2019年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时跟踪检测(二十四)平面向量的概念及其线性运算 文

2019 年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时跟踪检测(二十
四)平面向量的概念及其线性运算 文
一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,若―A→B +―A→D =λ ―A→O ,则 λ = ________. 解析:根据向量加法的运算法则可知,―A→B +―A→D =―A→C =2―A→O ,故 λ =2. 答案:2 2.(xx·海门中学检测)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三点满足―O→C = 23―O→A +13―O→B ,则||――AA→→CB ||=______. 解析:因为―O→C =23―O→A +13―O→B ,所以―A→C =―O→C -―O→A =-13―O→A +13―O→B =13(―O→B -―O→A ), 所以―A→C =13―A→B ,所以||― ―AA→ →BC ||=13. 答案:13 3.在四边形 ABCD 中,―A→B =a+2b,―B→C =-4a-b,―C→D =-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是________. 解析:由已知,得―A→D =―A→B +―B→C +―C→D =-8a-2b=2(-4a-b)=2―B→C ,故―A→D ∥―B→C . 又因为―A→B 与―C→D 不平行,所以四边形 ABCD 是梯形. 答案:梯形 4.(xx·扬州模拟)在△ABC 中,N 是 AC 边上一点且―A→N =12―N→C ,P 是 BN 上一点,若―A→P =m―A→B +29―A→C ,则实数 m 的值是________. 解析:如图,因为―A→N =12―N→C ,P 是―B→N 上一点.所以―A→N =13―A→C , ―A→P =m―A→B +29―A→C =m―A→B +23―A→N ,因为 B,P,N 三点共线,所以 m+23 =1,则 m=13. 答案:13

5.已知?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O,且―O→A =a,―O→B =b,则―D→C =________,―B→C

=________.(用 a,b 表示)

解析:如图,―D→C =―A→B =―O→B -―O→A =b-a,―B→C =―O→C -―O→B =-―O→A -―O→B =-a-

b.

答案:b-a -a-b

6.(xx·江阴高级中学测试)已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线,

且 b+c 与 a 共线,则向量 a+b+c=________.

解析:依题意,设 a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即 a-c=mc

-na.又 a 与 c 不共线,于是有 m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0.

答案:0

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1.已知△ABC 和点 M 满足―M→A +―M→B +―M→C =0.若存在实数 m,使得―A→B +―A→C =m―A→M 成

立,则 m=________.

解析:由―M→A +―M→B +―M→C =0 得点 M 是△ABC 的重心,可知―A→M =13(―A→B +―A→C ),即―A→B

+―A→C =3―A→M ,则 m=3.

答案:3

2.已知向量 a,b 不共线,且 c=λ a+b,d=a+(2λ -1)b,若 c 与 d 共线反向,则

实数 λ =________. 解析:由于 c 与 d 共线反向,则存在实数 k 使 c=kd(k<0),于是 λ a+b=
k[a+ λ - b].

整理得 λ a+b=ka+(2λ k-k)b.

由于 a,b 不共线,所以有?????2λλ=k-k,k=1,

整理得 2λ 2-λ -1=0,解得 λ =1 或 λ =-12.

又因为 k<0,所以 λ

<0,故 λ

1 =-2.

答案:-12

3.下列四个结论:

①―A→B +―B→C +―C→A =0;②―A→B +―M→B +―B→O +―O→M =0;

③―A→B -―A→C +―B→D -―C→D =0;④―N→Q +―Q→P +―M→N -―M→P =0,

其中一定正确的结论个数是________. 解析:①―A→B +―B→C +―C→A =―A→C +―C→A =0,①正确;②―A→B +―M→B +―B→O +―O→M =―A→B + MO―→+―O→M =―A→B ,②错;③―A→B -―A→C +―B→D -―C→D =―C→B +―B→D +―D→C =―C→B +―B→C =0, ③正确;④―N→Q +―Q→P +―M→N -―M→P =―N→P +―P→N =0,④正确.故正确的结论个数为 3. 答案:3 4.(xx·南汇中学检测)已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且―C→D =2―D→B ,―C→D =r―A→B + s―A→C ,则 r+s=________. 解析:
如图,因为―C→D =2―D→B ,所以―C→D =23―C→B .又因为―C→B =―A→B -―A→C , 所以―C→D =23―A→B -23―A→C . 又―C→D =r―A→B +s―A→C ,所以 r=23,s=-23,所以 r+s=0. 答案:0 5.(xx·海安中学检测)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆 弧的两个三等分点,―A→B =a,―A→C =b,则―A→D =________(用 a,b 表示). 解析:连结 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD∥AB 且―C→D = 12―A→B =12a,所以―A→D =―A→C +―C→D =b+12a.
1 答案:2a+b 6.在?ABCD 中,―A→B =a,―A→D =b,―A→N =3―N→C ,M 为 BC 的中点,则―M→N =________(用 a,b 表示). 解析:由―A→N =3―N→C ,得―A→N =34―A→C =34(a+b),―A→M =a+12b,所以―M→N =―A→N -―A→M =
34(a+b)-???a+12b???=-14a+14b.
答案:-14a+14b

7.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,―B→C 2=16,|―A→B +―A→C |=|―A→B -―A→C

|,则|―A→M |=________.

解析:由|―A→B +―A→C |=|―A→B -―A→C |可知,―A→B ⊥―A→C ,

则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,

因此,|―A→M |=12|―B→C |=2.

答案:2

8.若点 M 是△ABC 所在平面内一点,且满足 5―A→M =―A→B +3―A→C ,则△ABM 与△ABC 的

面积的比值为________.

解析:设 AB 的中点为 D,由 5―A→M =―A→B +3―A→C ,得 3―A→M -3―A→C =

2―A→D -2―A→M ,即 3―C→M =2―M→D .如图所示,故 C,M,D 三点共线,且―M→D

=35―C→D ,也就是△ABM 与△ABC 的底边 AB 的两高之比为 3∶5,则△ABM

与△ABC

3 的面积的比值为5.

答案:35

9.如图所示,在△OAB 中,点 C 是以点 A 为对称中心的点 B 的对称

点,点 D 是把―O→B 分成 2∶1 的一个三等分点,DC 交 OA 于点 E,设―O→A =

a,―O→B =b.

(1)用 a 和 b 表示向量―O→C ,―D→C ;

(2)若―O→E =λ ―O→A ,求实数 λ 的值. 解:(1)依题意,A 是 BC 的中点,

所以 2―O→A =―O→B +―O→C ,

即―O→C =2―O→A -―O→B =2a-b,

―D→C =―O→C -―O→D =―O→C -23―O→B =2a-b-23b=2a-53b.

(2)若―O→E =λ ―O→A ,

则―C→E =―O→E -―O→C =λ a-(2a-b)=(λ -2)a+b.

因为―C→E 与―D→C 共线.

所以存在实数 k,使―C→E =k―D→C . 即(λ -2)a+b=k???2a-53b???, 因为 a,b 是不共线的两个非零向量,

??λ -2=2k, 所以???1=-53k,

??k=-35,

解得? ??λ

=45.

10.设 e1,e2 是两个不共线的向量,已知―A→B =2e1-8e2,―C→B =e1+3e2,―C→D =2e1-e2. (1)求证:A,B,D 三点共线; (2)若―B→F =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. 解:(1)证明:由已知得―B→D =―C→D -―C→B =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, 因为―A→B =2e1-8e2, 所以―A→B =2―B→D . 又因为―A→B 与―B→D 有公共点 B, 所以 A,B,D 三点共线. (2)由(1)可知―B→D =e1-4e2, 因为―B→F =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线, 所以―B→F =λ ―B→D (λ ∈R), 即 3e1-ke2=λ e1-4λ e2, 得?????λ-= k=3, -4λ . 解得 k=12.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段 CD 上, 若―A→E =―A→D +μ ―A→B ,则 μ 的取值范围是________. 解析:由题意可求得 AD=1,CD= 3,所以―A→B =2―D→C . 因为点 E 在线段 CD 上, 所以―D→E =λ ―D→C (0≤λ ≤1). 因为―A→E =―A→D +―D→E ,

又―A→E =―A→D +μ ―A→B =―A→D +2μ ―D→C =―A→D +2λμ ―D→E ,

所以2μ λ

=1,即 μ

=λ2 .因为 0≤λ

≤1,

1 所以 0≤μ ≤2.

即 μ 的取值范围是???0,12???. 答案:???0,12??? 2.已知 O,A,B 是不共线的三点,且―O→P =m―O→A +n―O→B (m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.

证明:(1)若 m+n=1,则―O→P =m―O→A +(1-m)―O→B =―O→B +m(―O→A -―O→B ),

所以―O→P -―O→B =m(―O→A -―O→B ),

即―B→P =m―B→A ,所以―B→P 与―B→A 共线.

又因为―O→P 与―B→A 有公共点 B, 所以 A,P,B 三点共线. (2)若 A,P,B 三点共线,

则存在实数 λ ,使―B→P =λ ―B→A , 所以―O→P -―O→B =λ (―O→A -―O→B ). 又―O→P =m―O→A +n―O→B .

故有 m―O→A +(n-1)―O→B =λ ―O→A -λ ―O→B , 即(m-λ )―O→A +(n+λ -1)―O→B =0. 因为 O,A,B 不共线,所以―O→A ,―O→B 不共线,

所以?????mn- +λλ

=0, -1=0,

所以 m+n=1.


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