(广东专用)高考数学总复习 第七章第二节 空间几何体的表面积与体积 文 课件 人教版_图文

第二节 空间几何体的表面积与体积 2.空间几何体的体积(h为高,S为下底面积,S′为上底面积) (1)V 柱体=Sh . 1 (2)V 锥体= 3Sh . 1 (3)V 台体= 3h(S+ SS′+S′) . 4 3 πR 3 (4)V 球= (球半径是 R). 1.圆锥的侧面展开图是什么图形?与原几何体有何联系? 【提示】 圆锥的侧面展开图是扇形,半径为圆锥的母线长,弧 长为圆锥底面圆的周长. 2.比较柱体、锥体、台体的体积公式,它们之间有何联系? 【提示】 1.(教材改编题)一个球与一个正方体的各个面均相切,正方体的 边长为a,则球的表面积为( ) A.4πa2 C.2πa2 B.3πa2 D.πa2 a a2 【解析】 易知球的半径为2.∴S 表=4π·(2) =πa2. 【答案】 D 2 2.母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的面积是 π,则该圆锥的体 3 积为( A. ) 2 2 π 81 8 B. π 81 C. 4 5 π 81 10 D. π 81 【解析】 设圆锥的底面半径为 r,依题意得 22 5 1- ? ? = . 3 3 2 2 πr· 1= π,∴r= .∴圆锥的高 h= 3 3 1 2 4 5 ∴圆锥的体积 V= πr h= π. 3 81 【答案】 C 3.(2012·济南调研)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图7- 2-1所示,则其侧面积等于( ) A. 3 B.2 C.2 3 D.6 图7-2-1 【解析】 由三棱柱的主视图可知此三棱柱为底面边长为2,侧棱 长为1的正三棱柱,∴S侧=2×1×3=6. 【答案】 D 4.(2011·湖南高考)设图7-2-2是某几何体的三视图,则该几何体 的体积为( ) B.36π+18 9 D. π+18 2 A.9π+42 9 C. π+12 2 图7-2-2 【解析】 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球 的直径为 3,长方体的底面是边长为 3 的正方形,高为 2.故所求组合 4 3 9 体的体积为 2×32+ π( )3=18+ π. 3 2 2 【答案】 D (2011·北京高考)某四棱锥的三视图如图7-2-3所示,该 四棱锥的表面积是( A.32 C.48 ) B.16+16 2 D.16+32 2 【思路点拨】 图7-2-3 【尝试解答】 由三视图知,四棱锥是底面边长为 4,高为 2 的 正四棱锥 P—ABCD(如图), 在△POE 中,PO=2,OE=2, ∴PE= PO2+OE2=2 2, 1 则 S 侧=4S△PBC=4× ×4×2 2 2 =16 2,S 底=16. 故四棱锥的表面积是 16 2+16. 【答案】 B 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( A. 3∶ 2 B.2∶1 C. 4∶ 3 ) D. 5∶ 3 【解析】 2π 设圆锥的底面半径为 r,则 l=2πr, 3 S表 πr2+πrl πr2+3πr2 4 ∴l=3r,∴ = = = . πrl 3πr2 3 S侧 【答案】 C (2011· 陕西高考)某几何体的三视图如图7-2-4所示,则它 的体积是( A.8- 2π 3 ) π B.8- 3 2π D. 3 C.8-2π 图7-2-4 【思路点拨】 由三视图,抽象出几何体的直观图,确定直观图的 数量关系,求几何体的体积. 【尝试解答】 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方 体内部挖去一个底面半径为 1,高为 2 的圆锥. 1 2 ∵V 正方体=23=8,V 圆锥= ×2×π×12= π, 3 3 2 ∴所求几何体的体积 V=V 正方体-V 圆锥=8- π. 3 【答案】 A 若将例题题设改为“一个容器的外 形是一个棱长为2的正方体,其三视图如图7- 2-5所示”,则容器的容积为( A. 2π 3 B.2π D.8- 2π 3 ) C.8 图7-2-5 【解析】 由三视图知,该容器的内部为在正方体内倒置的圆锥, 且半径为 1,高为 2, 1 2 2 ∴V 圆锥= πr · h = π, 3 3 2 则容器的容积为 π. 3 【答案】 A (2011· 课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的 顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面 3 面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的 16 比值为________. 【思路点拨】 由球、圆锥的对称性知,两圆锥的顶点连线过球心及 圆锥底面的圆心,先求圆锥底面的半径,再求球心与圆锥底面的圆心 间的距离,问题可解. 【尝试解答】 如图,设球的半径为 R, 圆锥底面半径为 r. 3 2 由题意得 πr = ×4πR2. 16 3 ∴r2= R2, 4 根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O,且两圆锥的顶点以及 圆锥与球的交点是球的大圆上的点,且 AB⊥O1C. 1 ∴OO1= R2-r2= R, 2 1 R 因此体积较小的圆锥的高 AO1=R- R= , 2 2 R 3 体积较大的圆锥的高 BO1=R+ = R. 2 2 1 且这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为 . 3 1 【答案】 3 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB=6,BC=2 3,则棱锥 O—ABCD 的体积为________. 【解析】 依题意棱锥 O—ABCD 的四条侧棱长相等且均为球 O 的 半径,如图连接 AC,取 AC 中点 O′, 连接 OO′.易知 AC= AB2+BC2=4 3, 则 AO′=2 3,在 Rt△OAO′中,OA=4, 从而 OO′= 42-12=2. 1 所以 VO—ABCD= ×2×6×2 3=8 3. 3 【答案】 8

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