高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(师)_图文

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,?,做第 n 步有 mn 种不同 的方法,那么完成这件事共有:

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法.

N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法.

3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 C3
1
1 3 A4

然后排首位共有 C4

最后排其它位置共有

C4
3

1

A4

3

C3

1

由分步计数原理得 C4C3 A4

1

1

? 288

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
甲 乙 丙 丁
5 2 2 A5 A2 A2 ? 480 种不同的排法

三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 种 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 A5 5 种, 种
4 5 4 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5 A 6 A6

四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
3 A7 7 / A3 4 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 A7 4

(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

1 种坐法,则共有 A 7 种

方法。 五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原 理共有 7 种不同的排法 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 (8-1) !种排法即 7 !
C D E F G H B A A B C D E F G H A

6

A4 4 并从此位置把圆形展成直线其余

7 人共有

七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
5 2 1 5 A1 4 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 4 A 4 A 5 种

A2 4 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有

1

八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5
2
2

A4 4种

A4 4
2 2 A2 2 种排法,再排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有

九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有
2 2 A2 2 A 2 A 2 种排法

.

十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额 分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C9 种分法。 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C5 ,和为偶数的取法共有 C5C5 种,符合条件的取法共有 C5C5
1 2 3 ? C5 ?9
3 6

1

2

1

2

3 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 ? C5

十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三 步取 EF 该分法记为 (AB,CD,EF), 则 C6 C4 C2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有
2 2 2 2 2 2

A3 3 种取法

,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2

2

2

2

3 种分法。 / A3

十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱 歌人员共有 C3 C3 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C5C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有
2 2 1 1 2 2 2 C52C52 种,由分类计数原理共有 C3 C3 ? C5 C3C4 ? C5 C5 种。 2 2 1 1 2

十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时, 则 4,5 号球有只有 1 种装法, 同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原 理有 2C5 种 十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析: 先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13, 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因 数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为: C5 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8 成 3 ? 58 ? 174 对异面直线 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解: 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其 2
4 1 2 3 4 5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5
2 2 3

?12 ? 58 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连

中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C1 种。再从 5×5 方阵选 出 3×3 方阵便可解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有
3 3 1 1 1 C5 C5 C3C2C1 选法。 3 3

1

1

1

十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数? 解: N
5 4 3 2 1 ? 2 A5 ? 2 A4 ? A3 ? A2 ? A1 ? 297

十九.树图策略 例 19 . 3 人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5 次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 ______

N ? 10

二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种 不同的取法 解:

红 黄 兰

1 1 3

1 2 2

1 3 1

2 1 2

2 2 1

3 1 1

取法

1 1 C5 C4

1 2 C5 C4

1 3 C5 C4

1 C52 C3

C52 C32

3 1 C5 C2

二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复 的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 . 分析: 因同一学生可以同时夺得 n 项冠军, 故学生可重复排列, 将七名学生看作 7 家“店”, 五项冠军看作 5 名“客”, 每个“客” 有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 种.
5

3


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