北京市东城区2012年高三一模文科数学试题及答案 2


北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学 (文科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)若 a , b ? R , i 是虚数单位,且 a ? ( b ? 2 )i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为 (A) 1 (B) 2
2

(C) 3

(D) 4

(2)若集合 A ? { 0 , m } , B ? { 1 , 2 } ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? { 0 , 1 , 2 } ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? y ? x, ? (3)若点 P ( x , y ) 在不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 ?

(A) 0

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(4)已知 x , y , z ? R ,若 ? 1 , x , y , z , ? 3 成等差数列,则 x ? y ? z 的值为 (A) ? 2 (B) ? 4
1 2 ? 1 4 ?

(C) ? 6
1 6 ? 1 8 ? ... ?

(D) ? 8
1 100

(5)右图给出的是计算

的一个程序框图,

其中判断框内应填入的条件是 (A) i ? 50
?

(B) i ? 50
2 10
?

(C) i ? 25
?

(D) i ? 25

(6)已知 s in ( ? ? 4 5 ) ? ? (A)
5 13

,且 0 ? ? ? 9 0 ,则 c o s ? 的值为 (B)
12 13

(C)

3 5

(D)

4 5
x

(7) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b ) ( 其中 a ? b ) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x ) ? a ? b 的 图象大致为

(A)
1

(B)
1

(C)

(D)
x ? A, x ? B.

1 ? ? x? , ( 8 ) 设 集 合 A ? [ 0 , ), B ? [ ,1] , 函 数 f ( x ) ? ? 2 2 2 ? 2 (1 ? x ) , ?
f [ f ( x 0 ) ] ? A , 则 x 0 的取值范围是

若 x0 ? A ,且

(A) 0 , (
3 8

1 4

]

(B) (

1 4

,

1 2

]

(C) (

1 4

,

1 2

)

(D) [0,

]

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 .
1 2
主视图

1 2
左视图

(10) 命题“ ? x 0 ? ( 0 ,

? 2

), ta n x 0 ? s in x 0 ”的否定是

.
2

(11) 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 若从甲、 乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个 最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.


俯视图

甲 5 4 5 5 0 1 1 7 8 9 9 4 3 4

乙 6 4 7

(12)双曲线 x ? y ? 2 的离心率为
2 2

; 若抛物线 y ? a x 的焦点恰好为该双曲线的右焦点,
2

则 a 的值为

.
??? ???? ?

(13)已知△ A B C 中, A D ? B C 于 D , A D ? B D ? 2 , C D ? 1 ,则 A B ? A C ? ___.

(14) 已知数列 ? a n ? , a 1 ? m , m ? N , a n ? 1
?

? an , ? ? 2 ? ? ? an ? 1 , ? 2 ?

an为 偶 数 , an为 奇 数 .

若 ? a n ? 中有且只有 5

个不同的数字,则 m 的不同取值共有

个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? (s in 2 x ? c o s 2 x ) ? 2 s in 2 x .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x ) 的图象是由 y ? f ( x ) 的图象向右平移
x ? [0

? 8

个单位长度得到的,当

,

? 4

]时,求 y ? g ( x ) 的最大值和最小值.

(16) (本小题共 13 分) 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”.若小区内有至少 75 % 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称 为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为 所示,经过 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低 碳小区”的标准?
1 2

,数据如图 1

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05
O

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)
O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

(17) (本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 A B C 中, E , F , P 分别为 A B , A C , B C 上的 点,且满足 A E ? F C ? C P ? 1 .将△ A E F 沿 E F 折起到△ A1 E F 的位置,使平面 A1 E F ? 平面 E F B ,连结 A1 B , A1 P .(如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A1 B 中点,求证: P Q ∥平面 A1 E F ; (Ⅱ)求证: A1 E ? E P .
A

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

(18) (本小题共 13 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x ) ? ( a x ? 2 ) e 的一个极值点.
x

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)当 x 1 , x 2 ? ? 0 , 2 ? 时,证明: f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? e .

(19) (本小题共 13 分)
x a
2 2

已知椭圆 C :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点 ? 0 ,1 ? ,且离心率为

3 2

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A1 , A 2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上 异于 A1 , A 2 的动点,直线 A1 P , A 2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明: D E ? D F 恒为 定值. (20)(本小题共 14 分) 对于函数 f ( x ) ,若 f ( x 0 ) ? x 0 ,则称 x 0 为 f ( x ) 的“不动点” ;若 f ? f ( x 0 ) ? ? x 0 , 则称 x 0 为 f ( x ) 的“稳定点”.函数 f ( x ) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B , 即 A ? ? x f ( x ) ? x? ,
B ?

? x f ? f ( x ) ? ? x? .

(Ⅰ)设函数 f ( x ) ? 3 x ? 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,且 A ? ? ,求证: B ? ? .
2

北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 (文科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)B (2)A (6)D (3)D (7)A (4)C (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)
4 3

? (10) x ? ( 0 ,

? 2

), ta n x ? s in x

(11) 84



(12) 2

8

(13) 2

(14) 8

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? ( s in 2 x ? c o s 2 x ) ? 2 s in 2 x
2 2

? sin 4 x ? co s 4 x
? 2 s in ( 4 x ? ? 4 ) ,

????6 分
? 2

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x ) ?

.
? 8 ) ?

????8 分
? 4

2 s in [ 4 ( x ?

]

? ? 4

2 s in ( 4 x ? ? 4
3? 16

? 4

). ? 4 3? 4

????10 分

因为 0 ? x ?
? 4 ? 2 ? ?

,所以 ?

? 4x ?

?

.

????11 分

当4x ?

?

,即 x ?
? 4

时, g ( x ) 取最大值 2 ;

当4x ?

? 4

,即 x ? 0 时, g ( x ) 取最小值 ? 1 .

???13 分

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A , B , C ,两个“低碳小区”为
m , n,

????2 分

用 ( x , y ) 表示选定的两个小区, x , y ? ? A , B , C , m , n ? , 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A , B ) , ( A , C ) ,
( A , m ) ,( A , n ) , ( B , C ) , ( B , m ) , ( B , n ) , ( C , m ) , ( C , n ) ,( m , n ) .

????5

分 用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果 有 6 个,它们 是: ( A , m ) , ( A , n ) , ( B , m ) , ( B , n ) , ( C , m ) , ( C , n ) . 故所求概率为 P ( D ) ?
6 10 ? 3 5

????7 分

.

????8 分

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 3 0 0 千克的成为“低碳 族”. ????10 分 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为
0 .0 7 ? 0 .2 3 ? 0 .4 6 ? 0 .7 6 ? 0 .7 5 ,????12 分

所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准.????13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A1 E 中点 M ,连结 Q M , M F . 在△ A1 B E 中, Q , M 分别为 A1 B , A1 E 的中点, 所以 Q M ∥ B E ,且 Q M ? 因为
CF FA ? CP PB ? 1 2 1 2 BE , 1 2 BE .

A1 M Q E F B P C



所以 P F ∥ B E ,且 P F ?

所以 Q M ∥ P F ,且 Q M ? P F . 所以四边形 P Q M F 为平行四边形. 所以 P Q ∥ F M . ????5 分

又因为 F M ? 平面 A1 E F ,且 P Q ? 平面 A1 E F , 所以 P Q ∥平面 A1 E F . (Ⅱ) 取 B E 中点 D ,连结 D F . 因为 A E ? C F ? 1 , D E ? 1 , 所以 A F ? A D ? 2 ,而 ? A ? 6 0 ,即△ A D F 是正三角形. 又因为 A E ? E D ? 1 , 所以 E F ? A D . 所以在图 2 中有 A 1 E ? E F . ????9 分
B P C D
?

????7 分
A

E

F

因为平面 A1 E F ? 平面 E F B ,平面 A1 E F ? 平面 E F B ? E F , 所以 A 1 E ⊥平面 B E F . 又 E P ? 平面 B E F , 所以 A 1 E ⊥ E P . (18) (共 13 分) (Ⅰ)解: f '( x ) ? ( a x ? a ? 2 ) e ,
x

????12 分

????14 分

????2 分

由已知得 f ' (1 ) ? 0 ,解得
a ? 1.
x

????4 分 当 a ? 1 时, f ( x ) ? ( x ? 2 ) e ,在 x ? 1 处取得极小值. 所以 a ? 1 .
x

????5 分
x

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, f ( x ) ? ( x ? 2 ) e , f '( x ) ? ( x ? 1) e .

当 x ? ?0 ,1 ? 时, f ' ( x ) ? ( x ? 1 ) e ? 0 , f ( x ) 在区间 ? 0 ,1 ? 单调递减;
x

) 当 x ? ?1 , 2 ? 时 , f ' ( x ?

(? x

1 e) ? ,0 f ( x ) 在 区 间 ? 1 , 2 ? 单 调 递
x

增. ????8 分 所以在区间 ? 0 , 2 ? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ? e , 又 f (0 ) ? ? 2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0 , 2 ? 上, f ( x ) 的最大值为 f ( 2 ) ? 0 . ????12 分

对于 x1 , x 2 ? ? 0 , 2 ? ,有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f m a x ( x ) ? f m in ( x ) . 所以 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? ( ? e ) ? e . (19) (共 13 分)
b ? 1, ? ? 3 ? c (Ⅰ)解:由已知 ? ? , 2 ? a 2 2 2 ?a ? b ? c . ?

????13 分

解得 a ? 2 . 所以椭圆的方程为
x
2

????4 分
? y
2

? 1.

????5 分

4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 ( ? 2 , 0 ) , A 2 ( 2 , 0 ) .设 P ( x 0 , y 0 ) ,依题意 ? 2 ? x 0 ? 2 , 于是直线 A1 P 的方程为 y ? 即 D E ? (2 2 ? 2)
y0 x0 ? 2
y0 x0 ? 2 (x ? 2) , x ? 2 令

2 , y ? 则

( 2 2

2 ? )

y0

x0 ? 2

.

.
y0

????7 分
(2 2 ? 2) y0 x0 ? 2

又直线 A 2 P 的方程为 y ? 即 D F ? (2 2 ? 2)
y0 x0 ? 2

x0 ? 2

( x ? 2 ) ,令 x ? 2

2 ,则 y ?



.
y0 x0 ? 2 ? (2 2 ? 2) y0 x0 ? 2 ? 4 y0
2 2

?9 分
? 4 y0
2 2

所以 D E ? D F ? ( 2 2 ? 2 ) 11 分 又 P ( x0 , y0 ) 在
x
2

x0 ? 4

4 ? x0

,?

? y

2

? 1 上,所以

x0 4

2

4

? y 0 ? 1 ,即 4 y 0 ? 4 ? x 0 ,代入上式,
2

2

2

得 DE ? DF ?

4 ? x0 4 ? x0

2 2

? 1 ,所以 | D E | ? | D F | 为定值 1 .

????13 分

(20) (共 14 分) (Ⅰ)解:由 f ( x ) ? x ,得 3 x ? 4 ? x ,解得 x ? ? 2 ; ????1 分 ????3 分

由 f ? f ( x ) ? ? x ,得 3 (3 x ? 4 ) ? 4 ? x ,解得 x ? ? 2 . 所以集合 A ? ? ? 2 ? ,
B ? ? ? 2? .

????4 分

(Ⅱ)证明:若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立; 若 A ? ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f ( t ) ? t , 所以 f ? f ( t ) ? ? f ( t ) ? t ,故 t ? B ,所以
A ? B .
2

????8 分

(Ⅲ)证明:由 A ? ? ,得方程 a x ? b x ? c ? x 无实数解, 则
? ? ( b ? 1) ? 4 a c ? 0 .
2

???

?10 分 ① 当 a ? 0 时, 二次函数 y ? f ( x ) ? x (即 y ? a x ? ( b ? 1) x ? c ) 的图象在 x
2

轴的上方, 所以任意 x ? R , f ( x ) ? x ? 0 恒成立, 即对于任意 x ? R , f ( x ) ? x 恒成立, 对于实数 f ( x ) ,则有 f ? f ( x ) ? ? f ( x ) 成立, 所以对于任意 x ? R , f ? f ( x ) ? ? f ( x ) ? x 恒成立,则
B ? ? .

????12 分
2

②当 a ? 0 时,二次函数 y ? f ( x ) ? x (即 y ? a x ? ( b ? 1) x ? c )的图象在 x 轴的下方, 所以任意 x ? R , f ( x ) ? x ? 0 恒成立, 即对于任意 x ? R , f ( x ) ? x 恒成立,

对于实数 f ( x ) ,则有 f ? f ( x ) ? ? f ( x ) 成立, 所以对于任意 x ? R , f ? f ( x ) ? ? f ( x ) ? x 恒成立,则 B ? ? . 综上,对于函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,当 A ? ? 时,
2

B ? ? .

????14 分


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