黑龙江省大庆铁人中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析

黑龙江省大庆铁人中学 2015 届高三 10 月月考数学(理)试题(解析版) 【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容,如复数、简易逻辑试卷都有 所考查。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 【题文】1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x -2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)
2

)

【知识点】交、并、补集的混合运算.A1 【答案解析】B 解析:由题意 B={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故?RB={x|x<﹣1 或 x> 3},又集合 A={x|1<x<4},∴ A∩ (?RB)=(3,4) ,故选 B 【思路点拨】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运 算规则解出 A∩ (?RB)即可得出正确选项。 【题文】2.下列命题中是假命题的是( ) A.?φ ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ )都不是偶函数 B.?a>0,f(x)=lnx-a 有零点 C.?α ,β ∈R,使 cos(α +β )=cosα +sinβ D.?m∈R,使 f(x)=(m-1)·x
m -4m+3
2

2

是幂函数,且在(0,+∞)上递减

【知识点】全称命题;特称命题.A2 【答案解析】A 解析:对于 A,当 φ= 时,函数 f(x)=sin(2x+φ)=cos2x 是偶函数,

∴ A 是假命题; 对于 B,∵ y=lnx 时,y∈R,∴ 对于?a>0,f(x)=lnx﹣a 有零点是正确的,∴ B 是真命题; 对于 C,当 α= 时,cos( +β)=cos +sinβ,∴ C 是真命题;
m2﹣4m+3

对于 D,m=2 时,函数 f(x)=(m﹣1)?x 是幂函数,且在(0,+∞)上递减,∴ D 是真命题. 故选:A. 【思路点拨】A 通过举例说明是假命题;B 由 lnx∈R,说明 f(x)有零点是正确的;C 举例 说明是真命题;D 举例说明是真命题. a b 【题文】3.已知 a、b 为实数,则“2 >2 ”是“lna>lnb”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案解析】B 解析:由“2 >2 ”得 a>b,由“lna>lnb”得 a>b>0, a b 则“2 >2 ”是“lna>lnb”的必要不充分条件,故选:B 【思路点拨】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论。 【题文】4.函数 f(x)=2 +x-4 的零点所在的区间为( A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2)
1
x

a

b

) D.(2,3)

【知识点】函数零点的判定定理.B9 【答案解析】C 解析:对于连续函数 f(x)=2 +x﹣4,由于 f(1)=﹣1<0,f(2)=2>0, x 故函数 f(x)=2 +x﹣4 的零点所在的一个区间是(1,2) ,故选 C. x 【思路点拨】由于 f(1)=﹣1<0,f(2)=2>0,可得函数 f(x)=2 +x﹣4 的零点所在的 一个区间是(1,2) . → → → → → 【题文】5. 已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s 的值 是( ) 4 2 A. 0 B. C.-3 D. 3 3 【知识点】向量的加法及其几何意义.F1 【答案解析】A 解析:∵ △ ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 ∵ 在△ ABC 中, ∵ 故选 A 【思路点拨】可以先根据三角形中的位置关系,把向量 比较,即可得到 r+s 的值. π 【题文】6.x= 是函数 f(x)=asinx+bcosx 的一条对称轴,且 f(x)的最大值为 2 2,则 4 函数 g(x)=asinx+b( ) B.最大值可能是 0 D.最小值不可能是-4 用向量 表示,再与给出的 = ,∴ ,∴ ∴ r= ,s=﹣ ,∴ r+s=0 ∴ = ,
x

A.最大值是 2,最小值是-2 C.最大值是 4,最小值是 0

【知识点】三角函数的最值;两角和与差的正弦函数.C3 C5 【答案解析】B 解析:∵ x= 其中,cosθ= ,sinθ= , b=2 ,或 a+ b=﹣2 , 是 f(x)=asinx+bcosx= , sin(x+θ) 的一条对称轴,

且函数 f(x)的最大值为 2 则 a +b =8,f(
2 2

)=

a+

可得 a+b=4,或 a+b=﹣4,∴ a=b=2,或 a=b=﹣2,g(x)=2sinx+2,或 g(x)=﹣2sinx﹣2, 故 g(x)=asinx+b 的最大值可能为 0,故选:B. 【思路点拨】由题意可得 f(x)= 或 f( )= a+ b=﹣2 sin(x+θ) ,a +b =8,f(
2 2

)=

a+

b=2



,求得 a、b 的值,可得 g(x)=2sinx+2,或 g(x)=﹣2sinx

2

﹣2,由此得出结论. → → 【题文】7. 已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量CD在AB方向上的投 影 3 2 A. 2 B. 3

5

3 2 C.- 2

D.- 3

5

【知识点】平面向量数量积的运算.F2 【答案解析】B 解析:因为点 A(﹣1,1) 、B(1,2) 、C(﹣2,﹣1) 、D(3,4) , 则向量 所以向量 =(5,5) , 在 =(2,1) , = ;故选 B.

方向上的投影为

【思路点拨】首先利用有向线段的坐标求法求出向量 定义解答.



的坐标,然后利用向量的投影

? ax ( x ? 1) ? 【题文】 8. 已知 f(x)= ? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范 a (4 ? ) x ? 2 ( x ? 1) ? ? 2
围为 A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

【知识点】函数单调性的判断与证明.B3 【答案解析】B 解析:∵ 当 x≤1 时,f(x)=(4﹣ )x+2 为增函数,∴ 4﹣ >0?a<8 又∵ 当 x>1 时,f(x)=a 为增函数,∴ a>1 同时,当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值 ∴ (4﹣ )×1+2≤a =a?a≥4,综上所述,4≤a<8,故选 B。 【思路点拨】先根据当 x≤1 时,f(x)是一次函数且为增函数,可得一次项系数为正数,再 根据当 x>1 时,f(x)=a 为增函数,可得底数大于 1,最后当 x=1 时,函数对应于一次函 数的取值要小于指数函数的取值.综合,可得实数 a 的取值范围. π 【题文】9. 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,|φ |< )的图象如图所示,为了得到 2
x 1 x

g(x)=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象(
π A.向右平移 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 6

)

π B.向右平移 个单位长度 12 π D.向左平移 个单位长度 12
3

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案解析】D 解析:由图象可知 A=1,T=π,∴ ω= ∴ f(x)=sin(2x+φ) ,又因为 f( ∴ ∵ |φ| +φ= +2kπ,φ= )=sin( (k∈Z) =2

+φ)=﹣1

,∴ φ= )=sin( +2x﹣ )=cos(2x﹣ )﹣ ) ]=cos2x=y

∴ f(x)=sin(2x+

∴ 将函数 f(x)向左平移 故选 D.

可得到 cos[2(x+

【思路点拨】先根据图象确定 A 和 T 的值,进而根据三角函数最小正周期的求法求 ω 的值, 再将特殊点代入求出 φ 值从而可确定函数 f(x)的解析式,然后根据诱导公式将函数化为 余弦函数,再平移即可. 【题文】 10. 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40n mile 的速度沿东偏南 50°方向直线航行, 30min 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2n mile B.10 3n mile C.20 2n mile )

D.20 3n mile

【知识点】解三角形的实际应用.C8 【答案解析】A 解析:如图,

由已知可得,∠ BAC=30°,∠ ABC=105°,AB=20, 从而∠ ACB=45°. 在△ ABC 中,由正弦定理可得 BC= 故选:A 【思路点拨】先根据题意画出图象确定∠ BAC、∠ ABC 的值,进而可得到∠ ACB 的值,最后根据 正弦定理可得到 BC 的值. 【题文】 11.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12, 则 a8=( A.0 ) B.3 C.8 D.11
*

=10



【知识点】数列递推式.D1
4

【答案解析】B 解析:依题意可知 ∵ bn=an+1﹣an,∴ b1+b2+…+bn=an+1﹣a1, ∴ a8=b1+b2+…+b7+3=

求得 b1=﹣6,d=2

+3=3,故选 B.

【思路点拨】先利用等差数列的通项公式分别表示出 b3 和 b10,联立方程求得 b1 和 d,进而 利用叠加法求得 b1+b2+…+bn=an+1﹣a1,最后利用等差数列的求和公式求得答案. 【题文】12. 函数 f ( x) ? 2sin ? x 与函数 f ( x) ?
3

x ?1 的图象所有交点的横坐标之和为

A.8 B.9 C. 16 D.17 【知识点】函数的零点与方程根的关系;正弦函数的图象.B9 C3 【答案解析】D 解析:函数 f(x)= 点(1,0)对称,由 由 关于点(1,0)对称,而 f(x)=2sinπx 也关于

=2,解得 x=9,

=﹣2,解得 x=﹣7,作出两个函数的图象,

由图象可知两个图象共有 17 个交点,除(1,0)外, 其余 16 个交点分别关于(1,0)对称, 设对称的两个交点的横坐标分别为 x1,x2,则 x1+x2=2, 则所有交点的横坐标之和为 2×8+1=17,故选:D 【思路点拨】根据函数的对称性,利用数形结合即可得到结论. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 【题文】13 设{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成 等比数列,则 a1 的值为 【知识点】等比数列的性质.D3 【答案解析】﹣ 解析:由题意可得,an=a1+(n﹣1) (﹣1)=a1+1﹣n,

Sn=

=



5

再根据若 S1,S2,S4 成等比数列,可得 解得 a1=﹣ ,故答案为:﹣ .

=S1?S4,即

=a1?(4a1﹣6) ,

【思路点拨】由条件求得,Sn= =S1?S4,由此求得 a1 的值.

,再根据 S1,S2,S4 成等比数列,可得

【题文】14 如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随 机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 _________ . 【知识点】几何概型.K3 【答案解析】 解析:由题意,y=lnx 与 y=e 关于 y=x 对称, (e﹣e )dx=2(ex﹣e )
x x x

∴ 阴影部分的面积为 2

=2,
2

∵ 边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形的面积为 e , ∴ 落到阴影部分的概率为 .故答案为: .

【思路点拨】利用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率. 【题文】15.数列{an}通项公式 an=2n sin( = 【知识点】数列的求和.D4 【答案解析】-1008 解析:an=2n?sin( =2n( ﹣ )+ cos ﹣ )+ , ncos


2



π nπ )+ 3ncos ,前 n 项和为 Sn,则 S2015 3 2

=nsin





S2015=a1+a2+…+a2012 =(1+5+9+…+2013)﹣(3+7+9+…+2015) = =﹣1008. 故答案为:﹣1008. 【思路点拨】由已知条件推导出通项,从而能求出结果. 【题文】16. 给出下列四个命题: ①命题 ?x ? 1, x ? 1 的否定是 ?x ? 1, x ? 1;
2 2

6

②函数 f ( x) ?

ax ?1 (a ? 0且a ? 1) 在 R 上单调递减; ax ?1

③设 f ( x) 是 R 上的任意函数, 则 f ( x) | f (? x) | 是奇函数, f ( x) + f (? x) 是偶函数; ④定义在 R 上的函数 f ?x ? 对于任意 x 的都有 f ( x ? 2) ? ? ⑤已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, 其中真命题的序号是

4 ,则 f ?x ? 为周期函数; f ( x)

2 1 ) ,则 f (4) 的值等于 2 2

(把所有真命题的序号都填上) 。

【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】④⑤ 解析:﹣x 解:对于① ,命题?x >1,x>1 的否定是?x >1,x≤1,故① 错误;对于② ,函数 f(x)= =1﹣ ,
2 2

当 0<a<1 时,y=a +1 是减函数,y=

x

为增函数,故 f(x)=

=1﹣

为减函

数;当 a>1 时,y=a +1 是增函数,同理可得 f(x)=

x

=1﹣

为增函数,故② 错误;

对于③ ,设 f(x)是 R 上的任意函数,令 h(x)=f(x)+f(﹣x) , 则 h(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=h(x) ,所以 f(x)+f(﹣x)是偶函数,故③ 正确; 对于④ ,定义在 R 上的函数 f(x)对于任意 x 的都有 ﹣2]=﹣ =f(x) , ,则 f[(x﹣2)

所以 f(x)是以 4 为周期函数,故④ 正确; 对于⑤ ,已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点
α

,则

=2 ,解得 α=﹣ ,

α

所以 f(4)=

= ,故⑤ 正确;综上所述,③ ④ ⑤ 正确;
2

【思路点拨】① 写出命题?x >1,x>1 的否定,可判断① ; ② 由于函数 f(x)= =1﹣ ,分 0<a<1 与 a>1 两种情况讨论,可知该函数的单

调情况,从而可判断② ; ③ 设令 h(x)=f(x)+f(﹣x) ,利用奇偶函数的概念可判断③ ; ④ 由 ?f[(x﹣2)﹣2]=﹣ =f(x) ,可判断④ ;

⑤ 已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点

α

,可求得 f(x)=

,从而可求 f(4)

7

的值,可判断⑤ . 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 【题文】17. (本题 10 分) 已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在闭区间[﹣ , ]上的最大值和最小值. )﹣ cos x+
2

,x∈R.

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.C3 C7 【答案解析】 (1)π (2)最大值为 ,最小值为 解析: (1)由题意得,f(x)=cosx?( sinx = = = = 所以,f(x)的最小正周期 (2)由(1)得 f(x)= 由 x∈[﹣ ∴ 当 当 , =﹣ = ]得,2x∈[﹣ 时,即 , ],则 =π . , ∈[ , ], , . cosx)

=﹣1 时,函数 f(x)取到最小值是: = 时,f(x)取到最大值是: , .

时,即

所以,所求的最大值为 ,最小值为

【思路点拨】 (1)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函 数的周期公式 的范围, 求出 求出此函数的最小正周期; (2)由(Ⅰ )化简的函数解析式和条件中 x 的范围, 再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.

【题文】18. (本题 12 分) 已知数列{an}的首项 a1=1,且满足 an+1= (n∈N ). 4an+1

an

*

8

1 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

an

(2)设 cn=bn·2 ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 【知识点】数列递推式;数列的求和.D1 D4 1 n+1 【答案解析】 (1)an= ; (2)Sn=(4n-7)·2 +14. 4n-3 1 an 1 1 1 1 解析:(1)b1= =1,an+1= , =4+ , - =4, a1 4an+1 an+1 an an+1 an ∴bn+1-bn=4. 数列{bn}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 1

n

an

=bn=1+4(n-1)=4n-3,

1 * ∴数列{an}的通项公式为 an= (n∈N ). 4n-3 (2)Sn=2 +5×2 +9×2 +?+(4n-3)·2 ,① 2Sn=2 +5×2 +9×2 +?+(4n-3)·2 ②-①并化简得 Sn=(4n-7)·2
n+1
2 3 4 1 2 3

n

n+1

,②

+14. 取倒数,得到

【思路点拨】 (1)为等差数列的证明,由

,即 bn+1﹣bn=4,故数列{bn}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列,易求通项 公式; (2)为数列的求和,由 可知数列的每一项是由一个等差数列与一个等比

数列对应项的乘积构成,故可由错位相减法求和. 【题文】19. (本题 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足( 2a-c) BA ? BC =c CB ? CA (1)求角 B 的大小; (2)若| BA ? BC |= 6,求△ABC 面积的最大值. 【知识点】解三角形;三角函数的化简求值;正弦定理的应用;余弦定理的应用.C7 C8 π 3 【答案解析】 (1)B= ; (2) 4 2+ 1 2

解析:(1)由题意得( 2a-c)cosB=bcosC. 根据正弦定理有( 2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 所以 2sinAcosB=sin(C+B),即 2sinAcosB=sinA. 因为 sinA>0,所以 cosB= 2 , 2
9

π 又 B∈(0,π ),所以 B= . 4 → → → (2)因为|BA-BC|= 6,所以|CA|= 6, 即 b= 6, 根据余弦定理及基本不等式得 6=a +c - 2ac≥2ac- 2ac=(2- 2)ac(当且仅当 a=c 时取等号), 即 ac≤3(2+ 2). 1 3 2+1 故△ABC 的面积 S= acsinB≤ 2 2 【思路点拨】 (1)利用向量数量积的运算法则化简已知可得 ,然 后利用正弦定理化简后,根据 sinA 不为 0 得到 cosB 的值,根据 B 的范围及特殊角的三角 函数值即可求出 B 的度数; (2)根据向量的减法法则由 得到 即
2 2

得到 b 的平方等于 6,然后根据余弦定理表示出 b 的平方,把 b 的平方代入后,利用基本不 等式即可求出 ac 的最大值, 根据三角形的面积公式, 利用 ac 的最大值及 B 的度数求出 sinB 的值,即可得到面积的最大值. 【题文】20. (本题 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 记 bn ? log 3
2 an 3 1 ,数列 { . } 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? 16 4 bn ? bn? 2

1 an ? 1 . 2

【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5 【答案解析】 (1) an ? 解析:(1)由题

2 ; (2)见解析 3n

1 1 ①, S n ? an ? 1 ②, S n ?1 ? an ?1 ? 1 2 2 1 1 1 ①-②可得 an ?1 ? an ?1 ? an ? 0 ,则 an ?1 ? an . 3 2 2 1 当 n ? 1 时 S1 ? a1 ? 1 ,则 a1 ? 2 ,则 {an } 是以 2 为首项, 1 为公比的等比数列, 2 3 3 3 2 1 2 因此 an ? a1 ? q n ?1 ? ? ( ) n ?1 ? n . 3 3 3
2 an ? log3 3?2 n ? ?2n , 4

(2) bn ? log 3 所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ), bn ? bn ? 2 2n ? 2(n ? 2) 4 n(n ? 2) 8 n n ? 2

1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? 8 1 3 2 4
【思路点拨】 (1)由

?

1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ) ? (1 ? ? ? )? n ?1 n ?1 n n ? 2 8 2 n ? 1 n ? 2 16
,先分别令 n=1,2,3,求出 a1= ,a2= ,a3=
10

.由此

猜想 an= =

.再用数学归纳法证明; (2)由 an= = 的前 n 项和 Tn< .

,知 = (

=

=﹣2n,故

) ,由此利用裂项求和法

能够证明数列

【题文】21. (本题 12 分) 1 3 a 2 设函数 f(x)= x - x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. 3 2 (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间, 求实数 a 的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12
?c=1 ? 【答案解析】 (1)? ; (2)函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递 ?b=0 ?

减区间为(0,a).(3) (-∞,-2 2). 2 解析:(1)f ′(x)=x -ax+b, 由题意得?
? ?f

0 =1 0 =0
2

? ?f ′

,即?

? ?c=1 ? ?b=0

.

(2)由(1)得,f ′(x)=x -ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0, 当 x∈(0,a)时,f ′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x -ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x -ax+2<0 成立, 2 即 x∈(-2,-1)时,a<(x+ )max=-2 2即可,
2 2

x

所以满足要求 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 【思路点拨】 (1)由切点坐标及切点处导数值为 0,列一方程组,解出即可; (2)在 a>0 的条件下,解不等式 f′ (x)>0 及 f′ (x)<0 即可; (3)g(x)在区间(﹣2,﹣1)内存 在单调递减区间,即 g′ (x)<0 在区间(﹣2,﹣1)内有解,由此可求 a 的范围. 【题文】22. (本题 12 分)

11

设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在, 求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:不等式 ?1 ? ?

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? 2 k ?1 k ? 1
2

n

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】 (1)0; (2) b 的取值范围是 x ??1, ?? ? ;(3)见解析 解析: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x
∴ f ( x) ?

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?
1

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0 1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ??? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)由已知得: g ?( x ) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;

12

(iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x ) ? 当 x ? ?0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , b 1? x

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ??1, ?? ? (3)证明:由以上可得: 取 x= ,可得 , ,





则 x1= ,xn﹣xn﹣1= ∴ 数列{xn}是单调递减数列, ∴ xn≤x1= , n≥2 时,xn﹣xn﹣1= ∴ xn﹣x1 ∴ , .



=﹣

<0,







综上可得:﹣1<

﹣lnx

(n=1,2…)成立.

【思路点拨】 (1)函数 f(x)在 x=0 处有极值,可得 f′ (0)=0,解得 a.再利用导数研究 函数的单调性极值与最值即可得出. (2)由已知得:g′ (x)= ﹣b,对 b 分类讨论:b≥1,

b≤0,0<b<1,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. (3)由以上可得: ,取 x= ,可得 ,即可得出.

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