高中数学配套课件:第1部分 第一章 1.3 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值


考点一

第 一 章

1.3

1.3.1

第 二 课 时

把握 热点 考向

考点二 考点三 考点四

应用创新演练

返回

返回

返回

返回

返回

[例1]

下图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,

指出它的最大值、最小值.

返回

[思路点拨]

观察函数图象的最高、最低点,从

而确定最大、最小值.

返回

[精解详析]

观察函数图象可以知道,图象上

位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所 以函数y=f(x)在x=3时取得最大值,即ymax=3,当 x=-1.5时,取得最小值,即ymin=-2.

返回

[一点通] 用图象法求最值的一般步骤是

返回

?1 1 ? , ≤x<1, 1.求函数 f(x)=?x 2 的最大值与最小值. ?x,1≤x≤3 ?

返回

解:画出函数的图象,如图所示. 由图可知,函数的最大值是f(3)=3,最小值是f(1)=1.

返回

2.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如 图所示,则此函数的最小值、最 大值分别是 A.-2,f(2) ( B.2,f(2) )

C.-2,f(5)

D.2,f(5)

返回

解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2; 当x=5时,有最大值f(5).

答案:C

返回

返回

[例 2]

x-1 已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2

(1)判断函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. [思路点拨] 利用定义判断 f(x)的单调性,再利用单调性求最值.

返回

[精解详析]

(1)任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,则

x1-1 x2-1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 ?x1-1??x2+2?-?x2-1??x1+2? = ?x1+2??x2+2? x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 = ?x1+2??x2+2? 3?x1-x2? = . ?x1+2??x2+2?

返回

∵x1,x2∈ [3,5]且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). x-1 ∴函数 f(x)= 在[3,5]上为增函数. x+2

返回

(2)由(1)知,当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值,为 f(3) 2 4 = ;当 x=5 时,函数 f(x)取得最大值,为 f(5)= . 5 7

返回

[一点通]

函数的最值与单调性的关系

(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是增函数,在 区间[b,c)上是减函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x =b处有最大值f(b). (2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是减函数,在

区间[b,c)上是增函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x
=b处有最小值f(b).

返回

(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数, 则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、

最大(小)值.

返回

1 3.函数 y=-x+1 在区间[2,2]上的最大值是( 1 A.-2 1 C.2 B.-1 D.3

)

返回

1 解析:y=-x+1 在 R 上单调递减,故在[2,2]上的 1 1 最大值为-2+1=2.

答案:C

返回

4.求函数 y= x+ x-1的值域.
解:由 x≥0,且 x-1≥0,得 函数的定义域为[1,+∞). 而函数 y= x和 y= x-1在[1, +∞)上都是增函数, 则 y= x+ x-1也是增函数.当 x=1 时,它取得最 小值,故 y= x+ x-1的最小值为 1,即它的值域 为[1,+∞).

返回

x 5.求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最小值. x-1
解:任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 则 f(x1)= ,f(x2)= , x1-1 x2-1 x1-x2 x2 x1 f(x2)-f(x1)= - = . x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? ∵2≤x1<x2≤5,

返回

∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. ∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1). x ∴f(x)= 在区间[2,5]上是单调减函数. x-1 2 ∴f(x)最大值=f(2)= =2, 2-1 5 5 f(x)最小值=f(5)= = . 5-1 4

返回

返回

[例 3]

某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000

元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元.已知总收益 R(x)(元) 满足: 1 2 ? ?400x- x ,0≤x≤400, 2 R(x)= ? ?80 000,x>400. ? 的月产量.

其中,x(台)是仪器

返回

(1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最 大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) [思路点拨] 先求出f(x),然后利用分段函数求

最值的方法求解.

返回

[精解详析] (1)因为月产量为 x 台, 所以总成本为 20 000+100x(元),从而 ? 1 2 ?- x +300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=? 2 ?60 000-100x,x>400. ?

返回

(2)当 0≤x≤400 时, 1 f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 ∴当 x=300 时,f(x)max=25 000. 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)max=25 000. 故每月生产 300 台仪器时利润最大, 最大利润为 25 000 元.

返回

[一点通]

1.解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数
学模型转化成数学问题解决. 2.分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系 式的关键. 3.对于分段函数求最大(小)值时,要分别求出函数

在各段上的最大(小)值,然后比较,最大(小)的一个即为
函数的最大(小)值. 返回

6.某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价 格是每份0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不掉的

报纸以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30
天计算)里,有18天每天可卖出400份,其余12天每天 只能卖出180份.摊主每天从报社买进多少份晚报, 才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进 晚报的份数是相同的)? 返回

解:设每天从报社买进x(180≤x≤400,x∈N*)份晚报, 每月获利为y元,则有y=0.20(18x+12×180)-

0.35×12(x-180)=-0.6x+1 188,180≤x≤400,x∈N*.
因为函数y=-0.6x+1 188在180≤x≤400,x∈N*时是减 函数,所以x=180时函数取得最大值,最大值为 y=-0.6×180+1 188=1 080. 故摊主每天从报社买进180份晚报时,每月获得的利润

最大,为1 080元.
返回

返回

[例4] 的最小值.

(12分)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上

[思路点拨]

此题为二次函数最值中区间固定对称

轴移动的问题,应分类讨论求解.

返回

[精解详析]
∴当a<2时,

∵函数图象的对称轴是x=a,

(1分)

f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当a>4时, f(x)在[2,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. (7分) (4分)

返回

当 2≤a≤4 时, f(x)min=f(a)=2-a2.? ?6-4a,a<2, ? 2 ∴f(x)min=?2-a ,2≤a≤4, ?18-8a,a>4. ? (10 分)

?

(12 分)

返回

[一点通] 求二次函数的最值的一般步骤
(1)确定二次函数图像的对称轴.

(2)根据对称轴的位置情况讨论函数的单调性.
(3)写出最值.

返回

7.已知函数y=-x2-2ax(0≤x≤1),且ymax=a2,求实数a 的取值范围.

解:∵y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2(0≤x≤1),
∴函数图象是开口向下的抛物线,且对称轴为x=-a. 又∵ymax=a2,且0≤x≤1, ∴0≤-a≤1?-1≤a≤0. ∴实数a的取值范围是[-1,0]. 返回

8.设f(x)=x2-4x-4,x∈[a,a+1](a∈R),求函 数f(x)的最小值g(a)的解析式. 解:∵f(x)=(x-2)2-8,x∈[a,a+1], ∴当2∈[a,a+1]时,即1≤a≤2时, g(a)=f(2)=-8.

当a+1<2,即a<1时,f(x)在[a,a+1]上是减函数,

返回

∴g(a)=f(a+1)=a2-2a-7. 当 a>2 时,f(x)在[a,a+1]上是增函数, ∴g(a)=f(a)=a2-4a-4. a<1, ?a2-2a-7, ? 综上可知,g(a)=?-8, 1≤a≤2, ?a2-4a-4, a>2. ?

返回

函数的值域与最大(小)值的区别 (1)函数的值域是一个集合,函数的最值是一个函 数值,它是值域的一个元素,即定义域中一定存在一 个x0,使f(x0)=M(最值). (2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大

(小)值,如y=x在x∈(-1,1)时无最值.

返回

返回


相关文档

高中数学人教A版必修1课件:1-3-1 第二课时 函数的最大(小)值
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第二课时函数的最大(小)值课件新人教A版必修1
高中数学第1部分1-3-1第二课时函数的最大(小)值课件新人教A版必修
人教版2017高中数学(必修一)第一章 1.3 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值PPT课件
2017-2018学年人教A版高中数学必修一课件:第一章 1.3 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值
高中数学第一章1-3-1第二课时函数的最大(小)值课件新人教A版必修
高中数学人教版必修1课件:1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值
【创新方案】2013版高中数学 第一章 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值课件 新人教A版必修1
2016-2017学年高中数学人教版必修1课件:1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值
2017-2018学年人教A版高中数学必修一课件第一章1.31.3.1第二课时函数的最大(小)值
电脑版