2019高考数学二轮复习 第二部分 专题二 三角函数与解三角形 专题强化练六 三角函数的图象与性质 文

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专题强化练六 三角函数的图象与性质

一、选择题

1.(2018·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=1+tatnanx2x的最小正周期为(

)

A.π4

B.π2

C.π

D.2π

sin x

解析:f(x)=1+tatnanx2x=

cos x sin xcos x sin2x=cos2x+sin2x=sin

xcos

x=12sin

2x,

1+cos2x

所以 f(x)的最小正周期 T=22π =π .

答案:C

2.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )

A.f(x)的最小正周期为 π ,最大值为 3

B.f(x)的最小正周期为 π ,最大值为 4

C.f(x)的最小正周期为 2π ,最大值为 3

D.f(x)的最小正周期为 2π ,最大值为 4

解析:f(x)=2cos2x-sin2x+1=1+cos

2x-1-c2os2x+2=52+3co2s

2x .

所以 f(x)的最小正周期为 T=π ,最大值为 4. 答案:B
︵︵︵︵ 3.(2018·北京卷)在平面直角坐标系中,AB,CD,EF,GH是圆 x2+y2=1 上的四段弧(如 图),点 P 在其中一段上,角 α 以 Ox 为始边,OP 为终边.若 tan α <cos α <sin α ,则 点 P 所在的圆弧是( )

︵︵︵︵ A.AB B.CD C.EF D.GH 解析:由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧,
︵ 在AB上,tan α >sin α ,不满足;
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︵ 在CD上,tan α >sin α ,不满足;

︵ 在EF上,sin α >0,cos α <0,tan α <0,且 cos α >tan α 满足;

︵ 在GH上,tan α >0,sin α <0,cos α <0,不满足.

故选 C.

答案:C

4.(2018·湖南永州第一次模拟)函数 y=2cos???2x+π6 ???的部分图象是(

)

解析:由 y=2cos???2x+π6 ???知,函数最大值为 2,排除 D,

由于 f???π6 ???=0,排除 B.

又 f(0)=2cos

π 6



3,可排除 C,只有 A 项适合.

答案:A 5.(2018·湖南师大联考)定义一种运算|ac bd|=ad-bc,将函数 f(x)=|错误! 错误! c2ossinxx|的图象向左平移 φ (φ >0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 φ 的最小值是 () A.π6 B.π3 C.2π3 D.56π

解析:f(x)=2cos x-2 3sin x=4cos???x+π3 ???,

依题意 g(x)=f(x+φ )=4cos(x+π3 +φ )是偶函数(其中 φ >0).

所以π3

+φ

=kπ

,k∈Z,则

φ

2 min=3π

.

答案:C 二、填空题

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6.(2018·江苏卷)已知函数 y=sin(2x+φ )???-π2 <φ <π2 ???的图象关于直线 x=π3 对
称,则 φ 的值是________. 解析:因为函数 y=sin(2x+φ )的图象关于直线 x=π3 对称, 所以 x=π3 时,函数取得最大值或最小值,
所以 sin???23π +φ ???=±1. 所以23π +φ =kπ +π2 (k∈Z),所以 φ =kπ -π6 (k∈Z).
又-π2 <φ <π2 ,所以 φ =-π6 . 答案:-π6
7.(2018·北京卷)设函数 f(x)=cos???ω x-π6 ???(ω >0).若 f(x)≤f???π4 ???对任意的实数 x 都成立,则 ω 的最小值为________.
解析:依题意,当 x=π4 时,函数 f(x)有最大值, 故 f???π4 ???=1,则π4ω -π6 =2kπ (k∈Z). 所以 ω =8k+23(k∈Z), 由 ω >0,所以 ω 的最小值为23.
2 答案:3 8.(2018·广东省际名校联考(二))将函数 f(x)=1-2 3·cos2x-(sin x-cos x)2 的
图象向左平移π3 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,若 x∈???-π2 ,π2 ???,则函数 g(x)的单调
递增区间是________.
解析:f(x)=-2 3cos2x+sin 2x=sin 2x- 3cos 2x- 3=2sin???2x-π3 ???- 3. 所以 g(x)=2sin???2???x+π3 ???-π3 ???- 3 =2sin???2x+π3 ???- 3,
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令-π2 +2kπ ≤2x+π3 ≤π2 +2kπ ,得-51π2 +kπ ≤x≤π12+kπ ,k∈Z, 因为 x∈???-π2 ,π2 ???, 所以函数 g(x)在???-π2 ,π2 ???上的单调递增区间是???-51π2 ,π12???. 答案:???-51π2 ,π12??? 三、解答题 9.(2017·浙江卷)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x(x∈R). (1)求 f???23π ???的值; (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解:(1)f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x =-cos 2x- 3sin 2x =-2sin???2x+π6 ???, 则 f???23π ???=-2sin???43π +π6 ???=2. (2)f(x)的最小正周期为 π . 令 2kπ +π2 ≤2x+π6 ≤2kπ +32π ,k∈Z, 得 kπ +π6 ≤x≤kπ +23π ,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为???kπ +π6 ,kπ +23π ???,k∈Z. 10.已知函数 f(x)=sin???π2 -x???sin x- 3cos2x+ 23. (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值; (2)若方程 f(x)=23在(0,π )上的解为 x1,x2,求 cos(x1-x2)的值. 解:(1)f(x)=cos xsin x- 23(2cos2x-1)=12sin 2x- 23cos 2x=sin???2x-π3 ???. 当 2x-π3 =π2 +2kπ (k∈Z),即 x=51π2 +kπ (k∈Z)时, 函数 f(x)取最大值,且最大值为 1. (2)由(1)知,函数 f(x)图象的对称轴为 x=51π2 +kπ ,k∈Z,
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所以当 x∈(0,π )时,对称轴为 x=51π2 . 又方程 f(x)=23在(0,π )上的解为 x1,x2. 所以 x1+x2=56π ,则 x1=5π6 -x2, 所以 cos(x1-x2)=cos???56π -2x2???=sin???2x2-π3 ???, 又 f(x2)=sin???2x2-π3 ???=23, 故 cos(x1-x2)=23. 11.(2018·郑州市调研)已知向量 m=(2cos ω x,-1),n=(sin ω x-cos ω x,2)(ω >0),函数 f(x)=m·n+3,若函数 f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为π2 . (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)若将函数 f(x)的图象先向左平移π4 个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 12倍,得到函数 g(x)的图象,当 x∈???π4 ,π2 ???时,求函数 g(x)的值域. 解:(1)f(x)=m·n+3 =2cos ω x(sin ω x-cos ω x)-2+3 =sin 2ω x-cos 2ω x = 2sin???2ω x-π4 ???. 依题意知,最小正周期为 T=π , 所以 ω =1,因此 f(x)= 2sin???2x-π4 ???. 令-π2 +2kπ ≤2x-π4 ≤π2 +2kπ , 得-π8 +kπ ≤x≤38π +kπ . 故函数 f(x)的增区间为[-π8 +kπ ,38π +kπ ],k∈Z. (2)将函数 f(x)的图象先向左平移π4 个单位, 得到 y= 2sin???2???x+π4 ???-π4 ???= 2sin???2x+π4 ???的图象.
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然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数 g(x)= 2sin???4x+π4 ???的图象. 故 g(x)= 2sin???4x+π4 ???, 由π4 ≤x≤π2 ,知54π ≤4x+π4 ≤94π , 所以-1≤sin???4x+π4 ???≤ 22, 故函数 g(x)的值域为[- 2,1].
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