把m个球放到n个盒子里,有多少种方法 球盒问题,8种情况


球盒问题
一、球相同,盒子相同,且盒子不能空
例 1.8 个相同的球放入 3 个相同的盒子中,每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法? 解析 球入盒问题,可以看成分两步完成,首先是将 8 个球分成三堆,每堆至少一个. 由于这 里球和盒子都相同,每三堆放入 3 个盒子中只有一种情况,所以只要将 8 个球分成三堆. 即 1-1-6、 1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种,故将 8 个相同的球放入 3 个相同的盒子中,每个盒子至少有一 个, 有五种不同的放法.

结论

n个相同的球放入m个相同的盒子(n≥m) ,不能有空盒时的放法种数等于

n分解为m个数的和的种数. 二、球相同,盒子相同,且盒子可以空
例 2.8 个相同的球放入 3 个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法? 解析 与上题不同的是分成的三堆中,上题中的每一堆至少有一个球,而这个题中的三堆可以 有球数为零的堆,即除了分成上面的五堆外,还可分为 1-7、2-6、3-5、4-4 和只一堆共五种情况, 故 8 个相同的球放入 3 个相同的盒子中.,有十种不同的放法.

结论

n个相同的球放入m个相同的盒子(n≥m) ,可以有空盒时的放法种数等于

将n分解为m个、(m-1)个、(m-2)个、…、2 个、1 个数的和的所有种数之和. 三、球相同,盒子不同,且盒子不能空
例 3.8 个相同的球放入标号为 1、2、3 的三个盒子中,每个盒子中至少有一个. 问有多少种不 同的放法?(隔板法) 解析 这是个相同的球放入不同的盒子中,与前面不同的是,这里盒子不同,所以不能再用前面 7?6 2 ? 21 的解法. 将 8 个球排成一排, 形成 7 个空隙, 在 7 个空隙中任取两个插入两块隔板, 有 C7 = 2 种,这样将 8 个球分成三堆,第一堆放到 1 号盒子内,第二堆放到 2 号盒子内,第三堆放到 3 号盒 子内. 故将 8 个相同的球放入标号为 1、2、3 的三个盒子中,每个盒子中至少有一个,有 21 种不同 的放法.

结论

1 n个相同的球放入m个不同的盒子中(n≥m) ,不能有空盒的放法数 Cnm?? 1 .

四、球相同,盒子不同,且盒子可以空
例 4.8 个相同的球放入标号为 1、2、3 的三个盒子中. 问有多少种不同的放法? 解析 与上一题不同的是,这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将 8 个球分为三堆, 只不过有的堆的球数为零,即在 8 个球之间插入两块隔板. 首先将 8 个球排成一排,就有 9 个空,
1 任取一个空插入一块隔板,有 C9 种;然后再将第二块隔板插入前面 8 个球和第一块隔板形成的 10 个 1 空中,有 C10 种,但这两种放法中有重复的,要除以 2;最后将第一块隔板左边的球放入 1 号盒子中,

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两块隔板之间的球放入 2 号盒子中,第二块隔板右边的球放入 3 号盒子中. 故一共有
1 2
2 1 1 ? C10 ? C10 C9

10 ? 9 ? 45 种. 2

或者,将 8 个球分成三堆(包括没有 0 数堆和有 0 数堆) ,也就是在 8 个球的 9 个空隙中取两个
1 2 插入隔板或取一个插入两块隔板,即 C9 ? C9 ? 9 ? 36 ? 45 种.

例 3 也可利用上面的分法来解,8 个相同的球放入标号为 1、2、3 的三个盒子中,每个盒子中至 少有一个. 先放一个到每个盒子中,只有一种放法. 然后将剩下的 5 个球排成一排,插入两块隔板, 1 1 1 7?6 C 7 ? C 72 ? ? 21 种. 有 C6 2 2
1 结论 n个相同的球放入m个不同的盒子中(n≥m) ,可以有空盒的放法数 Cnm??m ?1 .

五、球不同,盒子相同,且盒子不能空
例 5.8 个不同的球放入三个相同的盒子中,每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法? 解析 由于盒子相同,所以只要对 8 个不同的球分成三堆就行了,因为放入盒子只有一种情况. 而 8 个球分成三堆,各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种. 对情况 1-1-6 有
1 1 6 C8 C7 C6 1 2 5 1 3 4 种分法,对情况 1-2-5 有 C8 C7 C5 种分法,对情况 1-3-4 有 C8 C7 C4 种分法,对情况 2-2-4 有 2 2 4 C82 C6 C4 C 2 C 3C 3 种分法,对情况 2-3-3 有 8 6 3 (注意,分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的 2 2 1 1 6 2 2 4 C 2 C 3C 3 C8 C7 C6 1 2 5 1 3 4 C8 C 6 C 4 + C8 + 8 6 3 =966 种. C7 C5 + C8 C7 C4 + 2 2 2

阶乘).故一共有

结论

n个不同的球放入m个相同的盒子中(n≥m) ,不能有空盒的放法种数等于

n个不同的球分成m堆的种数. 六、球不同,盒子相同,且盒子可以空
例 6.8 个不同的球放入三个相同的盒子中,问有多少种不同的放法? 解析 只比上一题多了两种情况,一是有一堆为 0 的,即分成两堆,1-7、2-6、3-5、4-4 四种 1 1 7 6 5 C 7 ? C82 C 6 ? C83C5 ? C84 ? 127 ;二是有两堆为 0 的,即只分成一堆,一种情况. 所以一 情况,有 C8 2 共有 966+127+1=1094 种.

结论

n个不同的球放入m个相同的盒子中(n≥m) ,可以有空盒的放法种数等于

将n个不同的球分成m堆、(m-1)堆、(m-2)堆、…、2 堆、1 堆的所有种数之和. 七、球不同,盒子不同,且盒子不能空

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例 7.8 个不同的球放入标号为 1、2、3 的三个盒子中,每个盒子中至少有一个. 问有多少种不 同的放法? 解析 这个问题就等价于“8 本不同的书分给 3 个同学,每人至少有一本,有多少种分法?”
3 就是在例 5 先分堆的基础上,再加一步,分到三个不同的盒子中. 即 966 A3 =5796 种.

结论

n个不同的球放入m个不同的盒子中,不能有空盒的放法种数等于n个不

同的球分成m堆的种数乘以m!. 八、球不同,盒子不同,且盒子可以空
例 8.8 个不同的球放入标号为 1、2、3 的三个盒子中,问有多少种不同的放法? 解析
3 包括分三堆的 5796 种,还有分两堆的 127 A3 ? 762,还有只分一堆的 3 种情况,所以一

共有 5796+762+3=6561 种.

结论 m n种 .

n个不同的球放入m个不同的盒子中(n≥m) ,可以有空盒的放法种数等于

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