2019高三数学文北师大版一轮教师用书:第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结
词“且”“或”“非”
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存 在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

(对应学生用书第 5 页) [基础知识填充]

1.简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.

(2)命题 p 且 q,p 或 q,綈 p 的真假判断

p

q

p且q

p或q

非p









































2. 全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”

等.

(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某

个”“有的”等.

3.全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题.

(2)含有存在量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.

(2)p 或 q 的否定为:綈 p 且綈 q;p 且 q 的否定为:綈 p 或綈 q.

[知识拓展]

1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p 或 q:p、q 中有一个为真,则 p 或 q 为真,即有真为真; (2)p 且 q:p、q 中有一个为假,则 p 且 q 为假,即有假即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. 2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)命题“5>6 或 5>2”是假命题.(  ) (2)命题綈(p 且 q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是假命题.(  )

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(  ) (4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(  ) [解析] (1)错误.命题 p 或 q 中,p,q 有一真则真. (2)错误.p 且 q 是真命题,则 p,q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相 等”,是全称命题. (4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)已知 p:2 是偶数,q:2 是质数,则命题綈 p,綈 q,p 或 q,p

且 q 中真命题的个数为(  )

A.1    

B.2    

C.3    

D.4

B [p 和 q 显然都是真命题,所以綈 p,綈 q 都是假命题,p 或 q,p 且 q

都是真命题.]

3.(2015·全国卷Ⅰ)设命题 p:存在 n∈N,n2>2n,则綈 p 为(  )

A.任意 n∈N,n2>2n

B.存在 n∈N,n2≤2n

C.任意 n∈N,n2≤2n

D.存在 n∈N,n2=2n

C [因为“存在 x∈M,p(x)”的否定是“任意 x∈M,綈 p(x)”,所以命题“存在

n∈N,n2>2n”的否定是“任意 n∈N,n2≤2n”.故选 C.] 4.(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是(  )

A.任意 x∈R,2x-1>0 B.任意 x∈N*,(x-1)2>0

C.存在 x∈R,lg x<1

D.存在 x∈R,tan x=2 B [当 x=1 时,(x-1)2=0,故 B 是假命题.] 5.若命题“任意 x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是

________.

【导学号:00090008】

[-8,0] [当 a=0 时,不等式显然成立.

当 a≠0 时,依题意知Error!

解得-8≤a<0.

综上可知-8≤a≤0.]

(对应学生用书第 5 页)

含有逻辑联结词的命题的真假判断

 设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命

题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥C.则下列命题中真命题是(  )

A.p 或 q    

B.p 且 q

C.(綈 p)且(綈 q)

D.p 且(綈 q)

A [取 a=c=(1,0),b=(0,1),显然 a·b=0,b·c=0,但 a·c=1≠0,∴p 是 假命题. a,b,c 是非零向量, 由 a∥b 知 a=xb,由 b∥c 知 b=yc, ∴a=xyc,∴a∥c,∴q 是真命题. 综上知 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题.

又∵綈 p 为真命题,綈 q 为假命题, ∴(綈 p)且(綈 q),p 且(綈 q)都是假命题.] [规律方法] 1.“p 或 q”“p 且 q”“綈 p”形式的命题真假判断的关键是对

逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成 形式;(2)判断其中命题 p,q 的真假;(3)确定“p 或 q”“p 且 q”“綈 p”

形式的命题的真假.

2.p 且 q 形式是“一假必假,全真才真”,p 或 q 形式是“一真必真,全假

才假”,非 p 则是“与 p 的真假相反”. [变式训练 1] (2017·石家庄一模)命题 p:若 sin

x>sin

y,则 x>y;命题

q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )

A.p 或 q

B.p 且 q

C.q π 5π

D.綈 p

B [取 x=3,y= 6 ,可知命题 p 不正确;由(x-y)2≥0 恒成立,可知命题

q 正确.

故綈 p 为真命题,p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题.] 全称命题、特称命



?角度 1 含有一个量词的命题的否定

 (2015·湖北高考)命题“存在 x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 (  )
【导学号:00090009】 A.任意 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.任意 x?(0,+∞),ln x=x-1 C.存在 x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.存在 x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 A [改变原命题中的三个地方即可得其否定,存在改为任意,x0 改为 x,否 定结论,即 ln x≠x-1,故选 A.]

?角度 2 全称命题、特称命题的真假判断

 (2018·青岛模拟)已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 x1 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是(  ) A.存在 x∈R,使得 f(x)≤f(x1) B.存在 x∈R,使得 f(x)≥f(x1) C.对任意 x∈R,都有 f(x)≤f(x1)

D.对任意 x∈R,都有 f(x)≥f(x1) b
C [由题意知 2ax1+b=0,即 x1=-2a,
( )b 4ac-b2
x+ 又 f(x)=a 2a 2+ 4a ,故 f(x)min=f(x1). 因此,A,B,D 正确,C 错误.]

[规律方法] 1.否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改

写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.

2.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个

x=x0,使 p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题. 3.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素

x,证明 p(x)成立.只要找到一个反例,则该命题为假命题.

由命题的真假求参数的取值范围

1  (1)已知命题“存在 x0∈R,使 2x20+(a-1)x0+2≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是(  )

A.(-∞,-1)

B.(-1,3)

C.(-3,+∞)

D.(-3,1)

(2)已知 p:存在 x0∈R,mx20+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p

或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为(  )

A.m≥2

B.m≤-2

C.m≤-2 或 m≥2

D.-2≤m≤2

1 (1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意 x∈R,2x2+(a-1)x+2>0,由题意知,

为真命题,

1 则 Δ=(a-1)2-4×2×2<0,

则-2<a-1<2,则-1<a<3.

(2)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,任意 x∈R,mx2+1>0

恒成立,则有 m≥0;当 q 是假命题时,则有 Δ=m2-4≥0,m≤-2 或

m≥2. 因此,由 p,q 均为假命题得Error! 即 m≥2.] [规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤: (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况). (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围. (3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.
[ ]π
0, [变式训练 2] (2018·泰安模拟)若“任意 x∈ 4 ,tan x≤m”是真命题,则实
数 m 的最小值为________. π
1 [∵0≤x≤4,∴0≤tan x≤1,
[ ]π
0, 由“任意 x∈ 4 ,tan x≤m”是真命题,得 m≥1. 故实数 m 的最小值为 1.]


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