甘肃省武威第二中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理

武威二中高二数学理科试卷
一、选 择题(每小题 5 分, 共 10 小题) 1、 ?1 ? i ?
2

i?
B. 2 ? 2i C. 2 D. ?2

(

)

A. 2 ? 2i

2、已知函数 f ( x) ? ax2 ? c , 且 f ?(1) =2, 则 a 的值 为 A. 2 B.1 C.-1 D.0





3、曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为 A. y ? ?3x ? 2 B. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3

( D. y ? 4 x ? 5 a ( D. (??,0) (



4、函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2) C. (0, 2)

)

5、函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = A.2 B.3 C.4 D.5

)

6、方程 x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是 A.3
3

( D.0 (

)

B.2

C.1

7、函数 f(x)=x +ax-2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是 A.[3,+∞) B.[-3,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3) (

)

8、曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是 A. 5 B. 2 5
3



C. 3 5

D.0 ( )

9、直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A.4 B.4 2 C.2 D.2 2

10、 f′(x)是 f(x)的导函数, f′(x)的图象如图所示, 则 f(x)的图象可能是

(

)

1

二、填空题。 (每小题 5 分,共 4 小题) 11、复数

5 的共轭复数是__________ 3 ? 4i

12、函数 y ? x 3 ? 3x 在[-1,2]上的最小值为_______ 13、曲线 y ? cos x (0 ? x ?

3? ) 与坐标轴围成的面积是________ 2

14 、已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式 ( x2 ? 2 x ? 3) f ? (x ) ? 0的解 集 .

三、解答题。 1 5、 (8 分) (1)求函数 y ? 2 x sin(2 x ? 5) 的导数 (2)计算定积分

?

3

1

(2 x ?

1 ) dx 的值 x2

16、 (8 分)用数学归纳法证明:

1? 2 ? 3 ?? ? n ?

1 n (n ? 1) 2

17、 (10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9x ? 11
3 2

(1)写出函数 f ( x) 的递减区间; (2)讨论函数 f ( x) 的极大值或极小值,如有试写出极值

18、(12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ln(2 ? x) ? ax

(a ? 0)
2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2 )若 f ( x ) 在 0,1? 上的最大值为

?

1 ,求 a 的值. 2

19、 (12 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? (? x2 ? ax)e x (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;

( x ? R)

(2)若函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增,求 a 的取值范围.

高二数学理科答案 一、选择题 CBACD 二、填空题 11、 CBBA D

3 4 ? i 5 5

12、-2 14、 (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??)

13、 3 三、解答题

15、 (1) 2sin(2 x ? 5) ? 4 x cos(2 x ? 5) (2)

22 3

16、 证明略 17、解:令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x1 ? 3 , x 变化时, f ' ( x) 的符号变化情况及 f ( x) 的增减性如下表所示:

x
f ' ( x) f ( x)

(??,?1)
+ 增

-1 0 极大值 f (?1)

(?1,3)


3 0 极小值 f (3)

(3,??)
+ 增

(1)由表可得函数的递减区间为 (?1,3) (2)由表可得,当 x ? ?1 时,函数有极大值 f (?1) ? 16 ; 当 x ? 3 时,函数有极小值 f (3) ? ?16 1 1 18、函数 f(x)的定义域为(0,2),f ′(x)= - +a, x 2-x
3

(1)当 a=1 时,f ′(x)=

-x +2 ,∴当 x∈(0 , 2)时,f ′(x)>0,当 x∈( 2, x?2-x?

2

2)时,f ′(x)<0,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为( 2,2); (2)当 x∈(0,1]时,f ′(x)= 2-2x +a>0, x?2-x?

1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2

19、解 (1)当 a=2 时,

f(x)=(-x2+2x)ex, f′(x)=(-x2+2)ex.
当 f′(x)>0 时,(-x +2)e >0,注意到 e >0, 所以-x +2>0,解得- 2<x< 2. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为(- 2, 2). 同理可得,函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x +(a-2)x+a]e , 即[-x +(a-2)x+a] e ≥0,注意到 e >0, 因此-x +(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立,
2 2 2 2 2

x

x

x

x

x

x2+2x 1 也就 是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+1 x+1
设 y=x+1- 即 y=x+1- 1

x+1

,则 y′=1+

1 2>0, ?x+1?

1 在(-1,1)上单调递增, x+1

1 3 则 y<1+1- = , 1+1 2 3 故 a≥ . 2

4


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