河南省周口市西华三高2015-2016高二数学下学期期中试题

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河南省周口市西华三高 2015--2016 学年下学期周考试卷

高二数学试题(理)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如果复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,则

2b ? 3i 的值为( 1 ? bi
C. 5 )



A. 2 2.已知函数 y ?
/ A. y ?

B. 5

D. 15

x ? 1 ,则它的导函数是(
B. y ?
/

1 x ?1 2

x ?1 2( x ? 1) x ?1 2( x ? 1)

C. y ?
/

2 x ?1 x ?1
x

D. y ? ?
/

3.

? ? (cosx ? e
?

0

)dx ? (


??

A. 1 ? e

??

B. 1 ? e

C. ? e

??

D. ? e

?? ?1

4.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设 .否定“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( A.自然数 a, b, c 都是奇数 C.自然数 a, b, c 中至少有两个偶数 ) B.自然数 a, b, c 都是偶数 D.自然数 a, b, c 中至少有两个偶数或都是奇数 ) D. 640

5.6 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是( A. 288 B. 480 C. 600

6. 从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有 2 和

3 时, 2 必须排在 3 前面(不一定相邻),这样的三位数有 ( A. 108 个 B. 102 个 C. 98 个
7.设 a、b、c 都是正数,则 a ? A.都大于 2 B.都小于 2

) D. 96 个

1 1 1 、 b ? 、 c ? 三个数 b a c
C. 至少有一个大于 2 D. 至少有一个不小于 2

8.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B, C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有
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A. 24 种 B. 96 种 C. 120 种 D.144种 9. 【普】已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(e)+lnx,则 f′(e) =() ﹣1 A. 1 B. ﹣1 C. ﹣e D. ﹣e 【素】若 a= A. a<c<b 10. 【普】 ( A. ﹣36
9

,b= B. a<b<c

,c=

,则 a,b,c 大小关系是() C. c<b<a ) C. ﹣84 D. 84 f(﹣x)dx=( D. ) D. c<a<b

) 展开式中的常数项是( B. 36
n

【素】已知函数 f(x)=x +mx 的导函数 f′(x)=2x+2,则 A. 0 B. 3 C. ﹣

11. 【普】已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f (x)>2x+4 的解集为() A. (﹣1,1) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. (﹣∞,+∞) 【素】已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 x f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. (4,+∞) 12. 【普】定义在 R 上的可导函数 f(x) ,且 f(x)图象连续不断,f′(x)是 f(x)的导 数,当 x≠0 时,f′(x)+ A. 0 B. 1 >0,则哈数 g(x)=f(x)+ 的零点的个数() C. 2 D. 0 或 2 ,则不

【素】定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f′(x)

等式 f(x )> A. (1,2)

2

的解集为(

) C. (1,+∞) D. (﹣1,1)

B. (0,1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.由曲线 y ? x , y ? x , y ? 3 x 所围成的图形面积为.

14.二项式 (1 ?

1 1 10 ) 的展开式中含 5 的项的系数是. 2x x

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15. 【普】若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列

为 等差数列,公差

为 .类似地,若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项的积为 Tn,则数列为等 比数列,公比为.

【素】设函数 f(x)=

x x (x>0),观察:f1(x)=f(x)= ,f2(x)=f(f1(x))= x+2 x+2 x x x ,f3(x)=f(f2(x))= ,f4(x)=f(f3(x))= ,??根据以 3x+4 7x+8 15x+16 上事实,由归纳推理可得:当 n∈N*且 n≥2 时, fn (x) = f(fn - 1(x)) = ________.

3 2 16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, x ? ?? 2,2? 表示过原点的曲线,且在 x ? ?1 处的切

线的倾斜角均为

3 ? ,有以下命题: 4

3 ① f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? 4 x, x ? ?? 2,2? ;

② f ( x ) 的极值点有且只有一个; ③ f ( x ) 的最大值与最小值之和等于零; 其中正确命题的序号为_. 三 、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分 10 分)有 6 名同学站成一排,求: (1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法: (2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法: (3)甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.

18. (本题满分 12 分)已知 (2 x ? 3 x 2 ) n 的展开式中,第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式 系数之比是 7 : 2 . (Ⅰ)求展开式中含 x 项的系数; (Ⅱ)求展开式中系数最大的项.
11 2

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19. 【普】 (本题满分 12 分)设 f ?n ? ? ?1 ? (1)求 f (1) , f ( 2) , f (3) 的值;

? ?

1? ? ? n ,其中 n 为正整数. n?

n

(2)猜想满足不等式 f (n) ? 0 的正整数 n 的范围,并用数学归纳法证明你的猜想 【素】观察下列等式:

照以上式子规律: * (1)写出第 5 个等式,并猜想第 n 个等式; (n∈N ) * (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立. (n∈N )

20.推理与证明是数学的一般思考方式,也是学数学、做数学的基本功.请选择你认为合 适的证明方法,完成下面的问题. 已知 a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a,b,c,全为正数

21.已知复数 w 满足 w﹣4=(3﹣2w)i(i 为虚数单位) ,



(1)求 z; 2 (2)若(1)中的 z 是关于 x 的方程 x ﹣px+q=0 的一个根,求实数 p,q 的值及方程的另一 个根.

22.设函数 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ)当 0<a<2 时,求函数 g(x)=f(x)﹣x ﹣ax﹣1 在区间[0,3]的最小值.

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河南省周口市西华三高 2015--2016 学年下学期周考试卷

高二数学试题(理)
一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 B B A B B A D B CD CD BB AD 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

13、

10 63 14、 - 15、 3 8

x .①③ 16(﹣ ,1) (2 ? 1) x ? 2n
n

三.解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。
19 素解答: 解: (1)第 5 个等式为:5+6+7+8+9+10+11+12+13=9 ?(2 分) 2 * 第 n 个等式为:n+(n+1)+(n+2)+?+(3n﹣2)=(2n﹣1) ,n∈N ?(5 分) 2 (2)①当 n=1 时,等式左边=1,等式右边=(2﹣1) =1,所以等式成立.?(6 分) * 2 ②假设 n=k(k∈N )时,等式成立,即 k+(k+1)+(k+2)+?+(3k﹣2)=(2k﹣1)(k≥1, * k∈N ) 那么,当 n=k+1 时, (k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+?+(3k 2 2 ﹣2)+(3k﹣1)+3k+(3k+1)﹣k=(2k﹣1) +8k=[2(k+1)﹣1) , 即 n=k+1 时等式成立.?(11 分) * 根据(1)和(2) ,可知对任何 n∈N ,等式都成立.?(12 分) 点评:本题考查数学归纳法证明猜想成立,注意证明步骤的应用,缺一不可. 20 解答: 证明:假设 a,b,c 是不全为正的实数,由于 abc>0, 则它们只能是两负一正,不妨设 a<0,b<0,c>0.?(3 分) 又∵ab+bc+ca>0,∴a(b+c)+bc>0,且 bc<0, ∴a(b+c)>0.①?(7 分) 又∵a<0,∴b+c<0.∴a+b+c<0?(10 分) 这与 a+b+c>0 相矛盾. 故假设不成立,原结论成立,即 a,b,c 均为正实数.?(12 分) 点评:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证 法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是①与已知条件矛盾,②与假 设矛盾,③与定义、公理、定理矛盾,④与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑 难”问题的有力工具, 是数学证明中的一件有力武器. 推理与证明是数学的一般思考方式, 也是学数学、做数学的基本功. 21(1)解法一:利用复数的运算计算出 w,代入 z 即可得出. 解法二:设 w=a+bi(a、b∈R) ,利用复数的运算法则与复数相等解出 w,即可得出. 2 (2)把 z=3+i 代入关于 x 的方程 x ﹣px+q=0,利用复数相等解出 p,q,即可得出. 解答: 解: (1)解法一:∵w(1+2i)=4+3i,∴ ∴ . ,
2

解法二:设 w=a+bi(a、b∈R) ,a+bi﹣4=3i﹣2ai+2b,
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,∴

∴w=2﹣i, 以下解法同解法一. 2 (2)∵z=3+i 是关于 x 的方程 x ﹣px+q=0 的一个根, 2 ∴(3+i) ﹣p(3+i)+q=0(8﹣3p+q)+(6﹣p)i=0, ∵p,q 为实数,∴ 解得 p=6,q=10. 解方程 x ﹣6x+10=0 得 ∴实数 p=6,q=10,方程的另一个根为 x=3﹣i. 22 解答: 解: (Ⅰ)∵ . (2 分)
2



由 f'(x)>0,得﹣2<x<﹣1 或 x>0;由 f'(x)<0,得 x<﹣2 或﹣1<x<0. 又∵f(x)定义域为(﹣1,+∞) , ∴所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,0) (5 分) 2 (Ⅱ)由 g(x)=f(x)﹣x ﹣ax﹣1 即 g(x)=2x﹣ax﹣2ln(1+x) , 令 g'(x)=0 由 0<a<2 及 x>﹣1,得 且当 时 f(x)取得极小值. (8 分) (7 分)

∵求 f(x)在区间[0,3]上最小值 ∴只需讨论 ①当 时 与 3 的大小 <3 (10 分)

所以函数 g(x)在[0,3]上最小值为 ②当 时 =3

所以函数 g(x)在[0,3]上最小值为 ③当 时 >3

(11 分)

所以函数 g(x)在[0,3]上最小值为 g(3)=6﹣3a﹣2ln4, (13 分)

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所以,综上可知当

时,函数 g(x)在[0,3]上最小值为

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