山东省淄博实验中学2015届高三第一次诊断性考试理科数学试卷含解析

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山东省淄博实验中学 2015 届高三第一次诊断性考试理科数学 试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1 . 设 集 合 A ? ?x ? R | x ? 2 ? 0? , B ? ?x ? R | x ? 0? , C ? ?x ? R | x?x ? 2? ? 0? , 则 “ x ? ? A ? B ?”是“ x ? C ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A ? ?x | x ? 2? , B ? ?x | x ? 0? , C ? ?x | x ? 2或x ? 0? ,

A ? B ? ?x | x ? 2?? ?x | x ? 0? ? C ,
当 “ x ? ? A ? B ?” , 能得到 “ x?C ” ; 当 “ x?C ” , 能得到 “ x ? ? A ? B ?” , 因此 “ x ? ? A ? B ?” 是“ x ? C ”的充分必要条件,故答案为 C 考点:1、集合的并集;2、充分条件、必要条件的判断 2.函数 f ? x ? ? ( x ? 3x ? 2)ln x ? 2008x ? 2009 ,则方程 f ? x ? ? 0 在下面哪个范围内必
2

有实根( A. ? 0,1? 【答案】B 【解析】

) B. ?1, 2 ? C. ? 2,3? D. ? 2, 4 ?

试 题 分 析 : 方 程 f ? x ? ? 0 的 根 就 是 函 数 f ?x ? ? 0 的 零 点 , 由 于

1

f ?1? ? 2008? 2009? ?1 ? 0 , f ?2? ? 2008? 2 ? 2009? 0 ,? f ?1?? f ?2? ? 0 由零点存在
定理,得函数的零点在区间在 ?1,2? 内, 因此方程 f ? x ? ? 0 的根在 ?1,2? ,故答案为 B 考点:方程的根和函数的零点的关系 3.函数 y ? 2x ? x 2 的图象大致是( )

【答案】A 【解析】 试题分析:当 x ? 0 时, 2 x ? x 2 ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? 4 ,因此函数图象与 x 轴正半轴的交 点有 2 个,当 x ? ?1 ,

2 x ? x 2 ? 0 ,因此图象在 x 轴下方,故符合图象为 A
考点:函数的图象 4.三个数 a ? 0.312 , b ? log20.31, c ? 20.31 之间的大小关系是( ) A. a ? c ? b 【答案】B 【解析】 B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. b ? c ? a

2 试 题 分 析 : 由 于 0 ? 0.31 ? 1 , log2 0.31 ? log2 1 ? 0 , 2

0.31

? 20 ? 1 ,

? 0 ? a ? 1, b ? 0, c ? 1,所以

b ? a ? c ,故答案为 B
考点:指数函数和对数函数的图象和性质
2 5.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? 的值是(



A.

2 5

B. ?

2 5

C. ?2

D. 2

【答案】A 【解析】
2 试题分析: sin ? ? sin ? cos? ?

sin 2 ? ? sin ? cos? tan2 ? ? tan? 2 ? ? ,故答案为 A sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1 5

考点:同角三角函数的基本关系

2

?? x 2 ? 2 x x ? 0 ? 6.已知函数 f ?x ? ? ? ,若 f ? x ? ? ax ,则 a 的取值范围是( ) ?ln?x ? 1? x ? 0 ?
A. ? ??,0? 【答案】D 【解析】 试题分析:当 x ? 0 时, f ?x ? ? ? x 2 ? 2 x ? 0 恒成立,由 f ?x? ? ax 得, x 2 ? 2 x ? ax ,整 理得 B. ? ??,1? C. [?2,1] D. [?2, 0]

x 2 ? ?2 ? a ?x ? 0 ,由于 f ?x? ? x 2 ? ?2 ? a ?x ? 0 恒成立, f ?0? ? 0 ,? ?
解得 a ? ?2 ,

? ?2 ? a ? ?0, 2

x ? 0 时,由于 f ?x ? 最小值是 0,若 f ?x? ? ax 恒成立,满足 ax ? 0 ,即 a ? 0 ,同时满足
以上两个 条件 ? 2 ? a ? 0 ,故答案为 D

考点:1、一元二次不等式的应用;2、分段函数的应用 7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x )? f ( x? 4) , 且 x ? (? 1, 0)时 ,

1 f ? x ? ? 2 x ? ,则 f (log 2 20) ? ( ) 5 4 4 A.1 B. C. ?1 D. ? 5 5
【答案】C 【解析】 试题分析:由于 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,因此函数为奇函数, f ?x ? ? f ?x ? 4? ,故函数的周期为

? 0 ? log 2 4,log2 16 ? log2 20 ? log2 32 , 即 4 ? log2 20 ? 5 ,0 ? log2 20 ? 4 ? 1 ,

5 ?1, 4

4 ? log2 5 5? 5? 4? 1? ? ? ? ? 4 1? ? f ?log2 20? ? f ?log2 20 ? 4? ? f ? log2 ? ? ? f ? ? log2 ? ? ? f ? log2 ? ? ?? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ? ? 4? 4? 5? 5? ? ? ? ? 5 5? ?

3

故答案为 C 考点:1、函数的奇偶性和周期性;2、对数的运算 8.由直线 x ? A.

15 4

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成的图形的面积是( x 2 17 1 B. C. ln 2 D. 2ln 2 4 2



【答案】D 【解析】 试题分析: 由定积分的几何意义, 得围成的面积 故答案为 D 考点:定积分的几何意义 9.若函数 f ? x ? 在 R 上可导,且满足 f ? x ? ? xf ? ? x ? ,则( A. 2 f ?1? ? f ? 2? 【答案】A 【解析】 B. 2 f ?1? ? f ? 2? C. 2 f ?1? ? f ? 2? ) D. f ?1? ? f ? 2?

?

2

1 2

1 1 dx ? ln x |2 ? ln 4 ? 2 ln 2 , 1 ? ln 2 ? ln x 2 2

? f ?? x ?x ? f ? x ? f ?x ? ? f ?x ? ? ? 0 恒成立,因此 试题分析:由于 f ?x ? ? xf ??x ? ? 在 R 上时 ? ? 2 x x ? x ?
单调递增函数,

?

f ?2 ? f ?1? ? ,即 f ?2? ? 2 f ?1? ,故答案为 A 2 1

考点:函数的单调性与导数的关系

0? x?2 ?4 | log 2 x | ? 10 . 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 1 2 , 若 存 在 实 数 a, b, c, d 满 足 x ? 5 x ? 12 x ? 2 ? ?2

f? a ??

?f ? b? ? ?f

? c?

?

f d
) D. ?18,24? C. ?17,21?

其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是( A. ?16,21? 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 知 ? 4 log 2 a ? 4 log 2 b ? B. ?16,24?

1 2 1 c ? 5c ? 12 ? d 2 ? 5d ? 12 , 因 此 2 2 1 2 lo2 ga ? l o 2 gb ? 0 ,?log2 ab ? 0 ,得 ab ? 1 ,令 x ? 5 x ? 12 ? 0 ,得 c ? 4 或 d ? 6 , 2 1 2 cd ? 24 由图知,令 x ? 5 x ? 12 ? 1 , 2

得 c ? 2 或 d ? 8 , cd ? 16 ,? abcd? ?16,24? ,故答案为 B
4

考点:1、函数的图象;2、对数的运算性质

5

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.设命题 p : ?a ? 0, a ? 1 ,函数 f ? x ? ? a ? x ? a 有零点,则 ?p :
x

.

【答案】 ?a ? 0, a ? 1 ,函数 f ?x? ? a x ? x ? a 没有零点 【解析】 试题分析:全称命题的否定,把全称量词写成存在量词,同时把结论否定;故 ?p :

?a ? 0, a ? 1 ,函数 f ?x? ? a x ? x ? a 没有零点
考点:含有量词的命题的否定 12.设 p : 2 x ? 1 ? m(m ? 0), q : 值范围 为 【答案】 ?0,2? 【解析】 试 题 分 析 : 2x ? 1 ? m?m ? 0? , 解 ? m ? 2 x ? 1 ? m , 解 得

x ?1 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取 2x ?1

.

? m ?1 m ?1 ?x? ;由 2 2

x ?1 ? 0 ,得 2x ?1

m ?1 1 1? ? , ?x ?1??2x ?1? ? 0 ,得 ? ? x | x ? 1或x ? ? ,由于 p 是 q 的充分不必要条件,?

?

2?

2

2

解得 m ? 2 , 又由于 m ? 0 ,? 0 ? m ? 2 ,故答案为 0 ? m ? 2 考点:1、绝对值不等式的解法;2、充分条件必要条件的应用 13.已知函数 y ? log2 (ax ?1) 在 ?1, 2 ? 上单调递增,则 a 的取值范围 【答案】 a ? 1 【解析】 试题分析:函数 y ? log2 ?ax ? 1? 由 y ? log2 u , u ? ax ? 1 复合而成,由于 y ? log2 u 是单 调递增函数,因此 u ? ax ? 1 是增函数,? a ? 0 ,由于 u ? ax ? 1 ? 0 恒成立,当 x ? 1 时, 有最小值, ax ? 1 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,故答案为 a ? 1 考点:1、复合函数的单调性;2、恒成立的问题 .

6

14.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,则 【答案】3 【解析】 试 题 分 析 : x?0 y ,?

1 4 ? 的最小值为 x ?1 y ?1

, 且 x ? y ? 1 , ? y ? 1 ? x?0 ? x ? 1? , 代 入 得 0

1 4 1 4 ? ? ? ? f ?x ? x ?1 y ?1 x ?1 2 ? x
? ? ?1 4 3 x? x ? 4 ? ? 1 ? ? 4 ? ? ? ? ?0 恒成立,所以 则 f ?x ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 ?x ? 1?2 ?2 ? x ?2 ? x ? 1 ? ? 2 ? x ? ?x ? 1? ?2 ? x ?

f ?x ? 在区间 ?0,1? 上单调递增,所以最小值 f ?0? ? 1 ? 2 ? 3 ,故答案为 3
考点:函数的单调性与导数的关系 15.若实数 x, y 满足 ?

? y ?x ? y ? 2 ,则 的取值范围是 x ? ? x ? y ?1

【答案】 ? ,3 ? 【解析】 试题分析: 不等式对应的区域如图, 设z ?

?1 ? ?3 ?
y , 则 z 的几何意义是区域内的点与原点的斜率, x

1 ? x? ? x ? y ? 2 ? ? ?1 3? 2 由? ,得 ? ,即 A? , ? ,此时 OA 的斜率 k ? ?2 2? ? x ? y ? ?1 ?y ? 3 ? 2 ?

3 ?0 2 ?3 1 ?0 2

3 ? 1 x? ?0 ? ?x ? y ? 2 1 ? ?3 1? 2 ? , 由? ,得 ? ,即 B? , ? ,此时 OB 的斜率 k ? 2 3 ?2 2? ?x ? y ? 1 ?y ? 1 ?0 3 ? 2 2 ?


y 1 ?1 ? ? z ? 3 ,故 的答案为 ? ,3 ? x 3 ?3 ?

7

考点:线性规划的应用 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 16.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设命题 p : 函数 y ? log a ( x ? 1) 在 ? 0, ?? ? 上单调递减;命题 q : 曲 线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点,如果 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,
2

求 a 的取值范围. 【答案】 ? ,1? ? ? ,?? ? 【解析】 试题分析: (1)正确理解逻辑连接词“或” 、 “且” , “非”的含义是关键,解题时应根据组成 各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断,其步骤为:①确定 复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③判断复合命题的真假; (2)解决此类 问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来, 然后转化为集合交、 并、 补的基本运算; (3)注意 p 或 q 为真, p 且 q 为假说明 p, q 一真一假. 试题解析:解:因为函数 y ? loga ?x ? 1? 在 ?0,??? 上是单调递减,所以命题 p 成立,则

?1 ? ?5 ?2 ? ?2

? ?

0 ? a ?1
又因为曲线 y ? x ? ?2a ? 3?x ? 1 与 x 轴交于不同的两点
2

1 5 或a ? 2 2 因为 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,所以命题 p, q 一真一假
所以 ? ? ?2a ? 3? ? 4 ? 0 ,解得 q : a ?
2

?0 ? a ? 1 1 ? ① p 真 q 假,则 ? 1 5 ,所以 ? a ? 1 2 ?a? ? 2 ?2
8

?a ? 1 5 ? ② p 假 q 真,则 ? 1 5 ,所以 a ? 2 a ? 或a ? ? 2 2 ?
故实数 a 的取值范围是 ? ,1? ? ? ,?? ? 考点:1、对数函数的性质;2、逻辑联接词的应用 17.已知 cos ? ?

?1 ? ?5 ?2 ? ?2

? ?

(1)求 tan 2? ; (2)求 ?

? 1 13 , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 2 7 14

【答案】 (1) tan? ? 4 3 ; (2) ? ?

?
3

【解析】 试题分析: (1)平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中

??

?
2

? k? , k ? Z 先是根据平方关系由余弦求正弦,然后求正切,根据两角和正切公式求

解; (2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 ? 的范围确 定,二是利用诱导公式进行化简时, (3)三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复 角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角三角函数值, 代入展开即可,注意角的范围. 试题解析:解: (1)由 cos ? ?

1 ? ,0 ? ? ? 7 2
2

4 3 ?1? 得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? 7 ?7?
2

? tan ? ?

sin ? ?4 3 cos ?

于是 tan 2? ?

2 tan? 2? 4 3 8 3 ? ?? 2 2 1 ? tan ? 1 ? 4 3 47

? ?

由0 ?? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2

又? cos ?? ? ? ? ?

13 14

? sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos2 ?? ? ? ? ?
由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得

3 3 14

1 13 4 3 3 3 1 cos ? ? cos?? ? ?? ? ? ?? ? cos? cos?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 14 7 14 2
9

又? ? ? ? 0,

? ? ?? ? ,? ? ? 3 ? 2?

考点:1、同角三角函数的基本关系;2、三角函数的给值求值 18.设 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax2 ? (1 ? 2a) x ? 2 ? 0 . 【答案】当 a ? ? 空集 当?

1 1 1 ? ? 时,不等式的解集为 ? x | ? ? x ? 2? ;当 a ? ? 时,不等式的解集为 2 2 a ? ?

1 1? ? ? a ? 0 时,不等式解集 ? x | 2 ? x ? ? ? ;当 a ? 0 时,不等式的解集 ?x | x ? 2? 2 a? ?

当 a ? 0 时,不等式的解集 ? x | x ? ? 【解析】

? ?

1 ? 或x ? 2? a ?

试题分析: (1)三个二次间的关系,其实质是抓住二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图像
2

与 横 坐 标 的 交 点 、 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 解 集 的 端 点 值 、 二 次 方 程
2

可利用函数与方程的思 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的根是同一个问题.解决与之相关的问题时, 想、化归的思想将问题转化,结合二次函数的图象来解决; (2)解含参数的一元二次不等式 分类讨论的依据:一是二次项中若含有参数应讨论是小于 0,等于 0,还是大于 0,然后将 不等式转化为二次项系数为正的形式, 二是当不等式对应的方程的根个数不确定时, 讨论判 别式 ? 与 0 的关系,三是确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根 的大小关系,从而确定解集; (3)讨论时注意找临界条件. 试题解析:不等式等价 ?ax ? 1??x ? 2? ? 0 (1)当 a ? 0 时,则不等式化为 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 (2)若 a ? 0 ,则方程的两根分别为 2 和 ? ①当 a ? ?

1 a

1 1 时,解不等式得 ? ? x ? 2 2 a 1 ②当 a ? ? 时,解不等式得空集 2 1 1 ③当 ? ? a ? 0 时,解不等式得 2 ? x ? ? 2 a 1 ④当 a ? 0 时,解不等式得 x ? ? 或x ? 2 a
综上所述,当 a ? ?

1 1 ? ? 时,不等式的解集为 ? x | ? ? x ? 2? 2 a ? ?
10

当a ? ? 当?

1 时,不等式的解集为空集 2

1 1? ? ? a ? 0 时,不等式解集 ? x | 2 ? x ? ? ? 2 a? ?

当 a ? 0 时,不等式的解集 ?x | x ? 2? 当 a ? 0 时,不等式的解集 ? x | x ? ?

? ?

1 ? 或x ? 2? a ?

考点:含参数的一元二次不等式的解法 19.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用 了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品,已知该单位每月的处理量最少 400 吨,最多 600 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:

1 y ? x 2 ? 200 x ? 80000 2
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损? 【答案】 (1)400 吨; (2)不获利,国家至少每月补贴 40000 元 【解析】 试题分析: (1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确 其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后利用基本不等式求解; (2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到时,可利用函数的单调性求 解; (3)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功 能,常常用于比较数的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点, 选择好利用基本不等式的切入点.(4)掌握二次函数在闭区间上的最值,注意区间和对称轴 的关系 试题解析:解:由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

y 1 80000 ? x? ? 200 x 2 x

x ? ?400 ,600 ?

?2

x 80000 ? ? 200 ? 200, 2 x
x 80000 ? ,即 x ? 400 时, 2 x

当且仅当

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元 设该单位每月获利为 S 则 S ? 100x ? y

1 2 ?1 ? ? 100x ? ? x 2 ? 200x ? 80000 ? ? ? x ? 300x ? 80000 2 ?2 ?

11

1 ?x ? 300 ?2 ? 35000 x ? ?400,600 ? 2 因为 400 ? x ? 600 ,所以当 x ? 400 时, S 有最大值 ? 40000 ??
故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损 考点:1、利用基本不等式求最值;2、二次函数在闭区间上的最值 20.已知函数 f ? x ? ? 4 x ?

a ? b(a, b ? R) 为奇函数. x

(1)若 f ?1? ? 5 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)当 a ? ?2 时,不等式 f ? x ? ? t 在 ?1, 4? 上恒成立,求实数 t 的最小值; (3)当 a ? 1 时,求证:函数 g ? x ? ? f (2 ) ? c(c ? R) 在 ? ??, ?1? 上至多一个零点.
x

【答案】 (1) f ? x ? ? 4 x ?

31 1 ; (2) ; (3)证明略 2 x

【解析】 试题分析: (1)已知函数的奇偶性求参数的值一般思路:利用函数的奇偶性的定义转化为

f ?? x ? ? ? f ?x ? ,从而建立方程,使问题获解,但是在解决选择题,填空题时,利用定义
去做相对麻烦,因此为使问题解决更快,可采用特值法; (2)对于恒成立的问题,常用到两 个结论: (1) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min ; (3) 对于给出的具体函数的解析式的函数, 证明或判断在某区间上的单调性有两种方法: 一是利 用函数单调性的定义:作差、变形,由 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 的符号,在确定符号是变形是关键, 掌握配方,提公因式的方法,确定结论;二是利用函数的导数求解; (4)单调函数最多只有 一个零点.

a ? b?a, b ? R ? 为奇函数, x a a ? f ?? x? ? ? f ?x ? ,即 ? 4 x ? ? b ? ?4 x ? ? b x x ?b ? 0
试题解析:解:? 函数 f ? x ? ? 4 x ? 又 f ?1? ? 4 ? a ? b ? 5 ,? a ? 1

1 x 2 当 a ? ?2 时, f ? x ? ? 4 x ? x 2 ? 函数 y ? 4 x, y ? ? 在 ?1,4? 都是单调递增, x

? 函数解析式 f ? x ? ? 4 x ?

? f ?x ? 在 ?1,4? 单调递增,
所以当 x ? ?1,4? 时, f ? x ?max ? f ?4 ? ?

31 2
12

? 不等式 f ?x ? ? t 在 ?1,4? 上恒成立,? t ? ? 实数 t 的最小值为

31 2

31 2 a x 证明: g ? x ? ? 4 ? 2 ? x ? c ,设任取任意实数 x1 ? x2 ? ?1 2

a a ? ? ? ? g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? ? 4 ? 2 x1 ? x1 ? c ? ? ? 4 ? 2 x2 ? x 2 ? c ? 2 2 ? ? ? ?

4 ? 2 2 x1 ? x2 ? a 2 x2 ? 4 ? 2 2 x2 ? x1 ? a 2 x1 ? 2 x1 ? x2 ? 4 ? 2 x1 ? x2 2 x1 ? 2 x2 ? a 2 x1 ? 2 x2 2 x1 ? x2

?

? ?

?

?

?4 ? 2

x1 ? x2

? a 2 x1 ? 2 x2 2 x1 ? x2

??

?

? x1 ? x ? ?1,? x1 ? x2 ? ?2,4 ? 2 x1 ? x2 ? 4 ? 2?2 ? 1,? a ? 1,即 ? a ? ?1
? 4 ? 2 x1 ? x2 ? a ? 0 ,又 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2 x1 ? x2 ? 0,? g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 ,即 g ?x1 ? ? g ?x2 ?

? g ?x ? 在 ?? ?,?1? 单调递减
又 c ? R ,结合函数图象知函数 g ?x ? 在 ?? ?,?1? 上至多有一个零点 考点:1、利用函数的奇偶性求参数;2、恒成立的问题;3、利用定义证明函数的单调性 21.已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx .
3 2

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ?

? f (? x) x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x? 上 ? g ( x) x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而 且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明利用. 【答案】 (1) ? 16 ? b ? ?5 ;(2) a ? ?1 ;(3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上 是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而 且此三角形斜边中点在 y 轴上

13

【解析】 试题分析: (1)若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增(减) ,求参数问题,可转化 为 f ??x ? ? 0 或f ??x ? ? 0 恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到,若不是单 调函数,则不恒成立; (2)含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一 是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最值来处理,一般后 者比较简单,常用到两个结论: ( 1 ) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2)

?

?

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min .(3)与函数有关的探索问题:第一步:假设符合条件的
结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或 不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点. 试题解析:解: (1)由 f ?x? ? x ? x ? bx
3 2 2 得 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2? 上不上单调函数

所以 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b 在 ?1,2? 上最大值大于 0,最小值小于 0
2

1? 1 ? f ??x ? ? 3x 2 ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? 3? 3 ?

2

? f ??x ?max ? 16 ? b ,? ?16 ? b ? ?5 ?? ? f ??x ?min ? 5 ? b
由 g ?x? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x
2 2

? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0
?a ?

? x2 ? 2x ? x2 ? 2x 恒成立,即 a ? ? ? x ? ln x ? ? x ? ln x ? ? min
x2 ? 2x ?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? , ?x ? ?1, e?? ,求导得 t ??x ? ? x ? ln x ?x ? ln x ?2

令 t ?x ? ?

当 x ? ?1, e? 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ??x ? ? 0

? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数,?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1
? a ? ?1
由条件, F ?x ? ? ?

?? x3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧
14

不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q ? t , t 3 ? t 2 ,且 t ? 1

?

?

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0

? ?t 2 ? F ?t ??t 3 ? t 2 ? ? 0

?*?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为? ?t 2 ? ? t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无 解; ②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t 2 ? a ln t t 3 ? t 2 ? 0 ,即 设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数

?

??

?

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

1 t

? h?t ?的值域为 ?h?1?,???,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解
? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在 y 轴上 考点:1、利用导数求参数取值范围;2、恒成立的问题;3、探究性问题

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