2017春人教版高中数学必修五课件:2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式1_图文

第2课时 数列的通项公式与递推公式

1.数列的定义: 按照一定顺序排列的一列数称为数列. (数列具有有序性、可重复性、确定性)

2.数列与函数的关系:
* 数列可以看成以正整数集 N(或它的有限子集

{1,2,…,n})为定义域的函数 a n =f(n) 当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值. 反过来,对于函数y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个 数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…

1.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数

列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其
前几项的特征写出它的一个通项公式;(重点)

2.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公
式的异同; 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式. (难点)

探究点1 数列的通项公式

如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个
式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.
注:数列与函数的关系 函数值 y=f(x) an n

自变量



(正整数集N﹡或它的有 通项公式 限子集{1,2,3, …,n})

【即时练习】 写出下面数列的一个通项公式:

an ? n ? 3

an ? 2

n ?1

例1

写出下面数列的一个通项公式,使它的前4

项分别是下列各数:
1 1 1 (1) 1,- , ,- . 2 3 4 (2) 2, 0, 2, 0.

通项公式不 唯一

【解析】(1)这个数列的前4项的绝对值都是

序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,
n+1 (-1) 所以,它的一个通项公式为 a n = n

(2)这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇

数项是2,偶数项是0,所以,它的一个通项公
式为 a n =(-1) ? 1 .
n+1

【互动探究】1.根据数列的前若干项写出的通 项公式的形式唯一吗?请举例说明. 提示:不一定唯一.
2,n为奇数 如:例( 1 2)中通项公式还可以写成a n ={0 ,n为偶数,

n? 或a n = 2sin 或a n =1 ? cos n? . 2
2

2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗? 请举例说明.

提示:不一定能写出.
如:2精确到1,0.1,0.01,0.001, ?的不足近似值 构成的数列1, 1.4, 1.41, 1.414, ... 就无法写出通项 公式.

【变式练习】
已知数列?a n ?的通项公式为 a n = 2n -1 ,用列表

写出这个数列 ?a n ?的前5项,并作出图象. 【解析】列表:

n
an =2n-1

1 2
1 3

3
5

4
7

5
9

图象如下:
10 9 8 7 6 5 4 3 2

an=2n-1

图象是一群 孤立的点

1

O

1

2

3

4

5

6

7

n

例2

图中的三角形图案称为谢宾斯基

(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中,

着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4
项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角 坐标系中画出它的图象.

【解析】如图,这四个三角形图案中着色的小三 角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项 都是3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列 的一个通项公式是 a n = 3n-1 . 在直角坐标系中的图象如图所示.

30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 O

a n = 3n-1

1

2

3

4

【变式练习】 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通

项公式:
(1)3,5,7,9,11,….
2 4 6 8 10 (2 ) , , , , , …. 3 15 35 63 99 (3)0,1,0,1,0,1,…. 1 1 1 1 1 (4 ) , , , , , …. 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5 (5)7,77,777,7777,….

【解析】(1)an = 2n +1.
2n (2)an = . 2 (2n) - 1

1+ (- 1) (3)an = . 2
1 (4)an = (- 1) . 2n
n

n

7 n (5)an = (10 ? - 1). 9

探究点2 数列的递推公式 1.观察以下数列,并写出其通项公式: (1)1,3,5,7,9,11,…

a n = 2n -1
a n = -( 2 n-1)

(2)0,-2,-4,-6,-8,…
(3)3,9,27,81,…

a n = 3n

思考:除用通项公式外,还有什么办法可以确

定这些数列的每一项?

【解析】(1)a1 = 1,a2 = 3 = 1+ 2 = a1 + 2, a3 = 5 = a2 + 2,...,an = an-1 + 2.

(2)a1 = 0,...,an = an-1 - 2. (3)a1 = 3,...,an = 3an-1

2.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下 第1层钢管数为4,即 1 ? 4=1+ 3, 第2层钢管数为5,即 2 ? 5=2 + 3, 第3层钢管数为6,即 3 ? 6=3 + 3, 第4层钢管数为7,即 4 ? 7=4 + 3, 第5层钢管数为8,即 5 ? 8=5 + 3,
若用a n 表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层 的钢管数为一数列,且a n = n + 3.



模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,
即a1 = 4,a 2 = 5 = 4 +1 = a1 +1, a 3 = 6 = 5 +1 = a 2 +1, 以此类推:a n = a n-1 +1(2 ≤ n ≤ 7)

对于上述所求关系,若知其第n-1项,即可
求出其他项,看来,这一关系也较为重要.

3.如果一个数列 {a n }的首项a1 = 1,从第2项起每一项等于 它的前一项的2倍再加上1,即a n = 2a n-1 +( 1 n>1), 那么a 2 =2a1 +1=3, ...a 3 =2a 2 +1=7,
像这样给出数列的方法叫做递推法,其中 a n = 2a n-1 + ( 1 n>1)称为递推公式. 递推公式也是数列的一种表示方法.

【即时练习】 在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an

(n≥1)写出此数列的前六项.
【解题关键】通过观察,此题的递推公式是数列 中相邻三项的关系式,知道前两项就可以求出后 一项. 【解析】a1=2,a2=3,

a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5,
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.

【互动探究】已知数列{an}的第一项是1,以后各项 由公式an-1=2an-2给出,写出这个数列的前五项.

【解题关键】可先将公式变形为an=1+ 出a2这一步是解题的关键.
【解析】∵an-1=2an-2, ∴an=1+ 1 an-1.又a1=1,∴a2=
2
3 , 2

推公式写出数列的前几项,可由a1=1及a2=1+ 1a1,求
2

1 2

an-1.根据递

a 3=

7 , 4

a 4=

15 , 8

a 5=

31 . 16

例3

设数列{an}满足

写出这个数列的前5项. 【解析】由题意可知

1 1 a1 = 1, a2 = 1+ = 1+ = 2, a1 1 1 1 3 1 2 5 a3 = 1+ = 1+ = , a4 = 1+ = 1+ = , a2 2 2 a3 3 3 1 3 8 a5 = 1+ = 1+ = a4 5 5

【变式练习】
已知a1 = 2,an+1 = 2an,写出前5项,并猜想an .
2 2 3

【解析】方法一:a1 = 2,a2 = 2×2 = 2 = 4,a3 = 2×2 = 2 = 8, a4 = 2×23 = 24 = 16,a5 = 2×24 = 25 = 32, 观察猜想an = 2n.

方法二:a1 ? 2,a2 ? 2 ? 2 ? 4,a3 ? 2 ? 4 ? 8, a4 ? 2 ? 8 ? 16,a5 ? 2 ? 16 ? 32, an ?1 an ? 2an,an ? 2an-1,即 ? 2,观察猜想an ? 2n . an-1

an an-1 an-2 a2 所以 ? ? ? ... ? ? 2n-1 (n ? 2), an-1 an-2 an-3 a1 所以an ? a1· 2
n -1

? 2(n ? 2),
n

又a1 ? 2也符合上式,所以an ? 2n .

1.数列{an}中,a1=-1,an+1=an-3,则a3等于( A )
(A)-7 (B)-4 (C)-1 (D )2

【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.

2.数列0,2,4,6,…的递推公式可以是( D )

(A)an+1=an+2
(C)an+1=an,a1=0

(B)an+1=2an
(D)an+1=an+2,a1=0

【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小,故选 项A、B不是;选项C中,a2=0, a3=0,a4=0,则选项C 不是;选项D中,a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是正确的.

3.下列数列满足an+1=

1 an

的是( A )

(A)1,1,1,1,…
(C)3,1,3,1,…

(B)2,2,2,2,…
(D)-1,1,-1,1,…
1 , 则能 an

【解析】选A.因为选项A中, a1=1,an+1=
依次求出a2=a3=a4=1.

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4. (2014 ·全国卷Ⅱ ) 数列 {an} 满足 a1=
1 2

1 an+1= 1 ? a n

,a8=2, 则

.
1 an+1= 1 ? a n

【解析】由
2

, 可 得 an=1- a
2

1
n +1

, 又 a8=2, 故

a7= 1 ,……依次下去得 a1= 1 .

5.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前 五项,并归纳出通项公式.
(1)a1 = 0,a n+1 = a n + (2n -1)(n ∈ N *). 2a n (2)a1 = 1,a n+1 = (n ∈ N *). an + 2 (3)a1 = 3,a n+1 = 3a n - 2(n ∈ N *).

【解析】(1)a1 = 0,a2 = 1,a3 = 4,a4 = 9,a5 = 16,
2 所以an = (n - 1) .

2 1 2 2 1 2 (2)a1 = 1,a2 = ,a3 = = ,a4 = ,a5 = = , 3 2 4 5 3 6 2 所以an = . n +1

(3)a1 = 3 = 1+ 2× 30,a2 = 7 = 1+ 2× 31,a3 = 19 = 1+ 2× 32, a4 = 55 = 1+ 2× 33,a5 = 163 = 1+ 2× 34, 所以an = 1+ 2·3n-1.

1. 通项公式、递推公式的概念; 2. 递推公式与数列的通项公式的区别是:

(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递
推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系. (2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取1,

2, 3, 4,…即可得到相应的项,而递推公式则
要已知首项(或前几项),才可依次求出其他项.

3.数列通项公式与递推公式的区别与联系
联系

区别 通项 公式 递推 公式
项an是序号n的函数式an=f(n)

项an及相邻项间的关系式

都是数列的一种表 示方法,可求出数 列中任意一项

一句经典的读书名言,往往会让人眼睛为

之一亮;一句经典的读书名言,往往会给人以
启迪和教育;一句经典的读书名言,往往会影

响人的一生。


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