2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)-文科数学


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江 西卷) 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准 考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.(2013 江西,文 1)复数 z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 答案:D B.第二象限 D.第四象限 ).

解析:z=i(-2-i)=1-2i,在复平面上的对应点为(1,-2),在第四象限,故选 D. 2.(2013 江西,文 2)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( A.4 答案:A B.2 C.0 D.0 或 4

).

解析:当 a=0 时,显然不成立;当 a≠0 时.由 Δ=a2-4a=0,得 a=4.故选 A. 3.(2013 江西,文 3)若 sin =
2 A.3 1 B.3 3 3 α 2 3 ,则 3

cosα=(

). C.
1 3

D.

2 3

答案:C 解析:cosα=1-2sin2 =1-2×
2 A. 3 α 2
2

= .故选 C.
1 C. 3 1 D. 6

1 3

4.(2013 江西,文 4)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是(
1 B. 2

).

答案:C 解析:从 A,B 中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 6 种情况,其中两个数之和为 4 的有 (2,2),(3,1),故所求概率为 = .故选 C. 5.(2013 江西,文 5)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方 法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编 号为 7816 3204 A.08 B.07 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 D.01 9728 6938 0198 7481
2 6 1 3

C.02

答案:D 解析:所取的 5 个个体依次为 08,02,14,07,01.故选 D. 6.(2013 江西,文 6)下列选项中,使不等式 x< <x2 成立的 x 的取值范围是( A.(-∞,-1) B.(-1,0) 1
1 x

).

C.(0,1) 答案:A 解析:原不等式等价于

D.(1,+∞)

x > 0, x < 0, ①或 2 ② x2 < 1 < x3 , x > 1 > x3 , ①无解,解②得 x<-1.故选 A. ).

7.(2013 江西,文 7)阅读如下程序框图,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是(

A.S<8

B.S<9

C.S<10

D.S<11

答案:B 解析:i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9,结束.所以填入的条件是“S<9”.故选 B. 8.(2013 江西,文 8)一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( ).

A.200+9π C.140+9π 答案:A
1 2

B.200+18π D.140+18π

解析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成.所以体积 V=4× 5+ × 2·2=200+9π.故选 A. 10× π·3 9.(2013 江西,文 9)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交 于点 N,则|FM|∶|MN|=( ). A.2∶ 5 答案:C B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3

解析:射线 FA 的方程为 x+2y-2=0(x≥0). 如图所示,知 tanα= ,∴sinα= . 由抛物线的定义知|MF|=|MG|, ∴
|FM| |MN| 1 2 5 5

=

|MG| 5 =sinα= |MN| 5

=

1 .故选 5

C.

10.(2013 江西,文 10)如图,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cos x,则 y 与时间 t(0≤t≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为( ). 2

答案:B

解析:假设经过 t 秒后,圆心移到 O1,则有∠EO1F=2∠AO1F,且 cos∠AO1F=1-t. 而 x=1·∠EO1F,∴y=cos x=cos∠EO1F=cos 2∠AO1F=2cos2∠AO1F-1=2(1-t)2-1=2t2-4t+1=2(t-1)2-1,t∈[0,1].故选 B.

第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2013 江西,文 11)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α= 答案:2 解析:切线斜率 k=
2-0 =2, 1-0

.

又 y'=αxα-1 在点(1,2)处,y'|x=1=α,故 α=2. 12.(2013 江西,文 12)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于 . 答案:6 解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn= 1+2n)≥100,∴2n≥51,∴n≥6. 13.(2013 江西,文 13)设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是 答案:[2,+∞) 解析:∵f(x)= 3sin 3x+cos 3x=2sin 3x + 答案:(x-2) +
2

2(1-2n ) =2(1-2

.

6

∈[-2,2],又∵|f(x)|≤a 恒成立,∴a≥2. .

14.(2013 江西,文 14)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是 解析:圆心在直线 x=2 上,所以切点坐标为(2,1). 设圆心坐标为(2,t),由题意,可得 4+t2=(1-t)2,∴t=- ,半径 r2= . 所以圆 C 的方程为(x-2)2+ y +
3 2 2 3 2 25 4 3 2 y+ 2

=

25 4

=

25 . 4

15.(2013 江西,文 15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体 的六个面所在的平面相交的平面个数为 .

答案:4

3

解析:作 FO⊥平面 CED,则 EO⊥CD,FO 与正方体的侧棱平行,所以平面 EOF 一定与正方体的左、右侧面平行, 而与其他四个面相交. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(2013 江西,文 16)(本小题满分 12 分)正项数列{an}满足:a2 -(2n-1)an-2n=0. n (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=
1 ,求数列{bn}的前 (n+1)an

n 项和 Tn.

解:(1)由a2 -(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. n 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. (2)由 an=2n,bn=
1 1 1 1 1 ,则 bn= = , (n+1)an 2n(n+1) 2 n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn= 1- + ? +…+ ? + ? = 12 2 2 3 n n n+1 2 n+1 n-1

=

n . 2(n+1)

17.(2013 江西,文 17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= ,求 的值. 解:(1)由已知得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B, 因为 sin B≠0,所以 sin A+sin C=2sin B. 由正弦定理,有 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. (2)由 C= ,c=2b-a 及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab, 即有 5ab-3b2=0,所以 = .
a b 3 5 2 3 2 3 a b

18.(2013 江西,文 18)(本小题满分 12 分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积 为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋. (1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2 的有OA2 ·OA5 ,共 1 种; 数量积为-1 的有OA1 ·OA5 , OA1 ·OA6 , OA2 ·OA4 , OA2 ·OA6 , OA3 ·OA4 , OA3 ·OA5 ,共 6 种; 数量积为 0 的有OA1 ·OA3 , OA1 ·OA4 , OA3 ·OA6 , OA4 ·OA6 ,共 4 种; 数量积为 1 的有OA1 ·OA2 , OA2 ·OA3 , OA4 ·OA5 , OA5 ·OA6 ,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种. 所以小波去下棋的概率为 p1= ; 因为去唱歌的概率为 p2= ,所以小波不去唱歌的概率 p=1-p2=14 15 4 15 7 15

=

11 . 15

4

19.(2013 江西,文 19)(本小题满分 12 分)如图,直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF=AD= 2,EF=AB-DE=1,FC=2. 在 Rt△BFE 中,BE= 3. 在 Rt△CFB 中,BC= 6. 在△BEC 中,因为 BE2+BC2=9=EC2, 故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1, 所以 BE⊥平面 BB1C1C. (2)解:三棱锥 E A1B1C1 的体积 V= AA1·S△A 1 B 1 C 1 = 2.
2 2 在 Rt△A1D1C1 中,A1C1= A1 D1 + D1 C1 =3 2. 2 同理,EC1= EC2 + CC1 =3 2,

1 3

A1E= A1 A2 + AD2 + DE2 =2 3. 故S△A 1 C 1 E =3 5. 设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1 A1C1E 的体积 V= ·d·S△A 1 C 1 E = 5d, 从而 5d= 2,d=
10 . 5 1 3

20.(2013 江西,文 20)(本小题满分 13 分)椭圆 C: 2 +

x2 a

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3.

3 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

解:(1)因为 e= 所以 a=

c a 2 1 c,b= c. 3 3

3 2

= ,

代入 a+b=3,得 c= 3,a=2,b=1. 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. (2)方法一:因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的方程为 y=k(x-2) k ≠ 0,k ≠ ± ①代入 +y2=1,解得 P
4 x2 8k -2 4k2 +1
2

x2 4

1 2

,①

,-

4k 4k2 +1

.

直线

1 AD 的方程为:y= x+1.② 2

5

①与②联立解得 M
8k -2
2

4k+2 4k , 2k-1 2k-1 4k

.
- 2
4k

0-1 由 D(0,1),P 2 ,- 2 ,N(x,0)三点共线知 4k2+1 = ,解得 x-0 4k +1 4k +1 8k -2 -0 2 4k +1 4k -0 4k(2k+1) 2k+1 2k-1 所以 MN 的斜率为 m=4k+2 4k-2 = 2 2 = 4 , 2(2k+1) -2(2k-1) -2k+1 2k-1

-1

N

4k-2 ,0 2k+1

.

则 2m-k=

2k+1 1 -k= (定值). 2 2 1 2 y0

方法二:设 P(x0,y0)(x0≠0,± 2),则 k= 直线 AD 的方程为:y= (x+2), 直线 BP 的方程为:y=
x0 -2 y0 -1 x0

y0

x0 -2

,

(x-2), x,令 y=0,由于 y0≠1 可得 N
-x0 ,0 y0 -1

直线 DP 的方程为:y-1= 联立 y= y=
1 (x + 2), 2 y0

,

解得 M

x0 -2 4y0 +2x0 -4 2y0 -x0 +2

(x-2), ,
4y0 2y0 -x0 +2

,

因此 MN 的斜率为
4y0 2y0 -x0 +2 m= 4y +2x -4 x 0 0 0 2y0 -x0 +2

+

= = =

4y2 -8y0 +4x0 y0 -x2 +4 0 0 4y2 -8y0 +4x0 y0 -(4-4y2 )+4 0 0 y0 -1 2y0 +x0 -2 4y0 (y0 -1)

4y0 (y0 -1)

y0 -1

,
2(y0 -1) 2y0 +x0 -2

所以 2m-k= = = =

?

y0 x0 -2

2(y0 -1)(x0 -2)-y0 (2y0 +x0 -2) (2y0 +x0 -2)(x0 -2) 2(y0 -1)(x0 -2)-2y2 -y0 (x0 -2) 0 2(y0 -1)(x0 -2)-2(4-x2 )-y0 (x0 -2) 0 (2y0 +x0 -2)(x0 -2)
1

(2y0 +x0 -2)(x0 -2) 1 = (定值). 2

21.(2013 江西,文 21)(本小题满分 14 分)设函数 f(x)= (1)当 a= 时,求 f f
1 2 1 3

1 (1-x),a 1-a

1 x,0 a

≤ x ≤ a, < ≤ 1.

a 为常数且 a∈(0,1).

;

(2)若 x0 满足 f(f(x0))=x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点.证明函数 f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求 二阶周期点 x1,x2; (3)对于(2)中的 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC 的面积为 S(a),求 S(a)在区间 , 上的最 大值和最小值. 解:(1)当 a= 时,f
1 2 1 3 2 1 2 2 =f =2 13 3 3 3 1 x,0 ≤ x ≤ a2 , a2 1 (a-x),a2 < ≤ a, a(1-a) 1 1 3 2

= ,f f

= .

2 3

(2)f(f(x))=

1



因为 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; 6

(1-a)2 1 (1-x),a2 -a + 1 ≤ a(1-a) 1 0≤x≤a2 时,由 2 x=x 解得 x=0, a

(x-a),a < < a2 -a + 1, x ≤ 1.

当 a2<x≤a 时,由 因 故 当 因 故 由

1 a (a-x)=x 解得 x= 2 ∈(a2,a), a(1-a) -a +a+1 a 1 a 1 a f 2 = · 2 = 2 ≠ 2 , a -a +a+1 -a +a+1 -a +a+1 -a +a+1 a x= 2 为 f(x)的二阶周期点: -a +a+1 1 1 2 a<x<a2-a+1 时,由 2 (x-a)=x 解得 x=2-a∈(a,a -a+1), (1-a) 1 1 1 1 f = · 1= , 2-a 1-a 2-a 2-a 1 x= 不是 f(x)的二阶周期点; 2-a 1 -a2 +a+1

当 a2-a+1≤x≤1 时,
1 1 (1-x)=x 解得 x= 2 ∈(a2-a+1,1),因 a(1-a) -a +a+1 1 故 x= 2 为 f(x)的二阶周期点. -a +a+1

f

=

1 · (1-a)

1-

1 -a2 +a+1

=

a -a2 +a+1



1 , -a2 +a+1

因此,函数 f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=
a a , , -a2 +a+1 -a2 +a+1 1 1 B 2 , , -a +a+1 -a2 +a+1 2 (1-a) 1 a 1 a(a3 -2a2 -2a+2) 则 S(a)= · 2 ,S'(a)= · , 2 -a +a+1 2 (-a2 +a+1)2 1 1 因为 a∈ , ,有 a2+a<1, 3 2 1 a(a3 -2a2 -2a+2) 所以 S'(a)= · 2 (-a2 +a+1)2

a 1 ,x = . -a2 +a+1 2 -a2 +a+1

(3)由(2)得 A

= ·

1 a[(a+1)(a-1)2 +(1-a2 -a)] >0. 2 (-a2 +a+1)2

(或令 g(a)=a3-2a2-2a+2, g'(a)=3a2-4a-2 =3 a2- 10 3

a-

2+ 10 3

,
1 1 3 2 1 2

因 a∈(0,1),g'(a)<0,则 g(a)在区间 , 上的最小值为 g
1 1 3 2 1 a(a3 -2a2 -2a+2) S'(a)= · >0), 2 (-a2 +a+1)2 1 1 则 S(a)在区间 , 上单调递增, 3 2 1 1 故 S(a)在区间 , 上的最小值为 3 2

= >0,

5 8

故对于任意 a∈ , ,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,

S

1 3

=

1 ,最大值为 33

S

1 2

=

1 . 20

7


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