高三数学-泰州市2015届高三下学期第三次调研测试数学试题

泰州市 2015 届高三第三次调研测试 数学学科 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.设集合 A?{3,m},B?{3m,3},且 A?B,则实数 m 的值是 【答案】 0 【解析】 试题分析:因为 A ? B ,所以 m ? 3m ,即 m ? 0 . 考点:集合运算. 2.已知复数 z? (1 ? i)(1 ? 2i) (i 为虚数单位),则 z 的实部为 【答案】 3 【解析】 试题分析: z ? (1 ? i)(1 ? 2i) ? 1 ? 2i ? i ? 2i 2 ? 3 ? i ,所以其实部为 3 . 考点:复数相关概念及运算.
?| x |≤1, 3.已知实数 x,y 满足条件 ? 则 z?2x+y 的最小值是 ?| y |≤1,













【答案】 ?3 【解析】
?| x |≤1, 试题分析:如下图所示,当直线 y ? ?2 x ? z 经过或行域 ? 的边界点 A( ?1, ?1) 时,目 ?| y |≤1,

标函数的最小值 ?3 .

考点:线性规划. 4.为了解学生课外阅读的情况,随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在中,
75) 中的频数为 100,则 n 的值为 其频率分布直方图如图所示.已知在 [50,





【答案】1000

1

【答案】 1000 【解析】
75) 中的频率为 0.004 ? 25 ? 0.1 ,所以 n ? 试题分析:在 [50,

100 ? 1000 . 0.1
▲ .

考点:统计案例. 5.在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为

【答案】 ?4 【解析】 试题分析:该算法功能为 y ? ?

?5,
2

x?4

? x ? 2 x ? 2, x ? 4

2 ,当 x ? 4 时,由 x ? 2 x ? 2 ? 26 得

x ? ?4 或 x ? 6 (舍) ,所以 x ? ?4 ,即输入的 x 值为 ?4 .
考点:算法初步. 6. 从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中任取一个数记为 x, 则 log2x 为整数的概率为 【答案】 【解析】 试题分析:当 x 取集合中的数 1, 2, 4,8 时, log2 x 为整数,所以概率 P ? 考点:古典概型、对数的性质. 7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x ?8y 的焦点,则 F 到双曲线 x2 ?
2





4 9 4 . 9
y2 ? 1 的渐 9

2

近线的距离为▲ . 【答案】 【解析】 试题分析:抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点 F 的坐标为 (0, 2) ,双曲线 x 2 ?
10 5

y2 ? 1 的渐近线方程为 9

y ? ?3x ,即 3x ? y ? 0 ,所以点 F 到渐近线的距离为 d ?
考点:抛物线、双曲线性质,点到直线距离公式.

2 3 ?1
2

?

2 10 10 . ? 10 5

8.在等差数列{an}中,若 an+an+2?4n+6(n∈N ) ,则该数列的通项公式 an? 【答案】 2n ? 1 【解析】 试题分析:设等差数列的公差为 d ,当 n ? 1 时, a1 ? a3 ? 2a1 ? 2d ? 10 当 n ? 2 时, a2 ? a4 ? 2a1 ? 4d ? 14 由①②得 d ? 2, a1 ? 3 ,所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . 考点:等差数列定义及性质. 9.给出下列三个命题: ①“a>b”是“3 >3 ”的充分不必要条件; ②“α >β ”是“cosα <cosβ ”的必要不充分条件; ③“a?0”是“函数 f(x) ??x +ax (x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 【答案】③ 【解析】 ▲ .
3 2

*









a

b

a b x 试题分析:因为函数 y ? 3 为增函数,所以“ a ? b ”是“ 3 ? 3 ”的充要条件,故①错;

由余弦函数的性质可知“α >β ”是“cosα <cosβ ”的既不充分也不必要条件,故②错;
3 当 a ? 0 时, f ( x) ? x 是奇函数,当 f ( x ) 是奇函数时,由 f (?1) ? ? f (1) 得 a ? 0 ,所以

③正确. 考点:充要条件. 10.已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm,其表面展开图如图所示,则该空间几何体 的体积

V?



cm .
3

3

【答案】 1 ?

2 6

【答案】 1 ? 【解析】

2 6

试题分析:如下图所示,该几何体下面是一个棱长为 1 的正方体,上面是一个各棱长为 1 的正四棱锥,所以该几何体体积为 V ? 1 ? 1 ? 1 ?

1 2 2 . ?1?1? ? 1? 3 2 6

E B' C' D' A'

B C D

A

考点:几何体结构及多面体体积. 11.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧 ??? ? ??? ? ? 上的动点,则 PC ?PD 的最小值为 交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 EF ▲ .

【答案】 5 ? 2 5 【解析】

4

(, ) 试题分析: 以 A 为坐标原点建立如下图所示平面直角坐标系, 则 C (2,2), D(0,2) , 设 Pxy
则 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) ,所以 ?

? x ? cos? ? (0 ? ? ? ) , 2 ? y ? sin ?

??? ? ??? ? PC ? (2 ? x,2 ? y), PD ? (? x,2 ? y) ??? ? ??? ? PC ? PD ? (2 ? x)(? x) ? (2 ? y)2 ? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? ?2 x ? 4 y ? 5 ? ?2cos? ? 4sin ? ? 5

?2 5sin(? ? ? ) ? 5 ,当 sin ? ?

??? ? ??? ? 2 5 5 时, PC ? PD 取得最小值 5 ? 2 5 . ,cos ? ? 5 5

考点:向量数量积的坐标运算.
?2 x3 ? 3x2 ? m, 0 ≤ x ≤1, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同 x> 1. ?mx ? 5,

的交点,则实数 m 的取值范围为 【答案】 ( ?5,0) 【解析】





3 2 2 试题分析:当 0 ? x ? 1 , f ( x) ? 2 x ? 3x ? m, f ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ? 1) ? 0 ,所以函

数在区间 [0,1] 上单调递增,当 x ? 1 时, f ( x ) ? mx ? 5 也为单调函数,而函数

?2 x 3 ? 3x 2 ? m,0 ? x ? 1 的图象与 x 轴有两个公共点,所以在区间 [0,1] 与区间 f ( x) ? ? ?mx ? 5, x ? 1
? f (0) ? m ? 0 (1, ??) 扣有一个公共点,所以有 ? 解之得 ?5 ? m ? 0 ,故实数 m 的取值 ? f (1) ? 5 ? m ? 0
范围是 ( ?5,0) .

5

考点:导数与函数,函数零点与方程. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(?5,a)作圆 x +y ?2ax+2y?1?0 的两条切线, 切点分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),且 【答案】 3 或 ?2 【解析】 试题分析: 圆心为 C (a, ?1) , 由
y2 ? y1 x1 ? x2 ? 2 ? ? 0 得 y22 ? x22 ? y12 ? x12 ? 2( x2 ? x1 ) , x2 ?x1 y1 ? y2 y2 ? y1 x1 ? x2 ? 2 ? ? 0 ,则实数 a 的值为 x2 ? x1 y1 ? y2
2 2





又因为点 M , N 在圆上,所以 x12 ? y12 ? 2ax1 ? 2 y1 ? 1, x22 ? y22 ? 2ax2 ? 2 y2 ? 1 ,所以

(a ? 1)( x2 ? x1 ) ? y2 ? y1 ,即
K MN ?
a ?1 a?5 y2 ? y1 ,? K MN ? ,所以 ? a ? 1 ,又因为 MN ? PC , K PC ? ?5 ? a a ?1 x2 ? x1

a?5 ? a ? 1 解之得 a ?1
a ? 3 或 a ? ?2 .
考点:直线与圆位置关系、直线与直线位置关系. 14.已知正实数 x,y 满足 x ?
2 4 ? 3 y ? ? 10 ,则 xy 的取值范围为 x y





【答案】 [1, ] 【解析】 试题分析:设 xy ? t ,则 y ?
10 ? x ?

8 3

x ,所以 t

2 4 2 3x 4t 3 1 3 ? 3y ? ? x ? ? ? ? (1 ? ) x ? (2 ? 4t ) ? 2 (1 ? )(2 ? 4t ) x y x t x t x t

2 即 3t ? 11t ? 8 ? 0 ,解之得 1 ? t ?

8 . 3

考点:基本不等式、换元法. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文 ....... 字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,B1C⊥AB,侧面 BCC1B1 为菱形. (1)求证:平面 ABC1⊥平面 BCC1B1;

6

(2)如果点 D,E 分别为 A1C1,BB1 的中点, 求证:DE∥平面 ABC1.
A1 B1 D C1

E A B (第 15 题) C

【答案】(1)(2)见解析. 【解析】 试题分析:(1)要证平面 ABC1 ⊥平面 BCC1B1 ,只要证 B1C ⊥平面 ABC1 即可,由已知条 件易证 B1C⊥平面 ABC1 。 (2)取 AA1 中点 F ,求证平面 DEF // 平面 ABC1 即可. 试题解析: (1)因三棱柱 ABC?A1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形, 故 B1C ⊥ BC1 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分
A1 B1 F E A B (第 15 题答图) C D C1

又 B1C⊥AB,且 AB,BC1 为平面 ABC1 内的两条相交直线, 故 B1C⊥平面 ABC1. 因 B1C ? 平面 BCC1B1, 故平面 ABC1⊥平面 BCC1B1. (2)如图,取 AA1 的中点 F,连 DF,FE. 又 D 为 A1C1 的中点,故 DF∥AC1,EF∥AB. 因 DF ? 平面 ABC1,AC1 ? 平面 ABC1, 故 DF∥面 ABC1. 同理,EF∥面 ABC1. 因 DF,EF 为平面 DEF 内的两条相交直线, 故平面 DEF∥面 ABC1.???????????????????????? 12 分 ??????? 10 分 7分 5分

7

因 DE ? 平面 DEF, 故 DE∥面 ABC1.?????????????????????????? 考点:平面与平面垂直、判定的性质与判定. 16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A, ? , ? 为常数, 14 分

? ? 且 A>0, ? >0, ? <?< )的部分图象如图所示. 2 2
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f (? ) ?
y 2
? ? 3

3 ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 2 6

O ?2

?? 3

x

(第 16 题)

【答案】(1) f ( x ) ? 2sin( x ? ? ) .(2) ?

1 8

考点:三角函数图象和性质,三角变换. 17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点分别为 F1( ? 3 , a 2 b2

8

0),F2( 3 ,0),且经过点( 3 , (1)求椭圆的方程及离心率;

1 ). 2

(2)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设 直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2?k3k4.
y D C F1 O B (第 17 题) F2 x

①求 k1k2 的值; ②求 OB +OC 的值.
2 2

【答案】(1) 【解析】

1 3 x2 ;(2)① ? ;② 5 . ? y2 ? 1 , e ? 4 4 2

试题分析: (1)由焦点坐标先求出 c , 将点 ( 3, ) 的坐标代入椭圆方程可求 b 和椭圆方程及 离心率.或由椭圆定义先求出 a ,再求出 b 即可; (2)设出点 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) , 则 D(? x1, ? y1 ) .①用点点 B, C 的坐标表示 k1 , k2 , 计算 k1k2
2 即可;②由 k1k2 ? k3k4 可得 ? x1 x2 ? ? ( ?4 y1 y2 ) ,用坐标代换条件都用字母 x 表示可得 2

1 2

2 2 2 ? 1 ,可求 OB ? OC 的值. x12 ? x22 ? 4 ,再由椭圆方程可求得 y12 ? y2

试题解析: (1)方法一 依题意,c? 3 ,a ?b +3,???????????????????? 分
1 3 3 2 2 2 ? 4 ? 1 ,解得 b ?1(b ? ? ,不合,舍去),从而 a ?4. 由 2 2 b ?3 b 4
2 2

2

故所求椭圆方程为: 离心率 e? 分 方法二

x2 ? y2 ? 1 . 4
5

3 .????????????????????????? 2

9

1 1 由椭圆的定义知,2a? (? 3 ? 3) 2 ? (0 ? ) 2 ? ( 3 ? 3) 2 ? (0 ? ) 2 ?4, 2 2

即 a?2.???????????????????????????? 分 又因 c? 3 ,故 b ?1.下略. (2)①设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 D(?x1,?y1),
y ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 ? ? 2 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12
2 2 2
2

2

(1 ?

于 是 k1k2? 8分 ②方法一

2 x2 x2 ) ? (1 ? 1 ) 4 4 ? ?1 .??????? 2 2 x2 ? x1 4

1 由①知,k3k4?k1k2? ? ,故 x1x2? ?4 y1 y2 . 4
所以,(x1x2) ?(?4y1y2) ,即(x1x2) ? 16(1 ?
2 2 2

x12 x2 2 2 )(1 ? 2 ) ? 16 ? 4( x12 ? x2 ) ? x12 x2 , 4 4

2 所以, x12 ? x2 ?4.??????????????????????????

11 分 又 2? (
2 x12 x2 x 2 ? x2 2 2 2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 )? 1 ? y12 ? y2 ?1. ,故 y12 ? y2 4 4 4
2 2

2 2 所以,OB +OC ? x12 ? y12 ? x2 ?5.??????????????? ? y2

14 分 方法二

1 由①知,k3k4?k1k2? ? . 4
将直线 y?k3x 方程代入椭圆 分
2 ? 同理, x2

4 x2 得 x12 ? . ???????? ? y 2 ? 1 中, 1 ? 4k32 4

9

4 . 2 1 ? 4k4

2 ? 所以, x12 ? x2

4 4 4 4 ? ? ?4.???????? ? 2 1 ? 4k32 1 ? 4k4 1 ? 4k32 1 ? 4(? 1 )2 4k3

11 分 下同方法一. 考点:椭圆的定义和性质. 18. (本小题满分 16 分)
10

为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200 m,圆心角为 120°的扇形地上 建造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在半

? 上,CD∥AB;△OAB 区域为文化展示区,AB 长为 50 3 m; 径 OP,OQ 上,C,D 在圆弧 PQ
其余空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 ....200 m.
C Q D B P A O

(第 18 题)

(1)试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? (2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC= 2? ,试将运动休闲区 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函 数,并求出 S 的最大值. 【答案】(1) 当 OA、OB 都为 50 m 时,△ OAB 的周长最大;

? (2) S ? 625(8 3cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3) , ? ? (0, ] , Smax ? 625(8 ? 15 3) 6

m2 .
【解析】
200] ,由余弦定理及基本不等式可求出 m ? n 试题分析:(1)设 OA ? m,OB ? n,m,n ? (0,

的最大值,从而可求周长的最大值.(2)当 ?OAB 周长最大时,梯形 ABCD 为等腰梯形,用

? 表示 DE , EF 可求面积表达式,求导判断单调性可求最值.
200] , 试题解析: (1)设 OA ? m,OB ? n,m,n ? (0,

在△ OAB 中, AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? cos

2? , 3

即 (50 3)2 ? m2 ? n2 ? mn ,??????????????????? 所以, (50 3)2 ? (m ? n)2 ? mn ≥ (m ? n)2 ?

2分 4分

(m ? n)2 3 ? (m ? n)2 ,???? 4 4

所以 m ? n ≤ 100 ,当且仅当 m=n=50 时, m ? n 取得最大值,此时△ OAB 周长取得最大值.
C Q D F

E P A O

B

(第 18 题答图) 11

答:当 OA、OB 都为 50 m 时,△ OAB 的周长最大 (2)当△AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E, 则 E、 F 分别为 AB,CD 的中点,
? 所以 ?DOE ? ? ,由 CD ≤ 200 ,得 ? ? (0, ] 6
OF ? 200cos ? . 在△ ODF 中, DF ? 200sin ?,

6分

8分

又在△ AOE 中, OE ? OA cos

? ? 25 ,故 EF ? 200 cos ? ? 25 . 3

10 分

1 所以, S ? (50 3 ? 400sin ? )(200cos? ? 25) 2

? 625( 3 ? 8sin ? )(8cos? ? 1)
? ? 625(8 3 cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3) , ? ? (0, ] . ? ? ? ? 6

12 分 (一直没有交代范围扣 2 分)
? 令 f (? ) ? 8 3 cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3 , ? ? (0, ] , 6
? ? f ?(? ) ? ?8 3sin ? ? 8cos? ? 64cos 2? ? ?16sin(? ? ) ? 64cos 2? , ? ? (0, ] , 6 6

? ? 又 y= ?16sin(? ? ) 及 y= cos 2? 在 ? ? (0, ] 上均为单调递减函数, 6 6
? 故 f ?(? ) 在 ? ? (0, ] 上为单调递减函数. 6
? 3 1 ? ? 4 ? ) >0,故 f ?(? ) >0 在 ? ? (0, ] 上恒成立, 因 f ?( ) ? ?16( 6 2 2 6

? 于是, f (? ) 在 ? ? (0, ] 上为单调递增函数. 6

???

14 分 所以当 ? ? 答: 当? ? 分 考点:余弦定理、基本不等式,导数与函数单调性、最值. 19. (本小题满分 16 分)

? 时, f (? ) 有最大值,此时 S 有最大值为 625(8 ? 15 3) . 6 ? 2 时, 梯形 ABCD 面积有最大值, 且最大值为 625(8 ? 15 3) m . 6
16

12

已知数列{an},{bn}中,a1=1, bn ? (1 ? (1)若 an ? 2n?1 ,求 Sn;

2 an 1 ? ,n∈N ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. )? 2 an a ?1 n ?1

(2)是否存在等比数列{an},使 bn? 2 ? Sn 对任意 n∈N 恒成立?若存在,求出所有满足条件
*

的数列{an}的通项公式;若不存在,说明理由; (3)若 a1≤a2≤?≤an≤?,求证:0≤Sn<2.

3 3 【答案】 (1) ? n?2 ; (2)存在 an ? 1 或 an ? (?1)n?1 ; (3)见解析. 4 2
【解析】 试题分析:(1)当 an ? 2n?1 时,由公式可求出 bn ?

3 2
n?2

,由等比数列求和直接求之即可;

(2)先找到使条件成立的数列 ?an ? ,再通过计算进行证明; (3)由已知条件可得 an ? 0,0 ?

an a2 ? 1 ,即 0 ? n 2 ? 1 ,可得 bn ? 0 ,又 an ?1 an ?1

bn ? (1 ?

an 1 1 an 1 1 )( ? ) ? 2( ? ) ,求和放缩可证. an ?1 an an ?1 an ?1 an an ?1

1 1 3 试题解析: (1)当 an? 2 n ?1 时,bn? (1 ? ) ? n ? n? 2 .??????????????? 4 2 2
2分

3 1 1 3 3 所以,Sn? (1 ? ? ? ? n?1 ) ? ? n? 2 .?????????????? 8 2 2 4 2
4分 (2)满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 和 an= (?1)n?1 . 证明:在 bn? 2 ? Sn 中,令 n=1,得 b3=b1. 设 an= q n ?1 , 则 bn= (1 ? 分 由 b3=b1,得 (1 ?
1 1 1 1 ) 3 ? (1 ? 2 ) . 2 q q q q 1 1 ) . ??????????????????? q2 qn

6

若 q= ?1 ,则 bn=0,满足题设条件. 此时 an=1 和 an= (?1)n?1 .??????? 分 若 q ? ?1 ,则
1 1 ? ,即 q2 =1,矛盾. q3 q

8

综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是 an=1,另一是 an= (?1)n?1 .
13

10

分 (3)因 1=a1≤a2≤?≤an≤?,故 an>0 ,0< 所以, bn ? (1 ?
an a2 ≤1,于是 0< 2n ≤1. a n ?1 an ?1

2 an 1 )? ≥0,n?1,2,3,?. 2 an a ?1 n ?1

所以, Sn?b1+b2+?+bn≥0. ?????????????????????? 分 又, bn ? (1 ?
2 a a an 1 1 ? (1 ? n )(1 ? n ) ? )? 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1

13

? (1 ?

an 1 a 1 1 1 )( ? ) ? n ≤ 2( ? ). an ?1 an an ?1 an ?1 an an ?1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1

故,Sn?b1+b2+?+bn≤ 2(

? 2(

1 1 1 ? ) ? 2(1 ? ) <2. a1 an ?1 an ?1

所以,0≤Sn<2.???????????????????????? 分 考点:1.等比数列的通项公式与求和公式;2.裂项相消法求和;3.放缩法证明不等式. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

16

1 . ? ln x (a∈R) x
2

(1)若 a=2,求函数 f ( x) 在(1,e )上的零点个数(e 为自然对数的底数) ; (2)若 f ( x) 恰有一个零点,求 a 的取值集合; (3)若 f ( x) 有两零点 x1,x2(x1<x2),求证:2<x1+x2< 3ea ?1 ?1. 【答案】(1)1;(2) ?1? ;见解析. 【解析】 试题分析:(1)求导,由导数可知该函数在区间 (1 ,e ) 上为减函数,且
2

f (1) f (e2 ) ? 1 ? (?

1 (2)由函数 f ( x ) 的单调性可知,函数 f ( x ) ) ? 0 ,可知只有一个零点; e2

的最大值为 f ( x)max ? f (1) , 所以函数只有一个零点可转化为 f ( x)max ? 0 即可.(3)依题意 有a ?

1 1 x ?x x x ? ln x1 ? ? ln x2 ,所以 1 2 ? ln 2 ,设 t ? 2 ,于是 x1 x2 x1 x2 x1 x1

14

? t2 ? 1 ? 2? ? ln t ? 2t x2 ? 1 ? ? - ln x,x>1 ,由函数单调性可证 ,构造函数 g ? x ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 2x ln t

x1 ? x2 ? 2 ,再构造函数 h( x) ? ax ? 1 ? x ln x ,则函数 h( x ) 的性质证明不等式

x1 ? x2 ? 3ea?1 ? 1 即可.
试题解析: (1) 由题设,f ?( x) ? 分 所以 f ( x) 在(1,e )上至多只有一个零点. 又 f (1) f (e2 ) ? 1? (? 分 (2) f ?( x) ?
2

1? x 2 , 故 f ( x) 在(1, e )上单调递减. ???????? x2

2

1 2 故函数 f ( x) 在(1, e )上只有一个零点. ????? ) <0, 2 e

4

1? x ,令 f ?( x) ?0,得 x?1. x2

当 x>1 时, f ?( x) <0, f ( x) 在 (1,? ?) 上单调递减; 当 0<x<1 时, f ?( x) >0, f ( x) 在(0,1)上单调递增, 故 [ f ( x)]max ?f(1)?a?1.???????????????????? 6分 ①当 [ f ( x)]max ?0, 即 a?1 时, 因最大值点唯一, 故符合题设; ???? 分 ②当 [ f ( x)]max <0,即 a<1 时,f(x)<0 恒成立,不合题设; ③当 [ f ( x)]max >0,即 a>1 时,一方面, ?e a >1, f (ea ) ? ?
x

8

1 <0; ea

另一方面, ?e? a <1, f (e? a ) ? 2a ? ea ≤2a?ea<0(易证:e ≥ex), 于是,f (x)有两零点,不合题设. 综上,a 的取值集合为{1}.?????????????????????? 10 分 (3)证:先证 x1+x2>2. 依题设,有 a? 记
x ?x x 1 1 ? ln x1 ? ? ln x2 ,于是 2 1 ? ln 2 . x1 x2 x1 x2 x1

x2 t ?1 t ?1 ?t,t>1,则 ln t ? ,故 x1 ? . x1 tx1 t ln t

15

于是,x1+x2?x1(t+1)? 记函数 g(x)? 因 g ?( x) ?

t ?1 ,x1+x2?2? t ln t
2

2(

t2 ?1 ? ln t ) 2t . ln t

x2 ? 1 ? ln x ,x>1. 2x

( x ? 1)2 >0,故 g(x)在 (1,? ?) 上单调递增. 2 x2

于是,t>1 时,g(t)>g(1)?0. 又 lnt>0, 所以, x1+x2>2. ?????????????????????? 分 再证 x1+x2< 3ea ?1 ?1. 因 f(x)?0 ? h(x)?ax?1?xlnx?0,故 x1,x2 也是 h(x)的两零点. 由 h?( x) ?a?1?lnx?0,得 x? e a ?1 (记 p? e a ?1 ).
?h( p )>0, 仿(1)知,p 是 h(x)的唯一最大值点,故有 ? ? x1<p<x2 .

13

作函数 h(x)? ln x ?

( x ? p)2 2( x ? p ) ? ln p ,则 h?( x) ? ≥0,故 h(x)单调递增. x? p x( x ? p ) 2

故,当 x>p 时,h(x)>h(p)?0;当 0<x<p 时,h(x)<0. 于是,ax1?1?x1lnx1<
2 x1 ( x1 ? p ) ? x1 ln p . x1 ? p

整理,得 (2 ? ln p ? a) x12 ? (2 p ? ap ? p ln p ? 1) x1 ? p >0, 即, x12 ? (3ea ?1 ? 1) x1 ? ea ?1 >0.
2 ? (3ea ?1 ? 1) x2 ? ea ?1 <0. 同理, x2 2 ? (3ea ?1 ? 1) x2 ? ea ?1 < x12 ? (3ea ?1 ? 1) x1 ? ea ?1 , 故, x2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )<(3ea ?1 ? 1)( x2 ? x1 ) ,
于是, x1 ? x2<3ea ?1 ? 1 . 综上,2<x1+x2< 3ea ?1 ?1.????????????????????? 分 考点:1.函数零点与方程的解;2.导数与函数单调性;3.函数与不等式证明. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A. (本小题满分 10 分) 16

16

如图,BC 为圆 O 的直径,A 为圆 O 上一点,过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 P,AH ⊥PB 于 H. 求证:PA·AH?PC·HB.
B H C P A (第 21(A)题) O

【答案】见解析. 【解析】 试题分析:连 AC,AB,由圆的知识可知

AH HB ,且 ?PAC ? ?B ,从而可得 ? CH AH

?PAC ? ?CAH ,所以有
试题解析:连 AC,AB.

PC PA ,可证结论成立. ? CH AH

因 BC 为圆 O 的直径,故 AC⊥AB. 又 AH⊥PB,故 AH ?CH·HB,即
2

AH HB .????????????5 分 ? CH AH

B H C P A (第 21(A)题答图) O

因 PA 为圆 O 的切线,故∠PAC?∠B. 在 Rt△ABC 中,∠B+∠ACB??0°. 在 Rt△ACH 中,∠CAH+∠ACB??0°. 所以,∠HAC?∠B. 所以,∠PAC?∠CAH, 所以, 所以,

PC PA AH PA ,即 . ? ? CH AH CH PC
PA HB ,即 PA·AH?PC·HB.???????????????? ? PC AH
10 分

考点:1.圆的性质;2.三角形内角平分线性质定理;3.比例性质. B. (本小题满分 10 分)

17

? 0 1? ?, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(1,2) ,矩阵 M ? ? 1 ?? 0? ? 2 ?
点 A,B,C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 A? , B? , C ? ,求△ A?B ?C ? 的面积. 【答案】 1 【解析】 试题分析:由矩阵变换公式直接代入计算,得到 A?, B?, C ? 的坐标即可.

? 2 ? ?0 ? ?0 ? ? 2? ? 0 ? ?1 ? 试题解析:因 M ? ? ? ? ? , M ? ? ? ? ? , M ? ? ? ? 1 ? , ?0 ? ?0 ? ? 0 ? ? ?1? ? 2? ? ? ? ? 2?

1 即 A?(0, 0), B?(0, ? 1), C?(2, ? ) .???????????????????? 2

1 故 S ? ? A?B? ? 2 ? 1 .???????????????????????? 2

6

10

分 考点:矩阵变换公式. C. (本小题满分 10 分)
? x ? r cos ?, 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, r 为常数, r>0) . 以 ? y ? r sin ?,

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 .若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 AB ? 2 2 ,求 r 的值. 4
【答案】 2 【解析】 试题分析:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程,由勾股定理 可求.

? 试题解析:由 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 ,得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 , 4
即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .??????????????????? 分
? x ? r cos ?, 由? 得曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,圆心坐标为 (0,0) ,??? ? y ? r sin ?,

3

6



18

所以,圆心到直线的距离 d ? 2 ,由 AB ? 2 r 2 ? d 2 ,则 r ? 2 .????? 分

10

考点:1.极坐标与直角坐标互化;2.参数方程与普通方程互化;3.直线与圆的位置关系. D. (本小题满分 10 分) 已知实数 a,b,c,d 满足 a>b>c>d,求证: 【答案】见解析.
1 4 9 36 . ? ? ≥ a ?b b?c c ?d a ?d

考点:1.柯西不等式;2.不等式证明. 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB . (1)求 AD1 与面 BB1 D1 D 所成角的正弦值; (2)点 E 在侧棱 AA1 上,若二面角 E?BD?C1 的余弦值为
AE 3 ,求 的值. AA1 3

【答案】(1) 【解析】

1 10 ; (2) 2 10

19

试题分析:建立空间直角坐标系,由空间向量相关公式计算即可. 试题解析: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,
z D1 A1 B1 C1

D

C y

A B x (第 22 题答图)

建立如图所示空间直角坐标系 D?xyz. 设 AB ? 1 ,则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,

B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,D1(0,0,2) , A1(1,0,2) ,B1(1,1,2) ,C1(0,1,2) .
分 (1)设 AD1 与面 BB1 D1 D 所成角的大小为 ? , 2

???? ? AD1 ? (?1 ,, 0 2) ,
设平面 BB1 D1 D 的法向量为 n?(x,y,z) ,

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? DB ? (1,1,0) , DD1 ? (0,0, 2) ,则 n ? DB ? 0, n ? DD1 ? 0 ,即 x ? y ? 0, z ? 0 .
???? ? ???? ? AD1 ? n 10 ? |? 0) , sin ? ?| cos ? AD1 , n ?|?| ???? 令 x ? 1 ,则 y ? ?1 ,所以 n ? (1,? 1, , 10 | AD1 || n |

所以 AD1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 (2)设 E(1,0, ? ),0≤ ? ≤2.

10 . ????????? 10

6分

设平面 EBD 的法向量为 n1?(x1,y1,z1) ,平面 BDC1 的法向量为 n2?(x2,y2,z2) ,

??? ? ??? ? DB ? (1 ,, 1 0), DE ? (1 ,, 0 ?) , ??? ? ???? 由 n1 ? DB ? 0,n1 ? DE ? 0 ,得 x1 ? y1 ? 0, x1 ? ? z1 ? 0 , ???? ? 令 z1 ? 1 ,则 x1 ? ?? , y1 ? ? , n1 ? (?? , ? ,1) , DC1 ? (0,1, 2) , ??? ? ???? ? 由 n2 ? DB ? 0,n2 ? DC1 ? 0 ,得 x2 ? y2 ? 0,y2 ? 2 z2 ? 0 ,
20

令 z2=1,则 x2=2,y2=?2, n2 ? (2, ?2,1) , cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 1 ? 4? ? , | n1 || n2 | 3 2? 2 ? 1

所以 10 分

3 1 ? 4? AE 1 ? .?????????? ?| | ,得 ? ? 1 .所以 2 AA1 2 3 3 2? ? 1

考点:空间向量的应用. 23. (本小题满分 10 分) 袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出 一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补 一个白球放入袋中.重复上述过程 n 次后,袋中白球的个数记为 Xn. (1)求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2); (2)求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式. 【答案】(1)

X2 P

3

4

5

9 64

35 64

5 16

E( X 2 ) ?

267 . 64
n ?1

35 ? 7 ? (2) E ? X n ? ? 8 ? ? ? 8 ?8?

.

【解析】(1) X 2 的可能取值有 3、4、5,分别计算其相应的概率可得分布列与期望; (2)设 P(Xn?3+k)?pk,k?0,1,2,3,4,5,由已知可得 E ? X n ?1 ? ? 造等比数列求之即可. 试题分析: 试题解析: (1)由题意可知 X2?3,4,5. 当 X2?3 时,即二次摸球均摸到白球,其概率是 P(X2?3)?
C1 C1 9 3 3 ? ? ; 1 1 C8 C8 64
1 1 C1 C1 35 3 C5 5 C4 ? ? ; 1 1 1 1 C8 C8 C8 C8 64

7 E ? X n ? ? 1 ,构 8

当 X2?4 时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率是 P(X2?4)?

当 X2?5 时,即二次摸球均摸到黑球,其概率是 P(X2?5)? 所以随机变量 X2 的概率分布如下表:

1 C1 5 5C4 ? .?? 1 1 C8 C8 16

3分

21

X2 P

3

4

5

9 64

35 64

5 16

(一个概率得一分 不列表不扣分) 数学期望 E(X2)? 3 ? 5分 (2)设 P(Xn?3+k)?pk,k?0,1,2,3,4,5. 则 p0+p1+p2+p3+p4+p5?1,E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5.

9 35 5 267 .???????????? ? 4? ? 5? ? 64 64 16 64

3 4 4 6 5 5 3 P(Xn+1?3)? p0 ,P(Xn+1?4)? p0+ p1,P(Xn+1?5)? p1+ p2,P(Xn+1?6)? p2+ p3, 8 8 8 8 8 8 8
2 7 1 8 P(Xn+1?7)? p3+ p4,P(Xn+1?8)? p4+ p5,???????? 8 8 8 8
7分 所以,E(Xn+1)

4 4 6 2 7 3 5 5 3 1 ?3× p0+4×( p0+ p1)+5×( p1+ p2)+6×( p2+ p3)+7×( p3+ p4)+8×( p4+ 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

8 p5) 8
? ? ? 9分 由此可知,E(Xn+1)?8? 又 E(X1)?8? ? 10 分 考点:1.概率分布列与期望;(2)由数列的递推公式求通项公式.

29 36 43 50 57 64 p0+ p1+ p2+ p3+ p4+ p5 8 8 8 8 8 8 7 (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 8 7 E(Xn)+1. 8
???????

7 (E(Xn)?8). 8

35 35 7 ,所以 E(Xn)? 8 ? ( )n ?1 .?????????? 8 8 8

22


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