重庆复旦中学2014-2015学年高二上学期期中考试 数学理试题

重庆复旦中学 2014-2015 学年高 二上学期期中考试 数学理试题 尊重自己!爱护复旦!复旦过去的光荣,将的灿烂,全赖我们共同爱护,共 同发展!同学:今天在考试的时候,不要忘记自己!不要忘记复旦!考场秩序井 然,人人洁身自爱。 考试时间:120 分钟,满分:150 分。请将答案工整地书写在答题 卡上 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如果 AC>0,BC>0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( ) A. B. C. D. 3.木星的体积约是地球体积的 ( ) A.60 倍 B.60 倍 倍,则它的表面积约是地球表面积的 C.120 倍 D.120 倍 ) 4. 在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中与 AD′成 60°角的面对角线的条数是 ( A.4 B.6 C.8 D.10 5.有一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.16 B.20 C.24 D.32 6.直线 L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若 L1∥L2,则 a 的值为( ) A.﹣3 B.2 C.﹣3 或 2 D.3 或﹣2 7.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 8.如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论中恒成立的个数为( ) (1)EP⊥AC; (2)EP∥BD; (3)EP∥面 SBD; (4)EP⊥面 SAC. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.直线 kx﹣y=k+2 和 x﹣ky=k(k>1)与 y 轴围成的三角形的面积的最小值 为( ) A.3 B. C. D. 10.点 A、B、C、D 在同一球面上,AB=BC= 的最大值为 ,则这个球的表面积为( A. B.8π ) C. D. ,AC=2,若四面体 ABCD 的体积 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡 对应题号的位置上. 11.已知直线 y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线经过第一、三、四象限,则实数 a 的取值范围是 _________ . 12.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆,则这个圆锥的底面积是 _________ . 13.直线 l1:a1x+b1y+1=0 直线 l2:a2x+b2y+1=0 交于一点(2,3) ,则经过 A(a1, b1) ,B(a2,b2)两点的直线方程为 _________ . 14.已知直线 l 过点 P(2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最小值为 _________ . 15.如图,二面角 α ﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB?α .B∈l,AB 与 l 所成 的角为 30°.则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是 _________ . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16. (13 分)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA=AB,PC=BC,E、F、G 分别为 PA、AB、 PB 的中点, (1)求证:EF∥平面 PBC; (2)求证:EF⊥平面 ACG. 17. (13 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD. 18. (13 分)已知三角形的顶点是 A(﹣5,0) 、B(3,﹣3) 、C(0,2) , (1)求直线 AB 的方程; (2)求△ABC 的面积; (3)若过点 C 直线 l 与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率 k 的范围. 19. (12 分)已知点 A(1,1) ,B(2,2) ,C(4,0) ,D( 段 CD 垂直平分线上,求: (1)线段 CD 垂直平分线方程; (2)|PA|2+|PB|2 取得最小值时 P 点的坐标. , ) ,点 P 在线 20. (12 分)如图:一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个半径为 x 的内接圆 柱. (1)试用 x 表示圆柱的体积; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大,最大值是多少. 21. (12 分)已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 中点. (1)求证:AB1∥平面 C1DB; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值. 重庆复旦中学 2014—2015 学年度上期半期考 试 高 2016 级数学试题(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题 ABCCB, 二.填空题 11. 12. . . ABBDC 13. 2x+3y+1=0 . 14. 4 . 15. . 三.解答题(共 6 小题) 16. (13 分)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA=AB,PC=BC,E、F、G 分别为 PA、AB、PB 的中点, (1)求证:EF∥ 平面 PBC; (2)求证:EF⊥ 平面 ACG. 考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由线面平行的判定定理 EF∥ 平面 PBC 即可; (2)由

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