高一数学三角函数性质试题


高一数学三角函数性质试题 一:选择题 1.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 是( 2?

) B. 周期为 2? 的奇函数 D. 周期为 ? 的奇函数

A. 周期为 2? 的偶函数 C. 周期为 ? 的偶函数 【答案】C 2.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??
B.关于直线 x ?



A.关于点 ? ,? 对称 0

?? ??

? ?

? 对称 ?

C.关于点 ? ,? 对称 0 【答案】A

?? ??

? ?

D.关于直线 x ?

? 对称 ?

3.函数 f(x)=cosx(cosx+sinx) ,x∈[0, A.

]的值域是( C.

) D.

? 1 2? ?1, ? ? ? 2 2 ?

B.

解:∵f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos x+sinxcosx = 又∵ ∴ 则 1≤f(x)≤ 故选 A. 4.已知函数 f ( x) ? ∴ = =

2

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f(x)的值域是 2 2
2 ,1] 2
C、 [?1,





A、 [?1,1] 【答案】C

B、 [?

2 ] 2

D、 [?1,?

2 ] 2

5. 函数 y ? cos(2 x ?

?

1 ) 定义域为 [a, b] ,值域为 [? ,1] ,则 b ? a 的最大值与最小值之 3 2
B.

和为( ) A. ?

4 3

5? 3

C. 2?

D. ?

【答案】D
6.已知函数 =( A. 解:∵函数 ﹣ . = ,故有 a +b =1 ①. 可得﹣ = ,即 a+ b=﹣ ②.
2 2

的最大值为 ,且 ) B. C. 或 ﹣ D. 0或 ﹣ =

,则

=a?

它的最大值为 再由

由①②解得

,或



= 故选 D. 7. (2012?韶关二模) 函数 A.周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数 解:∵f(x)=

=

,或

=

=0.

(x∈R) ( 是 B. 周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数



= = ﹣



=sin2x. ∴T= =π,

又 f(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣f(x) , ∴f(x)=sin2x 为奇函数. ∴f(x)=sin2x 为周期为 π 的奇函数. 故选 A. 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 可以是( ) f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)

A. 解:函数 f(x)满足

B.f(x)=2sin3x

C. ,∴

D.f(x)=2cos3x ,

故函数 f(x)的周期等于 2π. 又 f(﹣x)=﹣f(x) ,故函数 f(x)是奇函数, 同时满足这两个条件的只有 B, 故选 B. 9. (2012?山东) 函数 A. 解:因为函数 所以 所以 所以函数 故选 A. 10. (2008?浙江)在同一平面直角坐标系中,函数 象和直线 A.0 的交点个数是( B.1 ) C.2 ) (x∈[0,2π])= D.4 ,x∈[0,2π]. (x∈[0,2π])的图 ∈ , , 的最大值与最小值之和为 . B.0 C.﹣1 , 的最大值与最小值之和为 ( D. )

解:原函数可化为:y=cos(

当 x∈[0,2π]时, ∈[0,π],其图象如图, 与直线 y= 的交点个数是 2 个. 故选 C. 11.已知函数 为 x1,x2,若|x1﹣x2|的最小值为 A. B. 为偶函数,其图象与 x 轴的交点 ,则该函数的一个递增区间可以是( C. D. . )

解:∵y= sin(wx+α)为偶函数,∴α=

+kπ k∈z,又∵0<α<π,∴α=

由诱导公式得函数 y=2coswx. 又∵其图象与直线 y=2 某两个交点的横坐标分别为 x1,x2, ∵|x2﹣x1|的最小值为 π,

∴函数的周期为 π,即 w=2,∴y=2cos2x,∴函数在 增函数. 故选:C. 12. (2005?湖北)若 sinα+cosα=tanα(0<α< A. (0, ) B. ( , ) sin( ,∴ , ) ,则 α 所在的区间( ( , ) D. ( ) , )

上为

C.

解:由题意知,tanα=sinα+cosα= ∵0<α< ,∴ < ],tan = < >

)>1,排除 B; <sin( )≤1,

即 tanα∈(1, 故选 C.

13. (2004?天津)函数 y=2sin( A. [0, ] B. [ ,

﹣2x) ,x∈[0,π])为增函数的区间是( ] C. [ , ] D. [

) ,π]

解:由 y=2sin( 即 2kπ+ ∴kπ+ 令 k=0, 故选 C. ≤2x﹣ ≤x≤kπ+ ≤x≤

﹣2x)=﹣2sin(2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z. , ,k∈Z

)其增区间可由 y=2sin(2x﹣

)的减区间得到,

14. (2013?成都模拟)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 的最小正周期为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则( ) A. B. f(x)在 单调递减 f(x)在( C. f(x)在(0, )单调递增 D. f(x)在(

, ,

)单调递减 )单调递增 ,由于该函数的最小 ,得出 φ= .因此,f

解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+? )= 正周期为 π= (x)= ,得出 ω=2,又根据 f(﹣x)=f(x) ,以及|φ|< cos2x,若 x∈ 单调递减,若 x∈( , ) ,则 2x∈(

,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 , ) ,该区间不为余弦函数的

单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确.

故选 A. 15.下面有关函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ) 的结论中,错误的是( 6 ? 2? A. f (x) 的周期为 ? B. f (x) 在 [ , ] 上是减函数 3 3 5? C. f (x) 的一个对称中心是 ( ,0) 12 ? D.将 f (x) 的图象向右平移 个单位得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象. 6 【答案】D 二:填空题 16.给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是

?

.

①若 cos? ? cos ? , 则? ? ? ? 2k? , k ? Z ; ②函数 y ? 2 cos(2 x ?

?
3

) 的图象关于 x=

? 对 12

称; ③函数 y ? cos(sin x)( x ? R) 为偶函数, ④函数 y ? sin | x | 是周期函数, 且周期为 2 ? . 【 答 案 】 ①②④ 17.设函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ?

? ) 的图象为 C ,给出下列命题: 3
②函数 f (x) 在区间 ( ?

①图象 C 关于直线 x ?

11 ? 对称; 12

? 5? , ) 内是增函数; 12 12

③函数 f ( x) 是奇函数; 其中,正确命题的编号是 【 答 案 】 ①②

④图象 C 关于点 ( ,0) 对称. .(写出所有正确命题的编号)

? 3

18. 已知函数 f ( x) ? a cos x ? b 的最大值为 1, 最小值为 ?3 , 则函数 g ( x ) ? b sin x ? a 的 最大值为 ?1 或 3 【答案】 ?1 或 3 19. 函数 f(x)=cos x+2|cos x|, x∈[0,2π ]的图像与直线 y=m 有且仅有 2 个交点,则 实数 m 的取值范围是__________.

【答案】m=0 或 1<m≤3
20.已知 f(x)=2sin(2x﹣ 为 . ,由 x∈[0, ]可得﹣ ≤2x﹣ , ≤ ,故 t∈[﹣ , ]. )﹣m 在 x∈[0, ]上有两个不同的零点,则 m 的取值范围

解:令 t=2x﹣

由题意可得 g(t)=2sint﹣m 在 t∈[﹣

]上有两个不同的零点,

故 y=2sint 和 y=m 在 t∈[﹣ 故 1≤m<2, 故答案为:[1,2) .



]上有两个不同的交点,如图所示:

21. 已知函数 (x) f =Asin 2x+φ) A>0, ( ( 0<φ<2π) 若对任意 x∈R 有 , 成立,则方程 f(x)=0 在[0,π]上的解为 解:由题意知,对任意 x∈R 有 ∵A>0,且 sinx∈[﹣1,1],∴six( ∴ = ,解得 φ= = ) , )=0,即 2x+ =kπ(k∈Z) , , . 成立, )=﹣1, (k∈Z) ,

又∵0<φ<2π,∴φ=2π﹣ ∴函数 f(x)=Asin(2x+ 由 f(x)=0 得,Asin(2x+ 解得,x= + (k∈Z) ,

∵x∈[0,π],∴x= 故答案为: .



三: 22. 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ?2a sin( 2 x ?

?

? ?? ) ? 2a ? b ,x ? ?0, ? 时,? 5 ? f ( x) ? 1 , 6 ? 2?

求常数 a , b 的值.

解 : 由 x ? ?0,

? ? 7? ? ? ? ?? ? 得 6 ? 2x ? 6 ? 6 , ? a ? 0 , ∴ 当 2x ? 6 ? 2 ? 2?

时,

? ? 7? ? 时 , f ( x) man ? f ( ) ? a ? 5 ? 1 , 故 f ( x) min ? f ( ) ? b ? ?5 , 当 2 x ? ? 6 6 6 2
a ? 6, b ? ?5
23. 求下列函数的单调减区间:

(1) y ? sin(

?
3

? 2 x) ;

(2) y ?

解 :( 1 ) 因 为 2k? ?

?
2

?

?
3

2 cos x ; ? x sin( ? ) 4 2

? 2 x ? 2k? ?

?

[ k? ?

?
12

, k? ?

5? ](k ? Z ) . 12

2

,故原函数的单调减区间为

(2)由 sin( 又y?

?

? x ? ) ? 0 ,得 {x x ? 2k? ? , k ? Z } , 2 4 2

2 cos x x ? ? 4sin( ? ) , ? x 2 4 sin( ? ) 4 2 ? x ? 3? ? 5? 所以该函数递减区间为 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,即 (4 k? ? ,4 k? ? )( k ? Z . ) 2 2 4 2 2 2

24.已知函数 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?? 3?

(1)用五点法画出此函数在区间 ? ? (2)求此函数的单调地增区间?

? ? 5? ? 内的简图; , ? 6 6 ? ?

解: (1)列表如下;

x
2x ?
y

?

?
6

?
3

0 0

? 12 ?
2
2

? 3

?
0

7? 12 3? 2
-2

5? 6

2?
0

描点连线可以得到下图:

(2)由 ? 得?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,

5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 12 12

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ?该函数的单调递增区间是 ? ? 12 ? 12 ?
25.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x), x ? R . (I)求函数 f ( x) 图像的对称中心;

? ? 3? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?
解:(I) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 因此,函数 f (x) 图象的对称中心为 ( (Ⅱ)因为 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

k? ? ? , ?1) , k ? z . 2 8

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

?

? ? 3? ? ? 3? 3? ? ) 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函 4 ?8 8 ? ?8 4 ?

数,又 f ( ) ? ?1 , f (

?

8 3? 3? ? ? f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? ? 2 cos ? 1 ? ?2 4 2 4 4

3? ) ? 2 ?1 , 8

? ? 3? ? 故函数 f (x) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ? 1 ,最小值为-2. ?8 4 ?
26. (2012?荆州模拟)已知函数 (Ⅰ)求 (Ⅱ)当 的值; 时,求 的最大值和最小值.

解:∵

(1) (2) ∵ ∴ ∴ , , ,

即 g(x)的最大值为 2,最小值为 1. 27.已知函数 f(x)=sin(2x+θ)+2 cos (x+
2





(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)问是否存在一个角 θ,使得函数 f(x)为偶函数?若存在请写出这样的角 θ,并加以 说明;若不存在,也请说明理由. 解: (1)∵ = = ∴ (2)假设 f(x)为偶函数,则有 f(﹣x)=f(x) ∴ ∴ =

∴ ∴ 故存在
2

对任意的 x 恒成立 ∴ ,使得函数 f(x)为偶函数 .

28.已知 f(x)=cos x+sinxcosx, (1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)若 解: (1)y=cos x+sinxcosx= ∴T= =π,由 , 所以函数的单调增区间为: (2) 因为 f(x)+g(x)= , + sin(2α﹣ )= 2α﹣ cos(2α﹣ )=﹣ ∈[ ,π] + sin2x﹣cos2x= sin(2α﹣ )= =﹣sin(2x+ .
2

,且 + sin2x=

求 sin2α 的值. sin(2x+ ) ,即

)=﹣cos2x, = + sin(2x﹣ )

sin2α=sin(2α﹣ =sin(2α﹣ = )cos +(﹣

+

) +cos(2α﹣ )sin =

)×

=


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