单地理解成 A 与 B 的对 应关系. ③ 集合 A 中的每一个元素由对应法则都可以在集合 B 中找到一个唯一的象. ④ 集合 A 中的不同元素在集合 B 中对应的象可以是同一个,但集合 B 中不同的象在集合 A 中不可能有相同的原象. ⑤ 集合 B 中的每一个元素在集合 A 中不一定都有原象. 六、复合函数 如果 y 是 u 的函数,记为 y=f(u),u 又是 x 的函数,记为 u=g(x),且 g(x)的值域 与 f(u)的定义域的交集非空,则确定了一个 y 关于 x 的函数 y=f(g(x)),这时 y 叫做 x 的复合函数,其中 u 叫做中间变量,y=f(u)叫做外层函数,u=g(x)叫做内层函数. 求抽象的复合函数的定义域主要有如下三种情形: ① 已知 f(x)的定义域为[a ,b],求 f [u (x)]的定义域,只需求不等式 a≤u(x)≤b 的解 集即可. ② 已知 f [u(x)]的定义域为[a,b],求 f (x)的定义域,只需求 u(x)的值域. ③ 已知 f [u (x)]的定义域为[a,b],求 f [g(x)]的定义域,就要先用上一步的方法求出 f (x)的定义域然后再求解. 对含有字母参数的函数,在求其定义域时,要根据具体的情况来对字母参数进行分类讨论. 与实际问题相关联的函数,函数的定义域不但要满足函数,还必须符合实际的意义. 函数及其表示方法在高考中所占的分值并不算高,但也不会考得很难,是一个很好的得分 点.这一节所涉及的概念和其他内容也比较多,教师一定要帮助学生们梳理好这一部分内容所 有知识点,这样才利于学生们对知识进行巩固和复习.如果可以把相关的题型归好类,让学生 们能够复习知识点的同时学会应用,熟悉常考的题型,那将会达到更好的复习效果.

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