2015届高考数学总复习第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第 8 课时 指数函数、 对数函数及幂函数(2) 第三章 (对应学生用书(文)、(理)22~23 页) 考情分析 高考对指数函数的考查近三年有所升温,重 点是指数函数的图象和性质,以及指数函数 的实际应用问题,在复习时要特别重视对指 数函数性质的理解与应用. 考点新知 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解指数函数的概念,并理解指数函数的 单调性与函数图象通过的特殊点. ③ 知道指数函数是一类重要的函数模型. 1. (必修 1P110 复习 9 改编)函数 y=ax 3+3 恒过定点________. 答案:(3,4) - 解析:当 x=3 时,f(3)=a3 3+3=4,∴ f(x)必过定点(3,4). - 2. (必修 1P110 复习 3 改编)函数 y= 8-16x的定义域是________. 3? 答案:? ?-∞,4? 3? 解析:由 8-16x≥0,所以 24x≤23,即 4x≤3,定义域是? ?-∞,4?. 3. ( 必修 1P67 练习 3) 函数 f(x) = (a2 - 1)x 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 ________________. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 解析:由 0<a2-1<1,得 1<a2<2,所以 1<|a|< 2,即- 2<a<-1 或 1<a< 2. 1 4. (必修 1P71 习题 13 改编)已知函数 f(x)=a+ x 是奇函数,则常数 a=________. 4 +1 1 答案:- 2 1 解析:由 f(-x)+f(x)=0,得 a=- . 2 4?|x-1| 5. (原创)函数 y=1+? ?5? 的值域为__________. 答案:(1,2] 4?u 解析:设 y′=? ?5? ,u=|x-1|. 4?u 由于 u≥0 且 y′=? ?5? 是减函数, 4?|x-1| 故 0<? ?5? ≤1,则 1<y≤2. 第 1 页 共 7 页 1. 指数函数定义 一般地,函数 y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是 R. 2. 指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R (0,+∞) (1) 过定点(0,1),即 x=0 时,y =1 (1) 过定点(0,1), 即 x=0 时,y=1 性质 (2) 当 x>0 时, (2) 当 x>0 时,f(x)>1;x<0 时, 0<f(x)<1;x<0 时, 0<f(x)<1 f(x)>1 (3) 在(-∞,+∞)上是增函数 (3) 在(-∞,+∞) 上是减函数 [备课札记] 第 2 页 共 7 页 题型 1 指数型函数的定义域、值域 1 1 例 1 已知 x∈[-3,2],求 f(x)= x- x+1 的最小值与最大值. 4 2 1?2 3 1 1 1 -x - - - - 解:f(x)= x- x+1=4 x-2 x+1=2 2x-2 x+1=? ?2 -2? +4.∵ x∈[-3,2], ∴ 4 4 2 1 3 - - - ≤2 x≤8.则当 2 x= ,即 x=1 时,f(x)有最小值 ;当 2 x=8,即 x=-3 时,f(x)有最大值 2 4 57. 备选变式(教师专享) 1?x-1 ?1?x 已知 9x-10×3x+9≤0,求函数 y=? -4?2? +2 的最大值和最小值. ?4? 解:由 9x-10· 3x+9≤0,得(3x-1)(3x-9)≤0, x 解得 1≤3 ≤9,∴ 0≤x≤2. 1 1 1 令( )x=t,则 ≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t- )2+1, 2 4 2 1 当 t= 即 x=1 时,ymin=1;当 t=1 即 x=0 时,ymax=2. 2 题型 2 指数型函数的图象 例 2 已知函数 f(x)=|2x 1-1|. (1) 作出函数 y=f(x)的图象; (2) 若 a<c,且 f(a)>f(c),求证:2a+2c<4. - x 1 ? ?2 -1,x≥1, (1) 解:f(x)=? 其图象如图所示. x-1 ?1-2 ,x<1, ? - (2) 证明:由图知,f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件 知必有 a<1. 若 c≤1,则 2a<2,2c≤2,所以 2a+2c<4; - - - - 若 c>1,则由 f(a)>f(c),得 1-2a 1>2c 1-1,即 2c 1+2a 1<2,所以 2a+2c<4. 综上知,总有 2a+2c<4. 备选变式(教师专享) x x 画出函数 y=|3 -1|的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3 -1|=k 无解?有一 个解?有两个解? 第 3 页 共 7 页 解: . 由图知,当 k<0 时,方程无解;当 k=0 或 k≥1 时,方程有一个解;当 0<k<1 时,方 程有两个解. 题型 3 指数函数的综合运用 1 1 例 3 已知函数 f(x)=?ax-1+2?x3(a>0 且 a≠1). ? ? (1) 求函数 f(x)的定义域; (2) 讨论函数 f(x)的奇偶性; (3) 求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. 解:(1) 由于 ax-1≠0,则 ax≠1,所以 x≠0, 所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. (2) 对于定义域内任意的 x,有 ax 1 1 1 1 1 1 1 f( - x) = ( -x + )( - x)3 =- ?1-ax+2? x3 =- ?-1-ax-1+2? x3 = ?ax-1+2? x3 = ? ? ? ? ? ? a -1 2 f(x), 所以 f(x)是偶函数. (3) ① 当 a>1 时,对 x>0, 所以 ax>1,即 ax-1>0,所以 1 1 + >0. a -1 2 x 1 1 又 x>0 时,x3>0,所以 x3?ax-1+2?>0, ? ?

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