高一数学必修4《三角函数》知识点解析及测试题

高一数学必修 4《三角函数》 一、知识梳理 1.任意角:正角、负角、零角: 象限角的表示: 轴线角的表示: 2.与α终边相同角: 注:已知角 ? 所在象限, 确定 ? 2 所在象限。即 ? ? k ? 3600 ? ? (k ? Z ) 180 rad ,1rad ? ( )? ? 57.3? 。 3.弧度制;弧度和角度的换算:1800= π rad, 变形:10= ? 180 ? 弧长公式:l=|α|· r ,扇形的面积公式: S ? 4.任意角的三角函数定义 1 lr 2 注:三角函数值的符号规律 sin ? ? sin ? 2 2 ? tan ? 5.同角三角函数的基本关系式: ①平方关系 sin ? ? cos ? ? 1; ②商数关系 cos ? 变形: 1 ? tan ? ? 2 y x y cos ? ? tan ? ? r r x 1 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? 1 ? tan 2 ? 6.诱导公式: 2k? ?? sin ?? ? ?? ? ?? ? 2 ?? ? 2 ?? 3? ?? 2 3? ?? 2 cos tan k? ? 2 ?? (k ? Z ) 与 ? 的三角函数关系是“奇变偶不变,符号看象限”。 7.三角恒等变换公式:(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(? ? ? ) ? ; sin(? ? ? ) = cos(? ? ? ) ? ; cos(? ? ? ) = 变形 . ??? ? tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1? tan ? tan ? ) tan(? ? ? ) ? (2).二倍角公式: sin 2? ? 2 sin ? cos ? . 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan2 ? 2 2 2 2 cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ; ? cos 2? ? 1 ? tan2 ? * ? sin 2? ? 1 巧 变 角 : 如 2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 缩角升幂: 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )2 , 1 ? cos 2? ? 2 cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2 sin2 ? sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 扩角降幂: sin ? cos ? ? , sin2 ? ? , cos2 ? ? 2 2 2 tan 2? ? 2 2 (3). a sin ? ? b cos ? = a ? b sin(? ? ? ) ( 其中 cos ? ? ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? , ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 ? ?? ? a a ?b 2 2 ,sin? ? b a ? b2 2 ,辅 b ). a 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? 2 ? ? , cos 2 ? , tan ? ? , * (4) .半角公式:sin 2 2 2 2 2 sin ? 1 ? cos ? 助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ? 8.三角函数的图象与性质(由图象观察性质) 函数 图象 (五点作图) y=sinx y=cosx 定义域 性 值域 周期性 奇偶性 单调性 质 对称性 增区间 减区间 对称轴 对称中心 函数 图象 与 性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 (三点两线) 对称性 (对称中心) y=tanx 增区间 减区间 对称轴 对称中心 9.函数y=Asin(ωx+φ)图象的研究,①用五点法作图即取ωx+?分别为0, ? ,?, 3? ,2?。 2 2 ②图象变换:平移、伸缩两个程序 y =sinx 的图象 ?? ? y = sin(x+?) ?? ? y=sin(ωx+?) ?? ? y=Asin(ωx+?)的图象 2? 或: y = sinωx 的图象 ③A---振幅, T ? ???????? y=sin(ωx+?)的图象 ----周期, 沿x轴平行移动| |个单位 ? ? ? f ? 1 ? ? ----频率, ? x ? ? ----相位, ? ? ?初相 T 2? 2 高一数学必修4《三角函数》 典例解析 1.已知 cos ? ? 姓名 ? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14 (2)求 ? . (1)求 tan 2? 的值. 2.已知函数 f ( x) ? cos ? x ? 2 ? ? 1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ? (1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.对称中心。 · b ,其中向量 a ? (m, cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, 1) , x ? R ,且 y ? f ( x) 的 3.设函数 f ( x) ? a 图象经过点 ? , (1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. 2? . ?π ?4 ? ? 4.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 3 巩固练习: 1.求函数

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