北京市海淀区2015届高三上学期期末考试理科数学(含答案)

北京市海淀区 2015 届高三上学期期末考试 数学理 2015.1 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)抛物线 x ? ?2 y 的焦点坐标是( 2 ) (A) (?1, 0) (B) (1, 0) (C) (0, ? ) 1 2 (D) (0, ) 2 1 2 (2)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则复数 z ? ( (A) ?3 ? 4i (B) 5 ? 4i (C) 5 ? 4i (D) 3 ? 4i ) y A -2 1 O x (3) 当向量 a ? c ? (?2, 2) ,b ? (1, 0) 时, 执行如图所示的程序框图, 输出的 i 值 为( (A) 5 ) (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4)已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 ,l2 : x ? ay ? 2 ? 0 . 若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值是( (A) 0 ) (C) 0 或 ?3 (D) ?3 (B) 2 或 ?1 ?2 x ? y ? 2≤0, ? (5)设不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 表示的平面区域为 D . 则区域 D 上的点到坐标 ? x ? y ? 1≥ 0 ? 原点的距离的最小值是( ) (A) 1 (B) 2 2 (C) 1 2 (D) 5 ) 4 (6)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个面的面积中最大的是( (A) 2 34 (B) 12 (C) 8 3 3 (D) 6 2 正(主)视图 (7)某堆雪在融化过程中,其体积 V (单位:m )与融化时间 t(单位:h ) 近似满足函数关系: V (t ) ? H (10 ? 侧(左)视图 1 3 t ) ( H 为常数) ,其图象如图所 10 4 俯视图 3 示 . 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 v(m3 / h) . 那么瞬时融化速度等于 v(m3 / h) 的时刻是图中的( (A) t1 (B) t 2 (C) t3 (D) t 4 ) V (8) 已知点 A 在曲线 P : y ? x2 ( x ? 0) 上, 轴的另一个交点为 M . 若线段 OM , A 过原点 O , 且与 y A 和曲线 P 上分别存在 点 B 、点 C 和点 D ,使得四边形 ABCD (点 A, B, C , D 顺时 针排列)是正方形,则称点 A 为曲线 P 的“完美点”. 那么下 列结论中正确的是( ) (B)曲线 P 上只存在一个“完美点” ,其横坐标大于 1 O t1 t2 t3 t4 100 t (A)曲线 P 上不存在“完美点” (C)曲线 P 上只存在一个“完美点” ,其横坐标大于 1 且小于 1 2 (D)曲线 P 上存在两个“完美点” ,其横坐标均大于 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)在 ( ? 1 2 B 1 x x )6 的展开式中,常数项是 .(用数字作答) C O D A (10)在极坐标系中,直线 ? sin ? ? 3 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为______. (11)若双曲线 x ? 2 y2 ? 1的一条渐近线的倾斜角为 60 ? ,则 m ? m . (12)如图所示, AD 是 O 的切线, AB ? 2, AC ? 3 , ?ACB ? (13)在等比数列 {an } 中,若 a1 ? ?24 , a4 ? ? 最大. n 项积 . π ,那么 ?CAD ? _______. 4 8 ,则公比 q ? ________;当 n ? ________时,{an } 的前 9 D1 A1 B1 C1 (14)如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是边 BC 的中点. 动点 P 在直线 BD1(除 B, D1 两点)上运动的过程中,平面 DEP 可 能经过的该正方体的顶点是 点) . (写出满足条件的所有顶 D E A B C 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) π 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? ) 的部分图象如图所示. 2 (Ⅰ)写出 ? 及图中 x0 的值; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) , 求函数 g ( x) 在区间 [? , ] 上 的最大值和最小值. y 3 2 1 3 1 1 2 3 O x0 x (16) (本小题满分 13 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等 5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔 的人数为 X , X 的分布列为 X 3 2 1 0 P 求数学期望 EX ; a b 3 10 2 5 (Ⅲ)考核的第二轮是笔试:5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105, 111,109;结合第一轮的答辩 情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121,119. 这 5 位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记 2 2 2 2 为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论) (17) (本小题满分 14 分) 如图所示,在三棱柱 ABC ? A

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