2018年高考数学二轮复习专题3三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质课后强化训练20171227137

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专题三

第一讲 三角函数的图象与性质

A组 3 π 1. (2017·广州模拟)已知 sinφ = , 且 φ ∈( , π ), 函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0) 5 2 π π 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,则 f( )的值为 ( B 2 4 3 A.- 5 3 C. 5 4 B.- 5 4 D. 5 π ,得 2 )

[解析] 由函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π π 4 到其最小正周期为 π , 所以 ω =2, f( )=sin(2× +φ )=cosφ =- 1-sin2φ =- . 4 4 5 2. (2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图像如图所示, 则 f(x)的单调递 减区间为 ( D )

1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 3? ? 1 C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4? ? 4

1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ?

[解析]

1 π ω +φ =2kπ + , ? ?4 2 由五点作图知,? 5 3π ω +φ =2kπ + , ? ?4 2

k∈Z,可得 ω =π ,φ = ,

π 4

π? π 1 3 ? 所以 f(x)=cos?π x+ ?.令 2kπ <π x+ <2kπ +π ,k∈Z,解得 2k- <x<2k+ ,k 4? 4 4 4 ? 1 3? ? ∈Z,故单调减区间为?2k- ,2k+ ?,k∈Z.故选 D . 4 4? ?

1

3.若 f(x)=2sin(ω x+φ )+m,对任意实数 t 都有 f( -3,则实数 m 的值等于 ( C ) A.-1 C.-5 或-1 B.±5 D.5 或 1

π π π +t)=f( -t),且 f( )= 8 8 8

π π [解析] 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是 x= 时,函数 f(x) 8 8 取得最值,因此有±2+m=-3,∴m=-5 或 m=-1,选 C. π π 4.函数 y=cos(x+ )+sin( -x)具有性质 ( B 2 3 π A.最大值为 1,图象关于点( ,0)对称 6 π B.最大值为 3,图象关于点( ,0)对称 6 π C.最大值为 1,图象关于直线 x= 对称 6 π D.最大值为 3,图象关于直线 x= 对称 6 [解析] y=-sinx+ =- 3( 3 1 cosx- sinx 2 2 )

3 1 π sinx- cosx)=- 3sin(x- ), 2 2 6

π ∴最大值为 3,图象关于点( ,0)对称. 6 1 5.(2017·重庆测试)设 x0 为函数 f(x)=sin π x 的零点,且满足|x0|+f(x0+ )<33, 2 则这样的零点有 ( C A.61 个 C.65 个 ) B.63 个 D.67 个

[解析] 依题意,由 f(x0)=sin π x0=0,得 π x0=kπ ,k∈Z,x0=k,k∈Z.当 k 是 1 1 π 1 奇数时,f(x0+ )=sin[π (k+ )]=sin(kπ + )=-1,|x0|+f(x0+ )=|k|-1<33, 2 2 2 2 1 1 |k|<34,满足这样条件的奇数 k 共有 34 个;当 k 是偶数时,f(x0+ )=sin[π (k+ )]= 2 2 π 1 sin(kπ + )=1,|x0|+f(x0+ )=|k|+1<33,|k|<32,满足这样条件的偶数 k 共有 31 2 2 个.综上所述,满足题意的零点共有 34+31=65 个. 故选 C.
2

π 6.(2017·开封市高三一模)已知函数 f(x)=2sin(π +x)sin(x+ +φ )的图象关于 3 π 原点对称,其中 φ ∈(0,π ),则 φ =__ __. 6 [解析] 本题主要考查三角函数的奇偶性,诱导公式. 因为 f(x) = 2sin(π + x)sin(x + π + φ ) 的图象关于原点对称,所以函数 f(x) = 3

π π 2sin(π +x)sin(x+ +φ )为奇函数,则 y=sin(x+ +φ )为偶函数,又 φ ∈(0,π ), 3 3 π 所以 φ = . 6 7.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给 出下列四个函数: ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)= 2(sinx+cosx); ③f(x)=sinx; ④f(x)= 2sinx+ 2. 其中为“互为生成”函数的是__①④__.(填序号). [解析] 首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)= 2sin(x+ π ),②f(x)=2sin(x 4

π + ),③f(x)=sinx,④f(x)= 2sinx+ 2,可知③f(x)=sinx 的图象要与其他的函数 4 图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx 不能 与其他函数成为“互为生成”函数,同理①f(x)= 2sin(x+ + π )的图象与②f(x)=2sin(x 4

π π )的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)= 2sinx+ 2的图象向左平移 个 4 4

π 单位,再向下平移 2个单位即可得到①f(x)= 2sin(x+ )的图象,所以①④为“互为生 4 成”函数. 1 2 8.已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 a 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 [解析] (1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+ cos4x 2

3

1 = (sin4x+cos4x) 2 = 2 π sin(4x+ ) 2 4

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α )= 2 π ,所以 sin(4α + )=1. 2 4

π 因为 α ∈( ,π ), 2 π 9π 17π 所以 4α + ∈( , ), 4 4 4 π 5π 9π 所以 4α + = ,故 α = . 4 2 16 π 9.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )在某一个周期内 2 的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ω x+φ 0 π 2 π 3 0 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

x Asin(ω x+φ )

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)的图 5π 象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),求 θ 的最小值. 12 π [解析] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- ,数据补全如下表: 6 ω x+φ 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0

x Asin(ω x+φ )

π 且函数解析式为 f(x)=5sin(2x- ). 6

4

π (2)由(1)知 f(x)=5sin(2x- ), 6 π 则 g(x)=5sin(2x+2θ - ). 6 因为函数 y=sin x 图象的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. π 令 2x+2θ - =kπ , 6 解得 x=


2



π -θ ,k∈Z. 12

5π 由于函数 y=g(x)的图象关于点( ,0)成中心对称, 12 所以令



π 5π + -θ = , 2 12 12

解得 θ =


2

π - ,k∈Z. 3

π 由 θ >0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6 B组 π 1.(2016·四川卷)为了得到函数 y=sin(2x- )的图象,只需把函数 y=sin2x 的图 3 象上所有的点 ( D ) π A.向左平行移动 个单位长度 3 π C.向左平行移动 个单位长度 6 π B.向右平行移动 个单位长度 3 π D.向右平行移动 个单位长度 6

π π [解析] 因为 y=sin(2x- )=sin[2(x- )],所以只需把函数 y=sin2x 的图象上 3 6 π 所有的点向右平行移动 个单位长度即可,故选 D. 6 π π 2.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的图象关于直线 x= 对称,它的 2 3 最小正周期为 π ,则函数 f(x)图象的一个对称中心是 ( B π A.( ,1) 3 5π C.( ,0) 12 [解析] 由题意知 T=π ,∴ω =2, π π π π 由函数图象关于直线 x= 对称,得 2× +φ = +kπ (k∈Z),即 φ =- +kπ (k 3 3 2 6
5

)

π B.( ,0) 12 π D.(- ,0) 12

∈Z). π π 又|φ |< ,∴φ =- , 2 6 π ∴f(x)=Asin(2x- ), 6 π π k 令 2x- =kπ (k∈Z),则 x= + π (k∈Z). 6 12 2 π ∴一个对称中心为( ,0),故选 B. 12 3 .已知函数 f(x) = 1 + cos2x - 2sin (x - ( D ) A.f(x)是最小正周期为 π 的偶函数 B.f(x)的一条对称轴是 x= C.f(x)的最大值为 2 π D.将函数 y= 3sin2x 的图象向左平移 得到函数 f(x)的图象 6 π [解析] f(x)=cos2x+cos(2x- ) 3 1 3 =cos2x+ cos2x+ sin2x 2 2 π = 3sin(2x+ ),故选 D. 3 4 .(2017·张掖一模 ) 定义运算: ? (ω >0) 的图象向左平移 ( B ) 1 A. 5 11 C. 5 B.1 D.2 π 3
2

π ) ,其中 x ∈ R ,则下列结论中正确的是 6

? 3 sinω x? ?a1 a2? ? = a1a4- a2a3. 将函数 f(x) =? ? ?a3 a4? ?1 cosω x ?

5π 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 ω 的最小值是 6

[解析] 本题主要考查三角函数的图象和性质. π 由题意可得 f(x)= 3cosω x-sinω x=2cos(ω x+ ),将函数 f(x)的图象向左平移 6 5π 5π π 个单位后得到 g(x)=2cos[ω (x+ )+ ]=2cos[ω x+ 6 6 6 ω+ 6 π ]的图象,g(x)

6

为偶函数,所以

ω+ 6

π

=kπ ,k∈Z,所以 ω 的最小值是 1,故选 B.

5.给出下列四个命题: π kπ 3π ①f(x)=sin(2x- )的对称轴为 x= + ,k∈Z; 4 2 8 ②函数 f(x)=sinx+ 3cosx 最大值为 2; ③函数 f(x)=sinxcosx-1 的周期为 2π ; π π π ④函数 f(x)=sin(x+ )在[- , ]上是增函数. 4 2 2 其中正确命题的个数是 ( B A.1 C.3 π π [解析] ①由 2x- =kπ + ,k∈Z, 4 2 得 x= 正确; π ②由 f(x)=sinx+ 3cosx=2sin(x+ )知, 3 函数的最大值为 2,故②正确; 1 ③f(x)=sinxcosx-1= sin2x-1,函数的周期为 π ,故③错误; 2 π π ④函数 f(x)=sin(x+ )的图象是由 f(x)=sinx 的图象向左平移 个单位得到的,故 4 4 ④错误. 6.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< π π 所示,则函数 f(x)的解析式为__f(x)=2sin( x+ )__. 4 4 π ,x∈R)的图象的一部分如图 2 ) B.2 D.4


2



3π π kπ 3π (k∈Z),即 f(x)=sin(2x- )的对称轴为 x= + ,k∈Z,故① 8 4 2 8

[分析] 观察图象,由最高点与最低点确定 A,由周期确定 ω ,由特殊点的坐标确定 φ.

7

2π [解析] 由图象知 A=2,T=8= , ω π π 所以 ω = ,得 f(x)=2sin( x+φ ). 4 4 π π π 由对应点得当 x=1 时, ×1+φ = ? φ = . 4 2 4 π π 所以 f(x)=2sin( x+ ). 4 4 π 7.已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0)在( ,π )上单调递减,则 ω 的取值范 2 1 5 围是__[ , ]__. 2 4 π [解析] f(x)=sin ω x+cos ω x= 2sin(ω x+ ), 4 π π 3π 令 2kπ + ≤ω x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 2kπ π 2kπ 5π 解得 + ≤x≤ + (k∈Z). ω 4ω ω 4ω π π 由题意,函数 f(x)在( ,π )上单调递减,故( ,π )为函数单调递减区间的一个子 2 2 区间, 2kπ π π ? ? ω +4ω ≤ 2 , 故有? 2kπ 5π ? ω +4ω ≥π , ? 1 5 解得 4k+ ≤ω ≤2k+ (k∈Z). 2 4 1 5 3 由 4k+ <2k+ ,解得 k< . 2 4 8 由 ω >0,可知 k≥0, 1 5 因为 k∈Z,所以 k=0,故 ω 的取值范围为[ , ]. 2 4 π π 2 8.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )+2cos x,x∈R. 3 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)求函数 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 [ 解析 ] (1) ∵ f(x) = sin2x·cos π π π π + cos2x·sin + sin2x·cos - cos2xsin + 3 3 3 3
8

π cos2x+1=sin2x+cos2x+1= 2sin(2x+ )+1, 4 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π (2)由(1)知,f(x)= 2sin(2x+ )+1. 4 π π ∵x∈[- , ], 4 4 π π π ∴令 2x+ = 得 x= , 4 2 8 π π ∴f(x)在区间[- , ]上是增函数; 4 8 π π 在区间[ , ]上是减函数, 8 4 π π π 又∵f(- )=0,f( )= 2+1,f( )=2, 4 8 4 π π ∴函数 f(x)在区间[- , ]上的最大值为 2+1,最小值为 0. 4 4 1 9.(2017·福建质检)已知函数 f(x)=sin xcos x+ cos 2x. 2 (1)若 tan θ =2,求 f(θ )的值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由函数 y=f(x)的图象上所有的点向右平移 个单位长度 4 而得到,且 g(x)在区间(0,m)内是单调函数,求实数 m 的最大值. [解析] (1)因为 tan θ =2, 1 所以 f(θ )=sin θ cos θ + cos 2θ 2 1 2 =sin θ cos θ + (2cos θ -1) 2 =sin θ cos θ +cos θ -
2 2

1 2

= =

sin θ cos θ +cos θ 1 - 2 2 sin θ +cos θ 2 tan θ +1 1 1 - = . 2 tan θ +1 2 10

1 1 (2)由已知得 f(x)= sin 2x+ cos 2x 2 2 = 2 π sin(2x+ ). 2 4
9

依题意, 得 g(x)= 即 g(x)= 2 π π sin[2(x- )+ ], 2 4 4 2 π sin(2x- ). 2 4

因为 x∈(0,m), π π π 所以 2x- ∈[- ,2m- ], 4 4 4 又因为 g(x)在区间(0,m)内是单调函数, π π 3π 3π 所以 2m- ≤ ,即 m≤ ,故实数 m 的最大值为 . 4 2 8 8

10


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