2013高考数学安徽文科卷(word版)

姓名

座位号

(在此卷上答题无效)
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核 对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必 在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位. 2. 答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如果改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号. 3. 答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工 .... 整、笔迹清晰.作图题课先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫 ... 米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域 ...... 书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. ..................... 4. 考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,若复数 a ? (A) ?3

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3?i (B) ?1 (C)1 (D)3

(2)已知 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {?2, ?1, 0,1} ,则 (CR A) ? B ? (A) {?2, ?1} (B) {?2}

(C) {?1, 0,1}

(D) {0,1}

(3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为

3 4 11 (C) 12
(A) (4) "(2 x ? 1) x ? 0" 是 " x ? 0" 的

(B)

1 6 25 (D) 24
第(3)题图

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)若某公司从五位大学生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为 (A)

2 3

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

9 10

(6)直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 (A)1 (B)2 (C)4 (D) 4 6

(7)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 则 a9 ? (A) ?6 (B) ?4 (C) ?2 (D)2

(8)函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,在区间 [ a, b] 上可找到 n(n ? 2) 个

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 不同的数 x1 , x2 ,?, xn ,使得 ,则 n 的取值 ? ?? ? x1 x2 xn
范围为 (A) {2,3} (C) {3, 4} (B) {2,3, 4} (D) {3, 4,5}

y

x o a
第(8)题图 b

(9)设 △ABC 的内角 A , B , C 所对的边的长分别为 a , b , c ,若 b ? c ? 2 a , 3sin A ? 5sin B ,则角 C ? (A)

? 3
3

(B)
2

2? 3

(C)

3? 4

(D)

5? 6

(10)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 ,则关 于 x 的方程 3( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数为
2

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科) 第 II 卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ..... .........

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. (11)函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 的定义域为
2

1 x



(12)若非负变量 x , y 满足约束条件 ?

? x ? y ? ?1, 则 x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 4,



(13) 若非零向量 a , 满足 | a |? 3| b |?| a ? 2b | , a 与 b 夹角的余弦值为 则 b

? ?

?

?

?

?

?

?



(14) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) . 若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? .

(15)如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 1, P 为 BC 的中点, 1

Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A , P ,Q 的平面截该正方体所得的截面
记为 S ,则下列命题正确的是 号) . ①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ? (写出所有正确命题的编

1 时, S 为四边形 2

1 时, S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时, S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1 R ? 4 3 3 ④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形 4
⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为

第(15)题图

6 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内. (16) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

(I)求 f ( x ) 的最小值,并求使 f ( x ) 取得最小值的 x 的集合; (II)不画图,说明函数 y ? f ( x) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

(17) (本小题满分 12 分) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽 取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 0 0 0 6 0 0 0 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 0 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 2 2 8 1 1 5 5 8 2 0 0 9 0 (I)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估 计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格) ; (II)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x1 , x2 ,估计 x1 ? x2 的值.

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

?BAD ? 60°.已知 PB ? PD ? 2 , PA ? 6 .
(I)证明: PC ? BD ; (II)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P ? BCE 的体积. 第(18)题图 (19) (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N ,函数
*

f ( x) ? (an ? an?1 ? an?2 ) x ? an , cos x ? an , sin x
满足 f ?( ) ? 0 .

?

2

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ? 2( an ?

1 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2 an

(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x2 ,其中 a ? 0 ,区间 l ? {x | f ( x) ? 0} . (I)求 l 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (II)给定常数 k ? (0,1) ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 l 长度的最小值.

(21) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2, 3) . a 2 b2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 Q( x0 , y0 ) ( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 做 x 轴的垂线,垂足为 E .取点

A(0, 2 2),连接 AE .过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对称
点,作直线 QG .问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由.


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