新教材北师大版高中数学必修四:第三章综合测试题(含答案)

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阶段性测试题四(第三章综合测试题)
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 其中有且仅有一个是正确的.) 1.函数 f(x)=sinxcosx 的最小值是( A.-1 1 C. 2 [答案] B 1 1 [解析] f(x)=sinxcosx= sin2x,∴f(x)min=- . 2 2 2.cos67° cos7° +sin67° sin7° 等于( 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2 ) 1 B.- 2 D.1

D.1

[答案] A [解析] cos67° cos7° +sin67° sin7° 1 =cos(67° -7° )=cos60° = . 2 π 3.若 x= ,则 sin4x-cos4x 的值为( 8 1 A. 2 C.- 2 2 ) 1 B.- 2 D. 2 2

[答案] C [解析] sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)· (sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x, π π 2 ∴x= 时,-cos2x=-cos =- . 8 4 2 4.(2014· 山东德州高一期末测试)下列各式中值为 2 的是( 2 )

A.sin45° cos15° +cos45° sin15° C.cos75° cos30° +sin75° sin30° [答案] C

B.sin45° cos15° -cos45° sin15° tan60° -tan30° D. 1+tan60° tan30°

[解析] cos75° cos30° +sin75° sin30° =cos(75° -30° )=cos45° = 5. 1-sin20° =( A.cos10° C. 2sin35° [答案] C [解析] 1-sin20° =1-cos70° =2sin235° , ∴ 1-sin20° = 2sin35° . ) 3 B. 4 3 D. 8 ) B.sin10° -cos10°

2 . 2

D .± (sin10° -cos10° )

1 6.已知 cos2α= ,则 sin2α=( 4 1 A. 2 5 C. 8 [答案] D

1 3 [解析] ∵cos2α=1-2sin2α= ,∴sin2α= . 4 8 7.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 [答案] D [解析] f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2x· cos2x 1 = sin4x(x∈R), 2 π ∴函数 f(x)是最小正周期为 的奇函数. 2 8.若 sinθ<0,cos2θ<0,则在(0,2π)内 θ 的取值范围是( 3π A.π<θ< 2 3π C. <θ<2π 2 [答案] B 5π 7π B. <θ< 4 4 π 3π D. <θ< 4 4 ) )

B.最小正周期为 π 的奇函数 π D.最小正周期为 的奇函数 2

[解析] ∵cos2θ<0,得 1-2sin2θ<0, 即 sinθ> 2 2 或 sinθ<- , 2 2 2 , 2

又已知 sinθ<0,∴-1≤sinθ<-

5π 7π 由正弦曲线得满足条件的 θ 取值为 <θ< . 4 4 π 9.若 0<α<β< ,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( 4 A.a<b C.ab<1 [答案] A π? ? π? [解析] ∵a= 2sin? ?α+4?,b= 2sin?β+4?, π π π π π 又 0<α<β< ,∴ <α+ <β+ < , 4 4 4 4 2 π? 且 y=sinx 在? ?0,2?上为增, π π α+ ?< 2sin?β+ ?. ∴ 2sin? ? 4? ? 4? π 10.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数 4 解析式是( ) B.y=2cos2x D.y=2sin2x B.a>b D.不确定 )

A.y=cos2x π C.y=1+sin(2x+ ) 4 [答案] B [解析]

π? π 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin2? ?x+4?,即 y= 4

π? sin? ?2x+2?=cos2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos2x= 2cos2x. 11.已知 f(tanx)=sin2x,则 f(-1)的值是( A.1 1 C. 2 [答案] B ) B.-1 D.0

-2 2sinxcosx 2tanx 2x [解析] f(tanx)=sin2x=2sinxcosx= 2 = 2 ,∴f(x)= 2 ,∴f(-1)= 2 2 sin x+cos x tan x+1 x +1 =-1. 12.已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 [答案] D [解析] f(x)=(1+cos2x)sin2x=2cos2xsin2x 1 1 1 = sin22x= - cos4x. 2 4 4 π ∴函数 f(x)是最小正周期为 的偶函数. 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) π 3 π 13.设 α∈(0, ),若 sinα= ,则 2cos(α+ )等于________. 2 5 4 [答案] 1 5 )

π B.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

π 3 [解析] ∵α∈(0, ),sinα= , 2 5 4 ∴cosα= , 5 π π π ∴ 2cos(α+ )= 2cosαcos - 2sinαsin 4 4 4 4 2 3 2 = 2× × - 2× × 5 2 5 2 4 3 1 = - = . 5 5 5 sin7° -sin15° cos8° 14.计算: 的值为________. cos7° -cos15° cos8° [答案] -2- 3 sin?15° -8° ?-sin15° cos8° [解析] 原式= cos?15° -8° ?-cos15° cos8° = sin15° cos8° -cos15° sin8° -sin15° cos8° cos15° cos8+sin15° sin8-cos15° cos8°



-cos15° sin8° 1 =-cot15° =- sin15° sin8° tan15°

1+tan30° 1 =- =- tan?45° -30° ? 1-tan30° =-2- 3. π 1 α- ?= ,则 sinα 的值为________. 15.若 α 为锐角,且 sin? ? 6? 3 [答案] 3+2 2 6

π π π π [解析] ∵0<α< ,∴- <α- < . 2 6 6 3 π? 1 π π 又∵sin? ?α-6?=3>0,∴0<α-6<3, π? ∴cos? ?α-6?= = π? 1-sin2? ?α-6?

1?2 2 2 1-? ?3? = 3 .

π? π? ∴sinα=sin?? ?α-6?+6

?

?



π 1 ? π? 3 ? sin?α-6? ?+2cos?α-6? 2 3+2 2 3 1 1 2 2 × + × = . 2 3 2 3 6



π? π? ? 16.关于函数 f(x)=cos? ?2x-3?+cos?2x+6?,有下列命题: ①y=f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数; π 13π? ③y=f(x)在区间? ?24, 24 ?上单调递减; π ④将函数 y= 2cos2x 的图像向左平移 个单位后,与已知函数的图象重合. 24 其中正确命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③ π? π π? ? [解析] 化简 f(x)=cos? ?2x-3?+cos?2x+2-3? π? π? π? ? ? =cos? ?2x-3?-sin?2x-3?= 2cos?2x-12?

∴f(x)max= 2,即①正确. 2π 2π T= = =π,即②正确. |ω| 2 π 由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π, 12 π 13π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,即③正确. 24 24 π 将函数 y= 2cos2x 向左平移 个单位得 24

? π ?? y= 2cos? ?2?x+24??≠f(x),∴④不正确.
三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) π? sin? ?α+4? 5 17.(本小题满分 12 分)已知 α 是第一象限的角,且 cosα= ,求 的值. 13 cos?2α+4π? 5 [解析] ∵α 是第一象限的角,cosα= , 13 2 ?sinα+cosα? 2 12 ∴sinα= ,∴ = 13 cos2α cos?2α+4π? 2 2 2 ?sinα+cosα? 2 2 2 13 2 = = = =- . 2 2 14 cos α-sin α cosα-sinα 5 -12 13 13 π 18 . ( 本小题满分 12 分 )(2014· 四川成都市树德协进中学高一阶段测试 ) 已知 <α<π, 2 π 3 5 0<β< ,tanα=- ,cos(β-α)= ,求 sinβ. 2 4 13 π π [解析] ∵0<β< , <α<π, 2 2 ∴-π<β-α<0. 5 12 又∵cos(β-α)= ,∴sin(β-α)=- . 13 13 3 3 4 又 tanα=- ,∴sinα= ,cosα=- . 4 5 5 ∴sinβ=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα 12 4 5 3 63 =- ×(- )+ × = . 13 5 13 5 65 π α+ ? sin? ? 4?

19.(本小题满分 12 分)已知 sinα= [解析] ∵sinα= ∴cosα= 2 ,α 为锐角, 10 1-?

2 3 10 ,cosβ= ,且 α、β 为锐角,求 α+2β 的值. 10 10

1-sin2α=

2?2 7 2 = . 10 ? ? 10

3 10 ∵cosβ= ,β 为锐角, 10 ∴sinβ= 1-? 10 3 10?2 = . ? 10 ? 10 10 3 10 3 × = , 10 10 5 10?2 4 = . ? 10 ? 5

∴sin2β=2sinβcosβ=2×

cos2β=1-2sin2β=1-2×?

π? 又 β∈? ?0,2?,∴2β∈(0,π). π? 而 cos2β>0,∴2β∈? ?0,2?.∴α+2β∈(0,π). 7 2 4 2 3 2 π 又 cos(α+2β)=cosα· cos2β-sinα· sin2β= × - × = ,∴α+2β= . 10 5 10 5 2 4 1 3 20.(本小题满分 12 分)求函数 y= cos2x+ sinx· cosx+1,x∈R 的最大值以及 y 取最 2 2 大值时自变量 x 的集合. 1 3 [解析] ∵y= cos2x+ sinx· cosx+1 2 2 1 1+cos2x 3 = · + sin2x+1 2 2 4 1 3 5 = cos2x+ sin2x+ 4 4 4 π 5 1 2x+ ?+ = sin? 6? 4 2 ? π π ∴当 2x+ = +2kπ, 6 2 π 7 即 x=kπ+ (k∈Z)时,ymax= . 6 4 ∴函数取最大值时自变量 x 和集合为 π ? ? 7 ?x|x=kπ+ ,k∈Z?,且最大值为 . 6 4 ? ?

π π π 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ). 3 4 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程; π π (2)求函数 f(x)在区间[- , ]上的值域. 12 2 π π π [解析] (1)∵f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )· sin(x+ ) 3 4 4 1 3 = cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 = cos2x+ sin2x+sin2x-cos2x 2 2 1 3 = cos2x+ sin2x-cos2x 2 2 π =sin(2x- ), 6 2π ∴最小正周期 T= =π. 2 π π ∵2x- =kπ+ ,k∈Z, 6 2 kπ π ∴x= + ,k∈Z, 2 3 kπ π ∴对称轴方程为 x= + ,k∈Z. 2 3 (2)∵x∈[- π π , ], 12 2

π π 5π ∴2x- ∈[- , ]. 6 3 6 π π π ∴f(x)=sin(2x- )在区间[- , ]上单调递增, 6 12 3 π π 在区间[ , ]上单调递减. 3 2 π 当 x= 时,f(x)取最大值 1. 3 π 3 π 1 又∵f(- )=- <f( )= , 12 2 2 2 π 3 ∴当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 π π 3 所以函数 f(x)在区间[- , ]上的值域为[- ,1]. 12 2 2 22.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x),

x∈R. π π? (1)若 f(x)=1- 3且 x∈? ?-3,3?,求 x; π? (2)若函数 y=2sin2x 的图象平移向量 c=(m,n)? ?|m|<2?得到函数 y=f(x)的图象,求实数 m、n 的值. [解析] (1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x π? =1+cos2x+ 3sin2x=2sin? ?2x+6?+1, π 2x+ ?+1, 又∵f(x)=1- 3=2sin? 6? ? π 3 2x+ ?=- , ∴sin? 6 ? ? 2 π π π 2π ∴2x+ =2kπ- 或 2x+ =2kπ- , 6 3 6 3 π π? π 又∵x∈? ?-3,3?,∴x=-4.

?x+ π ??+1, (2)f(x)=2sin? 2 ? ? 12??
π? π y=2sin2x 向左平移 个单位可得 y=2sin2? ?x+12?,再向上平移 1 个单位, 12

? π ?? 即得 y=2sin? ?2?x+12??+1=f(x),
π π ? ∴c=? ?-12,1?,即 m=-12,n=1.


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