江西省高安中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题(重点班)

江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高一年级数学试题(理重)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1. 若 a<b<0,则( ) 1 1 A. < a b a B.0< <1 b C. ab >b
2

b a D. > a b ).

2. 已知数列{ an }的通项公式 an ? n 2 ? 2n ? 8(n ? N * ) ,则 a4 等于( A.1 B. 2 ) C. 0 D. 3

x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为( 3. 不等式 x ?1
A. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} C. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1}

B. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1} )

4.在 3 sin x ? cos x ? 2a ? 3 中, a 的取值范围是( A.

1 5 5 1 C. a ? D. ? ? a ? ? 2 2 2 2 x + 2 y ≥2, ? ? 5. 已知变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( ? ?4x-y≥-1,
B. a ?

1 5 ?a? 2 2

)

? 3 ? A.?- ,6? ? 2 ?

? 3 ? B.?- ,-1? ? 2 ?

C.[-1,6]
2

3? ? D.?-6, ? 2 ? ? )

6. 在正项等比数列{an}中, a3 , a9 是方程 3x —11x+9=0 的两个根,则 a6 =(

11 C. 3 D. ? 3 6 7. 在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则 a ∶b ∶c 等于( )
A. 3 B. A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.2∶ 3 ∶1 D.1∶ 3 ∶2 )

8. 已知等差数列{an}满足 a5 ? a6 =28,则其前 10 项之和为 ( A.140 B.280 C.168

D.56

9. 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量

m ? (b ? c, c ? a), n ? (b, c ? a) ,若向量 m ? n ,则角 A 的大小为( ? ? ? 2? A. B. C. D. 3 6 3 2 a b 10. 若实数 a、b 满足 a ? b =2,则 3 ? 3 的最小值是( ) A.18 B.6 C.2 3 D.2 4 3

)

5 10 ,且 ? , ? 均为锐角,则 ? ? ? 的值为( , sin ? ? 5 10 ? 3? ? 3? ? A. B. C. 或 D. 4 4 4 4 2 2 A 12. 在△ABC 中,若 sin B sin C ? cos ,则△ABC 是( ) 2
11. 已知 sin ? ? A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 x ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ?



D.等腰直角三角形

1 的最小值为 x ?1


O

14. 已知 A 船在灯塔 C 的正东方向,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 30 处,A,B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为 15. sin 40 ?
o

km.

sin 10o ? 3 cos10o 的值为__ cos10o



1 1 2 1 2 3 1 2 16. 数列{an}的前 n 项和是 S n ,若数列{an}的各项按如下规则排列: , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 3 4 1 2 n-1 , ,…, , ,…, ,…,有如下运算和结论: 5 5 n n n 3 31 ①a23= ;②S11= ; 8 6 ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列; n2+n ④数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和 Tn = ; 4 在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分) 已知数列{ an }为等差数列,且 a3 =-6, a6 =0. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)若等比数列{ bn }满足 b1 =-8, b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求数列{ bn }的前 n 项和 S n .

18.(12 分) 已知向量 m ? (2cos ? x,1), n ? ( 3sin ? x ? cos ? x, a) ,其中 ( x ? R, ? ? 0) ,函 数 f ( x) ? m ? n 的最小正周期为 ? ,最大值为 3. (1)求 ? 和常数 a 的值; (2)求当 x ? [0,

??

?

?? ?

?

2

] 时,函数 f ( x) 的值域.

1 ) x ? 1, a ? 0 a 1 1 (1)当 a ? 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)比较 a与 的大小; 2 a
19.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (a ?
2

(3)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .

20.(12 分) 设函数 f ( x) = x ? 4 x ? 1 .
2

(1)若对一切实数 x , f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (4 ? m) x ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于任意 x ? [?1,2] , f ( x) ? ? m ? 5 恒成立,求 m 的取值范围.

π 1 21.(12 分) 已知在锐角△ABC 中,a,b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且 sin(2C- ) = . 2 2 (1)求角 C 的大小;(2)求

a+b 的取值范围. c

22.(12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 sn ,且-1, sn , a n ?1 成等差数列,n∈N , a1 =1,
*

函数 f ( x) ? log3 x . (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 bn = 5 2n+5 - 的大小. 12 312

1 ,记数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 (n ? 3)[ f (a n ) ? 2]

江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高一年级数学试题答案(理重)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把答案填写在答题纸上) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 B 11 A 12 B

二.填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ____3___ 14. _______ 6 ? 1 ____________

15. _____-1__________ 16 ②④ 三.解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a3=-6,a6=0, 所以?
? ?a1+2d=-6, ?a1+5d=0, ?

解得?

? ?a1=-10, ?d=2, ?

所以 an=-10+(n-1)·2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3,

b1 (1 ? q n ) n 所以{bn}的前 n 项和为 S n = =4(1-3 ). 1? q ?? ? 18. (12 分)解: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ? a , ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ?1 ? a ? 2sin(2? x ? ) ? a ? 1 , 6 2? ? ? ,得 ? ? 1 . 由T ? 2? ? 又当 sin(2? x ? ) ? 1 时 ymax ? 2 ? a ?1 ? 3 ,得 a ? 2 . 6 ? (2)由(1)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
π π π 5π ∵x∈[0, ],∴2x- ∈[- , ], 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x- )∈[- ,1] 6 2 π ∴2sin (2x- )∈[-1,2] 6

∴ f ( x) ? [0,3] ,∴所求的值域为 [0,3] . 19. (12 分)解: (1)当 a ? ∴ (x ?

1 3 2 时,有不等式 f ( x) ? x ? x ? 1 ? 0 , 2 2

1 )( x ? 2) ? 0 , 2

1 ? x ? 2} ; 2 1 (a ? 1)( a ? 1) (2)∵ a ? ? 且a ? 0 a a 1 ∴当 0 ? a ? 1 时,有 ? a a 1 当 a ? 1 时,有 ? a a 1 当 a ? 1 时, a ? ; a 1 (3)∵不等式 f ( x) ? ( x ? )( x ? a) ? 0 a 1 1 当 0 ? a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 {x | a ? x ? } ; a a 1 1 当 a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 {x | ? x ? a} ; a a
∴不等式的解集为: { x | 当 a ? 1 时,不等式的解集为 x ? {1} . 20. (12 分)解:(1) f ( x) ? (m ? 1) x ? (4 ? m) x ? 0
2

即 mx -mx-1<0 恒成立. 当 m=0 时,-1<0,显然成立; 2 当 m≠0 时,应有 m<0,Δ =m +4m<0, 解得-4<m<0. 综上,m 的取值范围是(-4,0]. (2) 由已知:任意 x ? [?1,2] , f ( x) ? ? m ? 5
2 得 x ? 4 x ? 1 ? ? m ? 5 , x ? [?1,2] 恒成立

2

即 m ? ? x ? 4 x ? 6 , x ? [?1,2] 恒成立
2

即 m ? (? x ? 4x ? 6) min , x ? [?1,2]
2

所以 m ? ?6 .

π 1 1 21. (12 分)(1)由 sin(2C- )= ,得 cos2C=- , 2 2 2 又∵锐角△ABC ∴2C=

2? ? ,即 C= ; 3 3

a+b sinA+sinB (2) = = c sinC

sin A ? sin( sin

?

2? ? A) 3

3

3 3 sin A ? cos A ? 2 2 = = 2 sin( A ? ) , 6 3 2
由 C=
? ? ? ? 3 A ? ,即 ? ? ,且三角形是锐角三角形可得 ? ? ? A ? ∴ 2 < sin( A ? ) ≤1, 2 6 3 ? 6 2 ?
?B ? ? ? 2

∴2·

3 a+b a+b < ≤2,即 3 < ≤2. 2 c c

22. (12 分)解:(1)∵-1,Sn,an+1 成等差数列. ∴2Sn=an+1-1,① 当 n≥2 时,2Sn-1=an-1,② ①-②,得 2(Sn-Sn-1)=an+1-an, ∴3an=an+1,∴

an+1 =3. an a2 a1

当 n=1 时,由①得 2S1=2a1=a2-1,a1=1,∴a2=3,∴ =3. ∴{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,∴an=3 (2)∵f(x)=log3x, n-1 ∴f(an)=log33 =n-1. ∴bn=
n-1

.

1 1 = (n ? 3) (n ? 3)[ f (a n ) ? 2] (n ? 1)

1 ? 1? 1 - = ? ?. 2?n+1 n+3? 1?1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn= ? - + - + - + - 2?2 4 3 5 4 6 5 1 1 1 1 1 ? +…+ - + - 7 n n+2 n+1 n+3? ? 1 1 ? 1? 1 1 - = ? + - ? 2?2 3 n+2 n+3? 2n ? 5 5 = - . 12 2(n ? 2)(n ? 3) 5 2n+5 比较 Tn 与 - 的大小,只需比较 2(n+2)( n+3)与 312 的大小即可. 12 312 2(n+2)(n+3)-312=2(n +5n+6-156) =2(n +5n-150) =2(n+15)(n-10).
2 2

5 2n+5 * * ∵n∈N ,∴当 1≤n≤9 且 n∈N 时,2(n+2)(n+3)<312,即 Tn< - ; 12 312 5 2n+5 当 n=10 时,2(n+2)(n+3)=312,即 Tn= - ; 12 312 5 2n+5 * 当 n>10 且 n∈N 时,2(n+2)(n+3)>312,即 Tn> - . 12 312

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