陕西师大附中高三第八次模拟考试数学(理)试题

陕西师大附中高高三第八次模考 数学(理)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1.集合 A ? ?0,2,a? , B ??1, ?a2 ,若 A B ? ?0,1, 2, 4,16?,则 a 的值为( )

A.0

B.1

C.2

D.4

2.命题“对任意 x?R ,都有 x2 ? 2x ? 4 ? 0”的否定为( )

A.对任意 x?R ,都有 x2 ? 2x ? 4 ? 0

B.对任意 x?R ,都有

x2 ? 2x ? 4? 0
C. 存 在 x0 ? R , 使 得 x02 ? 2x0 ? 4 ? 0
x02 ? 2x0 ? 4 ? 0

D. 存 在 x0 ?R , 使

3.已知向量 a ? (2, 3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为

()

A. 1

B. 2

2

C. ? 1
2

D. ?2

4.对于函数 f (x) ? sin2(x ? ? ) ? cos2(x ? ? ) ,下列选项中正确的是( )

4

4

A. f (x) 在 (? , ? ) 上是递增的
42

B. f (x) 的图像关于原点对称

C. f (x) 的最小正周期为 2?

D. f (x) 的最大值为 2

5.如图,若 N ? 5 时,则输出的数等
A. 5
4
B. 4
5

于( )

C. 6
5
D. 5
6
6.某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其三视图如图所示(单位长

度: cm ,图中水平线与竖线垂直),则制作该工件用去的铁皮

的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计)( )

A.100(3 ? 5)cm2

B. 200(3 ? 5)cm2

C. 300(3 ? 5)cm2

D.300 cm2

7.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

广告费用 x (万 4235
元)

销售额 y (万 4 2 3 5

元)

9694

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告

费用为 6 万元时销售

额为( )

A.63.6 万元

B.65.5 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元

8.已知等比数列{an} 的首项为 a1 ,公比为 q .则“ a1 ? 0 ,q ?1”是“{an} 为递增数列”

的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数(如

236),那么任取一个

三位数,它是渐升数的概率为( )

A. 14
25

B. 7
75

C. 7
60

D. 7
10

10.已知函数

f

(x)

?

??x2 ?

?

2x,

x

?

0 ,若

f

(x)

?

ax

有且只有一个实数解,则

?ln(x ?1), x ? 0

a 的取值范围

是( )

A. [1, 2]

B. (??, 0]

C. (??, 0] [1, 2]

D. (??, 2]

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.设复数 z1 ?1? i , z2 ? x ? 2i (x ?R) ,若 z1z2 为纯虚数,则 x ?

.

?x ? y ?1

12.设 x 、y 满足约束条件:??y ? x ,则 z ? 3x ?y 的最大值是

.

?? y ? 0

13.已知抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点是双曲线 x2 ? y2 ?1的右焦点 F ,且
16 m
双曲线的右顶

点 A到点 F 的距离为 1,则 p ?

.

14.已知

f

(x) ?

x ex

,定义

f1(x) ?

f

?(x) ,

f2 (x)

? [ f1(x)]? ,…,

fn?1(x) ? [ fn (x)]? ,

n ?N* .

经计算

1? x f1(x) ? ex



f2 (x) ?

x?2 ex



f3(x) ?

3? x ex

,…,照此规律,则

fn (x) ?

.

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所

做的第一题评分)

A.(不等式选做题) 已知 x 、 y 均为正数,且 x ? y ?1,则 3x ? 4y 的

最大值为

.

B.(几何证明选做题)如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 C ,点 A、B 在

C D

圆 O 上, BC ?1,

B

O

?BCD ? 30?,则圆 O 的面积为

.

C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点 (1, A0) 且与

极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos? 于 A、 B 两点,则 AB ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

16.(本题满分 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC ,AB ? 5 ,AC ? 9 ,

A

D

?BCA ? 30? ,

?ADB ? 45? .

B

C

(Ⅰ)求 sin?ABC ;(Ⅱ)求 BD 的长度.

17.(本题满分 12 分)已知{an} 是正项数列,a1 ?1 ,且点 ( an , an ( ?1) n?N* ) 在函数

y ? x2 ?1的图像上.

(Ⅰ)求数列{an} 的通项公式;

(Ⅱ)若列数{bn}满足 b1

?1,

bn?1

?

bn

?

2an

,求证: bnbn?2

?

. b2 n?1

18.(本题满分 12 分)为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举

行了一次“谜语大赛”

活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的

分数(得分取正整数,

满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行统计.按照[50, 60) ,

[60, 70) ,[70, 80) ,

[80, 90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎

叶图(图中仅列

出了得分在[50, 60) ,[90,100] 的数据).

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学

生中随机抽取 3 名学生

参加“中国谜语大会”,设随机变量 X 表示所抽取的 3 名学生中得 分在[80, 90) 内的学生

人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 频率

组距

0.040

512345678

x

6

0.016 0.010
y

7 8 934

O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

19.(本题满分 12 分)如图,已知菱形 ACSB 中, ?ABS ? 60? .沿着对

角线 SA 将菱形 ACSB

折成三棱锥 S ? ABC ,且在三棱锥 S ? ABC 中,?BAC ? 90? ,O 为 BC 中

点.

(Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ;(Ⅱ)求平面 ASC 与平面 SCB 夹角的余

S

S

弦值.

B

C

O

C

A

B

A

20.(本题满分

13

分)如图,椭圆

C



x a

2 2

y2 ? b2

? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点

为 F ,右顶点、 上顶点分别为点 A、 B ,且| AB |? 5 | BF | .
2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若点 M (?16 , 2 ) 在椭圆 C 内部,过点 M 的
17 17
直线 l 交

y B

M

x

O

F

A

椭圆 C 于 P 、 Q 两点, M 为线段 PQ 的中点,且 OP ? OQ .

求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.

21.(本题满分 14 分)

已 知 函 数 f (x) ? ex ? x2 ? a , x?R 的 图 像 在 点 x ? 0 处 的 切 线 为

y ? bx .( e82?817.2

).

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;
(Ⅱ) g(x) ? f (x) , x?(0, ? ?) ,讨论函数 g(x) 的单调性与极值;
x
(Ⅲ)若 k ?Z,且 f (x) ? 1(3 x 2 ?5 x ?2 k) ?0 对任意 x?R 恒成立,求 k 的最
2
大值.

陕西师大附中高 2014 届高三第八次模考 数学(理)答题纸
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)



1

123456789



0





二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

15 15 15 题号 11 12 13 14
(A) (B) (C)

答案

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本题满分 12 分)

A

D

B

C

17.(本题满分 12 分)

18.(本题满分 12 分)

19.(本题满分 12 分)

S

S

B A

C

O

C

B

A

20.(本题满分 13 分)

y B
M O

x FA

21.(本题满分 14 分)
陕西师大附中高 2014 届高三第八次模考 数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B D A B A B C
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

15 15 15 题号 11 12 13 14
(A) (B) (C)

答案 2

3 10 (?1)n (x ? n)
ex

7

?

23

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

16.(本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)在 ?ABC 中,由正弦定理,得

AB ? AC ,
sin ?BCA sin?ABC

sin ?ABC ? AC sin ?BCA ? 9sin30? ? 9 .……………………………………

AB

5 10

…6 分

(Ⅱ)∵ AD∥BC ,∴ ?BAD ?180? ? ?ABC ,
sin ?BAD ? sin(180? ? ?ABC) ? sin ?ABC ? 9 ,
10
在 ?ABD中,由正弦定理,得 AB ? BD ,
sin ?ADB sin ?BAD


BD

?

AB sin ?BAD

?

5? 9 10

?

9

2 .…………………………………………12

sin ?ADB

22

2



17.(本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由已知得 an?1 ? an ?1,即 an?1 ? an ?1 ,又 a1 ?1 , 所 以 数 列 {an} 是 以 1 为 首 项 , 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 故

an ?1? (n ?1) ?1 ? n .…4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: an ? n ,从而 bn?1 ? bn ? 2n .
bn ? (bn ? bn?1) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? (b2 ? b1) ? b1
? 2n?1 ? 2n?2 ? ? 2 ?1 ? 1? 2n ? 2n ?1.……………………………………
1? 2
…8 分

因为 bnbn?2

?

b2 n?1

?

(2n

? 1)(2n? 2

?1)

?

(2n?1

? 1)2

? 22n?2 ? 5? 2n ?1? 22n?2 ? 4 ? 2n ?1

? ?2n ? 0



bnbn?2

?

b2 n?1

.………………………………………………………………

……12 分

18.(本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ? 8 ? 50 , y ? 2 ? 0.004 ,

0.016 ?10

50 ?10

x ? 0.100 ?0.004 ?0.010 ?0.016 ?0.040 ? 0.030 .………………………………

4分

(Ⅱ)由题意可知,分数在[80, 90) 内的学生有 5 人,分数在[90,100] 内

的学生有 2 人,

共 7 人.

抽取的 3 名学生中得分在[80, 90) 的人数 X 的可能取值为 1,2,3,



P( X

? 1)

?

C51C22 C73

?

5 35

?

1 7

,P( X

?

2) ?

C52C21 C73

?

20 35

?

4 ,P(X
7

? 3)

?

C53C20 C73

?

10 35

?

2 7

.

所以 X 的分布列



X 123

1

4

2

P

7

7

7

…………………………………………………………………………

………………10 分





EX ?1? 1 ? ? ? ? ? 7


.………………………………………………12 2 4
7

19.(本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)证明:由题设 AB ? AC ? SB ? SC ? SA, 连结 OA , ?ABC 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OC ? 2 SA ,且
2
AO ? BC, 又 ?SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,且 SO ? 2 SA ,
2
从而 OA2 ? SO2 ? SA2 .所以 ?SOA为直角三角形, SO ? AO .



AO BO ? O



所以

SO ?

平面

ABC .………………………………………6 分

(Ⅱ)以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,

建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .

z S

设 B (1, 0, 0) ,则 C (?1, 0, 0) , A (0,1, 0) , S (0, 0,1) .

SA ? (0,1, ?1) , SC ? (?1, 0, ?1) . 设平面 SAC 的法向量 n1 ? (x, y, z) ,

xB

O

C

Ay



???n1 ??n1

? ?

SA SC

? ?

y?z ?x ?

? z

0 ?

0

?

?y ??z

? ?

?x ?x

,令

x

? 1 ,得

n1

?

(1,

?1,

?1)



由 ( Ⅰ ) 可 知 AO ? 平 面 S C B, 因 此 取 平 面 S C B的 法 向 量

n2 ? OA ? ( 0 , 1 ,.0…) …10 分 设 平 面 ASC 与 平 面 S C 的B 夹 角 为 ? , 则

cos? ? | n1 ? n2 | ? 3 .…………………12 分
| n1 || n2 | 3

20.(本题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由已知| AB |? 5 | BF | ,
2
即 a2 ? b2 ? 5 a , 4a2 ? 4b2 ? 5a2 ,
2

4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2





e ? c ? 3 .…………………………………………5 分
a2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2 ? 4b2 ,∴

椭圆 C



x2 4b2

?

y2 b2

?1.

设 P (x1, y1) , Q (x2 , y2 ) ,

由 x12 ? y12 ? 1, x22 ? y22 ? 1,可得 x12 ? x22 ? y12 ? y22 ? 0 ,

4b2 b2

4b2 b2

4b2

b2



( x1

?

x2 )(x1 4b2

?

x2 )

?

( y1

?

y2 )( y1 b2

?

y2 )

?

0





?

32 17

(

x1

4

? x2 )

?4 17

( y1

?

y2 )

?

0 ,从而 kPQ

?

y1 x1

? ?

y2 x2

?2,

进而直线 l 的方程为 2x ? y ? ?2 .…0………………9 分

y ? 2 ? 2[x ? (?16)]

17

17

,即

?2x ? y ? 2 ? 0



? ?

x2

?? 4b2

?

y2 b2

?1

? x2 ? 4(2x ? 2)2 ? 4b2

?0,

即17x2 ? 32x ?16 ? 4b2 ? 0 .

?

? 322

?16 ?17(b2

? 4)

?

0

?

b

?

2 17 17

.

x1

?

x2

?

? 32 17



x1x2

16 ? 4b2 ?
17

.

∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,

即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 , x1x2 ? (2x1 ? 2)(2x2 ? 2) ? 0 , 5x1x2 ? 4(x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .

从而 5(16 ? 4b2 ) ? 128 ? 4 ? 0 ,解得 b ?1,

17

17



椭圆

C

的方程为

x2 ? y2 ? 1.…………………………………………………13 分
4
21.(本题满分 14 分)

解:(Ⅰ) f (x) ? ex ? x2 ? a , f ?(x) ? ex ? 2x .

由已知

? ? ?

f f

(0) ? 1? a ? ?(0) ? 1 ? b

0

?

?a ??b

? ?1 ?1



f (x) ? ex

? x2

?1.………………………

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g(x) ? f (x) , x ? 0 ,
x



g?(x)

?

xf

?(x) ? x2

f

(x)

?

x(ex

? 2x)

? (ex x2

?

x2

?1)

?

(x

?1)(ex ? x2

x ?1)

.

令 y ? ex ? x ?1, y? ? ex ?1 ? 0 在 x?(0, ? ?) 恒成立,

从而 y ? ex ? x ?1在 (0, ? ?) 上单调递增, y ? e0 ? 0 ?1 ? 0.

令 g?(x) ? 0 ,得 x ?1; g?(x) ? 0 ,得 0 ? x ?1.

∴ g(x) 的增区间为 (1, ? ?) ,减区间为 (0,1) .极小值为 g(1) ? 0 ,无极

大值.……8 分

(Ⅲ) f (x) ? 1 (3x2 ? 5x ? 2k) ? 0 对任意 x?R 恒成立,
2

? ex ? 1 x2 ? 5 x ?1? k ? 0 对任意 x?R 恒成立,
22

? k ? ex ? 1 x2 ? 5 x ?1







x?R





22

立. ………………………………………10 分

令 h(x) ? ex ? 1 x2 ? 5 x ?1,
22

h?(x) ? ex ? x ? 5 ,易知 h?(x) 在 R 上单调递增,
2



h?(0)

?

?

3

?

0



h?(1)

?

e

?

3

?

0



h?( 1 )

?

1
e2

?

2

?

0



2

2

2

h?( 3)

?

3
e4

?

7

?

3
2.56 4

?

7

3
? 1.62

?

7

?

512 ? 7 ? 2 ? 7 ? 1 ? 0 ,

4

4

4

4 125 4 4 4













13

x0

?(

2

,

) 4

,使



h?(x0 ? ),……0 …………………………………12 分

且当 x ?(??, x0 ) 时, h?(x) ? 0 , x?(x0, ? ?) 时, h?(x) ? 0 .

即 h(x) 在 (??, x0) 单调递减,在 (x0, ? ?) 上单调递增,

h(x)min

?

h(x0 )

? ex0

?

1 2

x02

?

5 2

x0

?1,又 h?(x)0

0?

,即 ex0

? x0

?

5 2

? 0 ,ex0

?

5 2

? x0 .



h(x0

)

?

5 2

?

x0

?

1 2

x02

?

5 2

x0

?1

?

1 2

( x02

?

7x0

?

3)





x0

?(1 2

,

3) 4

,∴

h(

x0

)

?

(?

27 32

,

?

1 8

)

.

k ? ex ? 1 x2 ? 5 x ?1 对任意 x?R 恒成立,
22

? k ? h(x0) ,又 k ?Z ,∴ kmax ? ?1 .………………………………………

14 分


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