2011年高考新课标数学文二轮复习作业:专题2 1三角函数的图象与性质

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专题二

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质

π π 1.(2010 年石家庄高中质检)已知函数 y=tanωx 在(- , )内是减函数,则( ) 2 2 A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 2.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的 最大值为( ) A.1 B. 2 D.2 C. 3 ?kx+1,(-2≤x<0) ? 3.函数 y=? ) 8π 的图象如图,则( ?2sin(ωx+φ),(0≤x≤ 3 ) ?

1 1 π A.k= ,ω= ,φ= 2 2 6 1 1 π B.k= ,ω= ,φ= 2 3 2 1 π C.k= ,ω=2,φ= 2 6 1 π D.k=-2,ω= ,φ= 3 2 π 4.(2010 年河北唐山调研)下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间( ,π)上为减 2 函数的是( ) A.y=cos2x B.y=2|sinx| 1 cosx 1 C.y=( ) D.y=- 3 tanx π 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期为 π.则 3 函数 f(x)图象的一个对称中心是( ) π π A.( ,1) B.( ,0) 3 12 5π π C.( ,0) D.(- ,0) 12 12 6.(2010 年高考安徽卷)动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 1 3 12 秒旋转一周,已知时间 t=0 时,点 A 的坐标是( , ),则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐 2 2 标 y 关于 t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( ) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12] π π 7.已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是 4 3 ________.

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π 8.(2010 年高考福建卷)已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象 6 π 的对称轴完全相同.若 x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 9.函数 f(x)=cos2x+2sinx 的最小值和最大值之和为________. 1 π 1 10.(2010 年高考山东卷)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin( +φ)(0<φ<π),其图 2 2 2 π 1 象过点( , ). 6 2 (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 π 的图象,求函数 g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 4

π π π 11.已知函数 f(x)=2sin(x- )cos(x- )+2 3cos2(x- )- 3. 3 3 3 (1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时相应的 x 的值; π (2)若函数 y=f(2x)-a 在区间[0, ]上恰有两个零点 x1,x2,求 tan(x1+x2)的值. 4

x x x 1 12.已知函数 f(x)=sin2 + 3sin cos - . 2 2 2 2 (1)求 f(x)的单调递增区间; π (2)将 y=f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.若 y=g(x)(x>0)的图象与 6 1 直线 y= 交点的横坐标由小到大依次是 x1,x2,…,xn,…,求数列{xn}的前 2n 项的和. 2

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第1讲

专题二 三角函数的图象与性质

π π 1. 【解析】选 B.由 y=tanωx 在(- , )内递减知 ω<0,且|ω|≤1,则-1≤ω<0. 2 2 2. 【解析】选 B.在同一坐标系中作出 f(x)=sinx 及 g(x)=cosx 在[0,2π]的图象,由图象知, 3π 3π 2 2 当 x= ,即 a= 时,得 f(x)= ,g(x)=- , 4 4 2 2 ∴|MN|max=|f(x)-g(x)|= 2. 3. 【解析】选 A.本题的函数是一个分段函数,在区间[-2,0)上是一次函数,其图象是一 1 8π 条直线,由图象可判断该直线的斜率 k= .在区间[0, ]上是三角函数,三角函数解析式中的 2 3 1 8π 5π 故 参量 ω 由三角函数的周期决定. 由图象可知函数的周期为 T=4×( - )=4π, ω= .将点 2 3 3 5π 1 1 5π 5π ( ,0)代入解析式 y=2sin( x+φ),得 × +φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ- ,k∈Z,结合各选 3 2 2 3 6 项可知,选项 A 正确. 4. 【解析】

1+cos2x π 选 B.对于 A,y=cos2x= ,T=π,但在( ,π)上为增函数;对于 B,作如图所示 2 2 π π 图象,可得:T=π,且在区间( ,π)上为减函数;对于 C,函数 y=cosx 在区间( ,π)上为减 2 2 1x 1 cosx π 1 函数;函数 y=( ) 为减函数,因此,y=( ) 在( ,π)上为增函数;对于 D,函数 y=- 在 3 3 2 tanx π 区间( ,π)上为增函数.故选 B. 2 2π π π 5. 【解析】选 B.∵T= =π,∴ω=2.又函数的图象关于直线 x= 对称,故 2× +φ=k1π ω 3 3 π π π π π + ,∴φ=k1π- ,k1∈Z;由 sin(2x+k1π- )=0,得 2x+k1π- =k2π,k1,k2∈Z,∴x= 2 6 6 6 12 π π π +(k2-k1)· ,当 k1=k2 时,x= .故函数 f(x)图象的一个对称中心为( ,0),选 B. 2 12 12 2π π 6. 【解析】选 D.∵T=12,∴ω= = , 12 6 π 从而设 y 关于 t 的函数为 y=sin( t+φ). 6 3 π 又∵t=0 时,y= ,∴φ= , 2 3 π π ∴y=sin( t+ ), 6 3 π π π π ∴2kπ- ≤ t+ ≤2kπ+ ,即 12k-5≤t≤12k+1,k∈Z 时,y 递增. 2 6 3 2 ∵0≤t≤12,∴函数 y 的单调递增区间为[0,1]和[7,12]. π π 7. 【解析】函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值为-2,则 sinωx 在区间[- 4 3 π π , ]上的最小值为-1,所以 T≤π,ω≥2. 4 3
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【答案】[2,+∞) 8. 【解析】由对称轴完全相同知两函数周期相同, π ∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x- ). 6 π π 5 π 由 x∈[0, ],得- ≤2x- ≤ π, 6 6 6 2 3 ∴- ≤f(x)≤3. 2 3 【答案】[- ,3] 2 9. 【解析】f(x)=cos2x+2sinx =-2sin2x+2sinx+1 3 1 =-2(sinx- )2+ . 2 2 1 3 当 sinx= 时,f(x)取最大值 ; 2 2 当 sinx=-1 时,f(x)取最小值-3. 3 3 故函数的最大值和最小值之和为 -3=- . 2 2 3 【答案】- 2 cos2x+1 1 1 10. 【解】(1)f(x)= sin2xsinφ+ cosφ- cosφ 2 2 2 1 = (sin2xsinφ+cos2xcosφ) 2 1 = cos(2x-φ). 2 π 1 又∵f(x)过点( , ), 6 2 1 1 π π ∴ = cos( -φ),cos( -φ)=1. 3 3 2 2 π 由 0<φ<π 知 φ= . 3 1 π (2)由(1)知 f(x)= cos(2x- ). 3 2 1 1 将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,从而得到的函数为 g(x)= 2 2 π cos(4x- ). 3 π π π 2π π π 1 π 2π ∵0≤x≤ ,∴- ≤4x- ≤ .当 4x- =0,即 x= 时,g(x)max= ;当 4x- = ,即 4 3 3 3 3 12 2 3 3 π 1 x= 时,g(x)min=- . 4 4 2π 2π 2π 2π 11. 【解】(1)f(x)=sin(2x- )+ 3[1+cos(2x- )]- 3=sin(2x- )+ 3cos(2x- )= 3 3 3 3 π 2sin(2x- ), 3 π π 5π ∴函数 f(x)的最大值为 2,此时 2x- = +2kπ,k∈Z,即 x= +kπ,k∈Z. 3 2 12 π (2)f(2x)=2sin(4x- ), 3 π π 令 t=4x- ,∵x∈[0, ], 3 4

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π 2π ∴t∈[- , ], 3 3 π π 设 t1,t2 是函数 y=2sint-a 的两个相应零点(即 t1=4x1- ,t2=4x2- ), 3 3 π π 由函数 y=2sint 的图象性质知 t1+t2=π,即 4x1- +4x2- =π, 3 3 π π 3 tan +tan 1+ 6 4 3 π π π π ∴x1+x2= + ,tan(x1+x2)=tan( + )= = =2+ 3. π π 4 6 4 6 3 1-tan ×tan 1- 4 6 3 x x 1 2x 12. 【解】(1)f(x)=sin + 3sin cos - 2 2 2 2 1-cosx 3 1 = + sinx- 2 2 2 3 1 = sinx- cosx 2 2 π =sin(x- ). 6 π π π π 2π 由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 3 2π π ∴f(x)的单调递增区间是[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z). 3 3 π π (2)函数 f(x)=sin(x- )的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=sinx 的图象, g(x)=sinx. 即 6 6 1 若函数 g(x)=sinx(x>0)的图象与直线 y= 交点的横坐标由小到大依次是 x1, 2, xn, x …, …, 2 则由正弦曲线的对称性、周期性可知, x1+x2 π x3+x4 x2n-1+x2n π π = , =2π+ ,…, =2(n-1)π+ (n∈N*), 2 2 2 2 2 2 所以 x1+x2+…+x2n-1+x2n =(x1+x2)+(x3+x4)+…+(x2n-1+x2n) =π+5π+9π+…+(4n-3)π n(n-1) =[n×1+ ×4]×π=(2n2-n)π. 2

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