2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第1课时)word教案

2019-2020 年高中数学北师大版选修 2-2 第 3 章《导数的实际应用》 (第 1 课时)word 教案
一、教学目标: 1、知识与技能:⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法;⑵会利用导 数求解最值。 2、过程与方法:通过分析具体实例,经历由实际问题抽象为数学问题的过 程。 3、情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想 方法 二、教学重点:函数建模过程 教学难点:函数建模过程 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:利用导数求函数极值和最值的方法 (二) 、探究新课 例 1、 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边 沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容 积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为 xcm,则箱高
h? 60 ? x cm,得箱子容积 2
x x 60 x x

60x 2 ? x 3 V ( x) ? x h ? 2
2

(0 ? x ? 60) .

V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 2

(0 ? x ? 60)

60



3x 2 V ?( x)? 6 0 x ? =0,解得 2

x=0(舍去) ,x=40, 并求得

V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,
60-2x

x
60-2x 60-2x

60

60-2x

x

60

因此, 16 000 是最大值 答: 当 x=40cm 时, 箱子容积最大, 最大容积是 16 000cm3
王新敞
奎屯 新疆

解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积 (后面同解法一,略) V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x (0 ? x ? 30) . 由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点 处.事实上,可导函数 V ( x) ? x 2 h ?
60x 2 ? x 3 、V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x 在各自的定义 2

域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个 极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值
王新敞
奎屯 新疆

例 2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取, 才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 S=2πRh+2πR2
V ,则 ? R2 V 2V S(R)= 2πR + 2πR2= +2πR2 2 ?R R 2V 令 s?( R) ? ? 2 +4πR=0 R

由 V=πR2h,得 h ?

解得,R= 3

V V ,从而 h= = ? R2 2?

V 4V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?
王新敞
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即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相 等时,所用材料最省
王新敞
奎屯 新疆

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎 样选取,才能使所用材料最省? 提示:S=2 ?Rh + 2?R 2 ? h=
1 1 S ? 2?R 2 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

S ? 2?R 2 2?R

?V(R)=

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .

例 3、已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p
1 与产量 q 的函数关系式为 p ? 25 ? q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可 得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.
1 ? 1 ? 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q 2 , 8 ? 8 ?

利润
1 1 ? 1 ? L ? R ? C ? ? 25q ? q 2 ? ? (100 ? 4q) ? ? q 2 21q ? 100 (0 ? q ? 100) L? ? ? q ? 21 4 8 ? 8 ?

1 令 L? ? 0 ,即 ? q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 答:产量为 84 时,利 4
王新敞
奎屯 新疆

润 L 最大

王新敞
奎屯

新疆

(三) 、小结:本节课学习了导数在解决实际问题中的应用. (四) 、课堂练习: 五、教后反思:


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