【K12教育学习资料】高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质

教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质 课后导练 基础达标 1.若(2x+ 3 ) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则(a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值为( A.1 B.-1 解析:令 x=1, 得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ 3 ) ; 令 x=-1, 得 a0-a1+a2-a3+a4=(2- 3 ) . 两式相乘,得 2 2 (a0+a2+a4) -(a1+a3) =(2+ 3 ) (2- 3 ) =1,故选 A. 2.若(1+x) =a0+a1x+a2x +…+anx 中,a3=a12,则自然数 n 的值为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 答案:C 2006 2 200 6 3.若(1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a200 6x (x∈R)则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ …+(a0+a200 6)=(用 数字作答). 解析:取 x=0,得 a0=1; 取 x=1, 20 得 a0+a1+a2+…+a200 6=(1-2) 0 6=1. 故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ …+(a0+a200 6) =200 6a0+(a0+a1+a2+…+a200 6) =200 6+1=200 7. n n 3 2 * 4.若(x+1) =x +…+ax +bx +cx+1(n∈N ),且 a∶b=3∶1,那么 n=____________. 3 2 解析:a∶b= C n ∶ Cn =3∶1,n=11. n 2 n 4 4 4 4 2 2 4 2 3 4 ) C.0 D.2 答案:11 m n 12 5.在二项式(ax +bx ) (a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰 是常数项. (1)求它是第几项; (2)求 a 的范围. b m 12-r r 解析:(1)设 Tr+1= C12 (ax ) r ·(bx ) = C12 a n r 12-r r m(12-r)+nr bx 为常数项,则有 m(12-r)+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第 5 项. (2)∵第 5 项又是系数最大的项, 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 4 8 4 3 9 3 ? ?C12 a b ? C12 a b , (1) ∴有 ? 4 8 4 5 7 5 ? ?C12 a b ? C12 a b .(2) 12 ? 11 ? 10 ? 9 8 4 12 ? 11 ? 10 9 3 a b ? a b , 4 ? 3? 2 3? 2 9 a 9 ∵a>0,b>0,∴ b≥a,即 ≤ . 4 b 4 a 8 8 a 9 由②得 ≥ ,∴ ≤ ≤ . b 5 5 b 4 由①得 综合运用 6.二项式(x- 1 x ) 的展开式,系数最大的项为( 10 ) A.第六项 C.第五项和第七项 B.第五项和第六项 D.第六项和第七项 r 10?r 10 解析:先求二项展开式的通项为 Tr+1= C x r (? x ? 1 2 ) =(-1) · C x r r r 10 3 10 ? r 2 ,则此 r 项系数为(-1) · C10 , 故而得到每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等, 由二项式系数 5 5 性质,展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为 C10 ,但第六项系数为- C10 ,显然不 4 6 是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为 C10 = C10 ,再由二项式系数的增减性规律可 4 知, C10 即为最大值,因此正确 选项为 C. 答案:C 7.已知(x( ) 8 A.2 8-r a 8 ) 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 x B.3 8 C.1 或 3 -1 r r 8 8 D.1 或 2 8 r r 解析:Tr+1= C8 ·x ·(-ax ) =(-a) C8 ·x -2r. 令 8-2r=0,∴r=4. ∴(-a) 4 C84 =1 120.∴a=±2. 8 当 a=2 时,令 x=1,则(1-2) =1. 8 8 当 a=-2 时,令 x=-1,则(-1-2) =3 答案:C 2 n n 8. 已 知 (1+x)+(1+x) +…+(1+x) =a0+a1x+…+anx , 若 a1+a2+…+an-1=29-n(n∈N , n > 1), 那 么 6 n (1+y) 的展开式中含 y 项的系数是____________. 答案:15 9.已知( x ? 2 8 ) ,则展开式中系数绝对值最大项是第几项?并求出系数最大的项和系数最 x2 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 小的项. 解析:设第 r+1 项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、 右相邻两项系数的 绝对值.则有 r r r ?1 r ?1 ? ?C8 2 ? C8 2 ? r r r ?1 r ?1 ? ?C8 2 ? C8 2 1 ?2 ? ? ?r 9 ? r ?? ?5≤r≤6. 1 2 ? ? ? ?8 ? r r ? 1 故系数绝对值最大项是第六项与第七项. 5 ∵T6=(-1) C8 ( 5 x )3·( 2 5 ) x2 =-1 792 x 6 ?8 1 2 , 6 T7=(-1) C8 ( x )2·( 2 6 -11 ) =1 792x , 2 x -11 则系数最大项为 1 792x ,系数最小项为-1 792 x ?8 1 2 . 拓展探究 10.已知数列{an}是首项为 a1,公比为 q 的等比数列. 1 3 2 0 1 2 0 (1)求和:a1 C 2 -a2 C 2 +a

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