备战2011年高考数学专题:概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结:四、三角函数1

高考数学必胜秘诀在哪? 高考数学必胜秘诀在哪? 数学必胜秘诀在哪 ――概念 方法、题型、易误点 概念、 ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
角的概念的推广: 1、 角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角, 一条射线没有 作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 2、象限角的概念 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示: 3. 终边相同的角的表示 (1) α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) ? α = θ + 2kπ ( k ∈ Z) ,注 注 意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且 如
o

绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 (答: ?25 ; ?
o

5 π) 36 (2) α 终边与 θ 终边共线( α 的终边在 θ 终边所在直线上) ? α = θ + kπ ( k ∈ Z) . (3) α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 ? α = ?θ + 2kπ ( k ∈ Z) . (4) α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 ? α = π ? θ + 2kπ ( k ∈ Z) . (5) α 终边与 θ 终边关于原点对称 ? α = π + θ + 2 kπ ( k ∈ Z ) . (6) α 终边在 x 轴上的角可表示为: α = kπ , k ∈ Z ; α 终边在 y 轴上的角可表示为: π kπ π α = kπ + , k ∈ Z ; 终边在坐标轴上的角可表示为: = α α , k ∈ Z .如 α 的终边与 的 如 2 2 6

终边关于直线 y = x 对称,则 α =____________。 (答: 2kπ +

π

的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 α 是第二象限角, 4、 α 与 α 的终边关系 如 则

3

, k∈Z )

α
2

2

是第_____象限角(答:一、三)
2 o 5.弧长公式 5.弧长公式: l =| α | R ,扇形面积公式: S = 1 lR = 1 | α | R ,1 弧度(1rad) ≈ 57.3 . 弧长公式

2

2

(答:2 cm ) 如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 任意角的三角函数的定义: P (异 6、 任意角的三角函数的定义 设 α 是任意一个角, ( x, y ) 是 α 的终边上的任意一点 于 原 点 ), 它 与 原 点 的 距 离 是 r =

2

x 2 + y 2 > 0 , 那 么 sin α =

y x , cos α = , r r

tan α =

数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。如(1)已知角 α 的终边经过点 P(5, 如

y x r r , ( x ≠ 0 ) , cot α = ( y ≠ 0) , sec α = ( x ≠ 0 ) , csc α = ( y ≠ 0 ) 。三角函 x y x y

7 ) (2)设 α 是第三、四象限角, ; 13 2m ? 3 3 | sin α | cos α , m 的取值范围是_______ 则 (答: (-1, ) ) 3) ; 若 ( + = 0, sin α = 4?m 2 sin α | cos α | 试判断 cot(sin α ) ? tan(cos α ) 的符号(答:负) y 三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 7.三角函数线的特征 三角函数线的特征 T B S 轴上)” 余弦线 OM 、 “躺在 x 轴上(起点是原点)” 正切线 AT 、 “站 P 在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三 三角函数线的重要应用是比较三
- 12) , 则 sin α + cos α 的 值 为 _ _ 。 答 : ? (
α O M A x

1

角函数值的大小和解三角不等式 如 角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若 ? 的大小和解三角不等式

π
8

< θ < 0 ,则 sin θ , cos θ , tan θ 的大小关系

为_____(答: tan θ < sin θ < cos θ ); 2 ) 若 α 为锐角,则 α ,sin α , tan α 的大小关系为 ( _______ (答: sin α < α < tan α )(3)函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域 ; 是_______(答: (2kπ ?

π

3

, 2 kπ +

2π ](k ∈ Z ) ) 3
90° 1

8.特殊角的三角函数值 8.特殊角的三角函数值: 特殊角的三角函数值 30° 45° 60°

0° 0

180° 0

270° -1

15°

75°

sin α

1 2

2 2 2 2
1

3 2 1 2

6? 2 4 6+ 2 4
2- 3

6+ 2 4 6? 2 4
2+ 3

cos α
tan α

3 2
3 3

1

0

-1

0

3 3 3

0

0

cot α

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

同角三角函数的基本关系式: 9. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1,1 + tan 2 α = sec 2 α ,1 + cot 2 α = csc2 α (2)倒数关系:sin α csc α =1,cos α sec α =1,tan α cot α =1, (3)商数关系: tan α =

sin α cos α , cot α = cos α sin α

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。如(1)函数 y = 如
2

sin α + tan α 的值的符号为____(答:大于 0)(2)若 0 ≤ 2 x ≤ 2π , ; cos α + cot α

则使 1 ? sin 2 x = cos 2 x 成立的 x 的取值范围是____(答: [0,

π

3 m?3 4 ? 2m π [ π , π ] )(3)已知 sin θ = ; , cos θ = ( < θ < π ) ,则 tan θ =____(答: 4 m+5 m+5 2 5 tan α sin α ? 3 cos α 2 ? ) ( 4 ) 已知 ; = ?1 ,则 =____; sin α + sin α cos α + 2 = 12 tan α ? 1 sin α + cos α 5 13 a o o _________(答: ? ; )(5)已知 sin 200 = a ,则 tan 160 等于 ; A、 ? 3 5 1? a2

4

]U

1? a2 则 f (sin 30 o ) 的值为______(答:-1) 。 k 10.三角函数诱导公式 三角函数诱导公式( 10.三角函数诱导公式( π + α )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或 2

B、

a

C、?

1? a 2 a

D、

1? a 2 (答:B)(6)已知 f (cos x ) = cos 3 x , ; a

偶数) ,符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的
2

三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k π + α , 0 ≤ α < 2π ;(2)转化为锐角 三角函数。如(1) cos 如

9π 7π 2 3 + tan(? ) + sin 21π 的值为________(答: ? )(2) ; 4 6 2 3 4 o o 已 知 sin(540 + α ) = ? , 则 cos(α ? 270 ) = ______ , 若 α 为 第 二 象 限 角 , 则 5 o 4 3 [sin(180 ? α ) + cos(α ? 360 o )]2 = ________。 (答: ? ; ? ) o 5 100 tan(180 + α )
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令α = β sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ??? sin 2α = 2 sin α cos α →
令α = β cos (α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ??? cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α →

↓ =                         2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α tan α ± tan β 1+cos2α         cos 2 α= ? 1 m tan α tan β 2 1 ? cos2α ↓                      2 α= sin 2 2 tan α     2α = tan 1 ? tan 2 α 1 π π A、sin 15o cos 15o B、cos 2 ? sin 2 如(1)下列各式中,值为 的是 2 12 12 o o tan 22.5 1 + cos 30 C、 D、 (答:C)(2)命题 P: tan( A + B ) = 0 ,命题 ; 2 o 1 ? tan 22.5 2 B、充分不必要条件 C、必要 Q: tan A + tan B = 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件   (α ± β ) = tan
不 充 分 条 件 D 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ( 答 : C );( 3 ) 已 知 (

sin( α ? β )cos α ? cos( α ? β ) sin α =

3 7 ,那么 cos 2 β 的值为____(答: ) (4) ; 5 25

1 3 0 0 的值是______(答:4) (5) ;(5) (5)已知 tan110 = a ,求 tan 50 的值(用 a 表 ? o o sin 10 sin 80 a? 3 1 ? a2 示)甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的 2a 1 + 3a
判断是______(答:甲、乙都对) 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第 角的变换是三角函数变换的核心! 角的变换是三角函数变换的核心 二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 基本的技巧有: 基本的技巧有 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 (1)巧变角 两角与其和差角的变换. 如 α = (α + β ) ? β = (α ? β ) + β , 2α = (α + β ) + (α ? β ) ,

2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) , α + β = 2 ?
已知 tan(α + β ) =

α +β
2



α+β
2

= α?

2 π 1 π 3 , tan( β ? ) = ,那么 tan(α + ) 的值是_____(答: )(2) ; 5 4 4 4 22 π β 1 α 2 已知 0 < β < < α < π , cos( α ? ) = ? , 且 sin( ? β ) = , cos( α + β ) 的值 求 (答: 2 2 9 2 3 490 3 )(3)已知 α , β 为锐角, sin α = x, cos β = y , cos(α + β ) = ? ,则 y 与 x 的函 ; 729 5
3

(

β
2

) (α β )
? 2 ?

等) 如(1) ,如

数关系为______(答: y = ?

3 4 3 1 ? x 2 + x( < x < 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化 三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值 sin 50o (1 + 3 tan10o ) (答:1)(2) ; 三角函数名互化 如 sin α cos α 2 1 已知 = 1, tan(α ? β ) = ? ,求 tan( β ? 2α ) 的值(答: ) 1 ? cos 2α 3 8 (3)公式变形使用 tan α ± tan β = tan (α ± β )(1 m tan α tan β ) 。如(1)已知 A、B 公式变形使用( 公式变形使用 如
为锐角,且满足 tan A tan B = tan A + tan B + 1 ,则 cos( A + B ) =_____(答: ?

2 ) (2) ;(2) 2

设 ?ABC 中,tan A + tan B + 3 = 三角形(答:等边)

3 tan Atan B ,sin Acos A =

3 , 则此三角形是____ 4

1 + cos 2α 1 ? cos 2α 2 , sin α = 与升幂 2 2 3 2 2 公式: 1 + cos 2α = 2 cos α , 1 ? cos 2α = 2 sin α )。如(1) α ∈ ( π , π ) ,化简 如(1)若 2
(4)三角函数次数的降升 三角函数次数的降升(降幂公式: cos α = 三角函数次数的降升
2

1 1 1 1 α + + cos 2α 为_____(答:sin )(2)函数 f ( x ) = 5 sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ; 2 2 2 2 2 5 π 5π + 3( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________(答: [ kπ ? ,kπ + ]( k ∈ Z ) ) 2 12 12 (5)式子结构的转化 式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1) tan α (cos α ? sin α ) 式子结构的转化 如
1 + tan sin α + tan α 1 + sin α 2 ; 3)化简: + (答: sin α )(2)求证: ; = ( α α cot α + csc α 2 1 ? 2sin 1 ? tan 2 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x + 2 (答: 1 cos 2 x ) π π 2 2 tan( ? x) sin 2 ( + x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指 常值变换主要指“ 的变换( (6)常值变换主要指“1”的变换 1 = sin x + cos x = sec x ? tan x = tan x ? cot x 3 = tan π = sin π = L 等) 如已知 tan α = 2 ,求 sin 2 α + sin α cos α ? 3cos 2 α (答: ). ,如 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹 sin x ± cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 如(1) (7) 三兄妹— sin ,如 三兄妹 t 2 ?1 若 sin x ± cos x = t , sin x cos x = 则 __ (答:± ), 特别提醒: 特别提醒 这里 t ∈ [ ? 2, 2] ; 2 4+ 7 (答: ? )(3)已知 ; (2)若 α ∈ (0, π ),sin α + cos α = 1 ,求 tan α 的值。 2 3 sin 2α + 2 sin 2 α π π = k ( < α < ) ,试用 k 表示 sin α ? cos α 的值(答: 1 ? k ) 。 1 + tan α 4 2
13、辅助角公式中辅助角的确定 13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x + b cos x = 在的象限由 a, b 的符号确定, θ 角的值由 tan θ =

α

a 2 + b 2 sin ( x + θ ) (其中 θ 角所

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

则 (答: [-2,2]) ; ( 若方程 sin x ? 3 cos x = c 有实数解, c 的取值范围是___________. 如 1)

4

(2)当函数 y = 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ?

f ( x ) = sin ( x + ? ) + 2 cos( x + ? ) 是奇函数,则 tan ? =
2

3 ); 3)如果 ( 2

( 答 : - 2) ;( 4 ) 求 值 : (

3 1 ? + 64 sin 2 20° = ________(答:32) 2 sin 20° cos 20° 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 图象的作图 14、正弦函数和余弦函数的图象 π 3π 方法:五点法:先取横坐标分别为 0, , π , , 2π 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接 2 2
起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、 的性质: 15、正弦函数 y = sin x ( x ∈ R ) 、余弦函数 y = cos x ( x ∈ R ) 的性质 定义域:都是 R。 (1)定义域 (2)值域:都是 [ ?1,1] ,对 y = sin x ,当 x = 2kπ + 值域

π

x = 2kπ +

3π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1;对 y = cos x ,当 x = 2kπ ( k ∈ Z ) 时, y 取最 2

2

( k ∈ Z ) 时, y 取最大值 1;当
π

大值 1,当 x = 2kπ + π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1。如(1)若函数 y = a ? b sin(3 x + 如 的最大值为

6

)

3 1 1 ,最小值为 ? ,则 a = __, b = _(答: a = , b = 1 或 b = ?1 )(2)函数 ; 2 2 2

f ( x) = sin x + 3 cos x( x ∈ [?

π π

; 则 y = cos β ? 6 sin α 的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) ( 4 ) 函数

, ]) 的值域是____ (答: [-1, 2]) 3) 2α + β = π , ; 若 ( 2 2

f ( x) = 2 cos x sin( x + ) ? 3 sin 2 x + sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________ 3 π 1 (答:2;kπ + (k ∈ Z ) )(5)己知 sin α cos β = ,求 t = sin β cos α 的变化范围(答: ; 12 2 1 1 [? , ] ) 6) sin 2 α + 2 sin 2 β = 2 cos α , y = sin 2 α + sin 2 β 的最大、 ; 求 最小值 (答: ( 若 2 2 y max = 1 , y min = 2 2 ? 2 ) 特别提醒 。特别提醒 特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余
弦函数的有界性了吗?

π

5


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