2013年上海市高考数学模拟试卷(含答案)题目和答案和评分要点

2013 年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考试注意: 1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。 2.本试卷共有 31 道试题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。 一. 填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,要求直接填写结果,每题填 对得 3 分,否则一律得 0 分。
1. 函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是 2. 方程 2 ? 8 的解是
x

3. 抛物线 y ? 8 x 的准线方程是
2

4. 函数 y ? 2sin x 的最小正周期是

k ? 6) 。若 a // b ,则实数 k ? 5. 已知向量 a ? (1 , k ) , b ? (9,
6. 函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是 7. 复数 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的模是 8. 在 ?ABC 中,角 A、 b ? 8, B ? 60 ,则 b= B、 C 所对边长分别为 a、、 b c ,若 a ? 5,
?

?

?

?

?

9. 在如图所示的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 10. 从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参 加某社团活动,选出的 3 人中男女同学都有的 概率为 (结果用数值表示) 。 A1

D1 B1 D A B

C1

C

11. 若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 S n = 12. 36 的所有正约数之和可按如下方法得到: 因为 36=2 ? 3 ,所以 36 的所有正约数之和为
2 2

(1 ? 3 ? 32 ) ? (2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ) ? (22 ? 22 ? 3 ? 22 ? 32 ) ? (1 ? 2 ? 22( ) 1 ? 3 ? 32 ) ? 91
参照上述方法,可求得 2000 的所有正约数之和为

二.选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题都给出四个结论,其 中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,
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选对得 3 分,否则一律得 0 分。 13.展开式为 ad-bc 的行列式是( )

a b
(A)

a
(B)

c
(C)

a d b c
(D)

b d

a c

d
-1

c

b d

14.设 f ( x) 为函数 f ( x ) ? (A) f (C)
?1

x 的反函数,下列结论正确的是( )
(B) f (D) f ) (D) (3, 2)
?1

(2) ? 2

(2) ? 4 (4) ? 4

f ?1 (4) ? 2

?1

15.直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是( (A) (2, ? 3) 16 函数 f ( x) ? x y
?

(B) (2, 3)
1 2 的大致图像是(

(C) (?3, 2) ) y

y

y

0 x B C 17.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( ) A x (A)

0

0

x

0 D (D) ?

x

1 1 ? a b

(B) ab ? b

2

(C) ?ab ? ?a

2

1 1 ?? a b

z2 满足 z1 ? z 2 ,则 z1、 z2 在复数平面上对应的点 Z1、 Z2 ( 18.若复数 z1、
(A) 关于 x 轴对称 (C) 关于原点对称
10



(B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 y ? x 对称

19. (1 ? x ) 的二项展开式中的一项是( ) (A) 45x (B) 90 x
2

(C) 120 x

3

(D) 252 x

4

20.既是偶函数又在区间 (0, ? ) 上单调递减的函数是( ) (A) y ? sin x (B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x

21.若两个球的表面积之比为 1: 4 ,则这两个球的体积之比为( ) (A) 1: 2 (B) 1: 4 (C) 1:8 (D) 1:16 22.设全集 U ? R ,下列集合运算结果为 R 的是( ) (A) Z ? ?u N (B) N ? ?u N
2

(C) 痧 u ( u ?)

(D) ?u {0}
2

23.已知 a、、 “ b ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方” b c?R,
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的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 24. 已知 A、 B 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N . 若

???? ?2 ???? ??? ? MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( )
(A)圆 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D)双曲线

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 7 题,解答下列各题必须写出必要 的步骤。 25.(本题满分 7 分)
如图,在正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 6 ,异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 求该三棱柱的体积。 [解] A1 B1

? , 6

C1

A B

C

26(本题满分 7 分)
如图,某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地, 其中 ?B 为直角, AB 长 40 米,BC 长 50 米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且 B 为矩形的一个顶点,求该 健身房的最大占地面积。 A [解]

B

C

27. (本题满分 8 分)
已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn ? ?n ? n , 数 列 {bn } 满 足 bn ? 2
2 an

, 求

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn) 。
n ??

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[解]

28.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分。
, 0) 、 F2 (1, 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 B2 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1
(1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 Q 两点,且 F1 P ? F1Q , 求直线 l 的方程。 [解](1)

????

????

(2)

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29.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。
已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F 。
2

(1)点 A、 P 满足 AP ? ?2FA 。当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存 在,求所有满足条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由。 [解](1)

??? ?

??? ?

(2)

30.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 9 分。
在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 在 y 轴正半轴上, 点 Pn 在 x 轴上, 其横坐标为 xn , 且 { xn } 是首项为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?Pn APn ?1 ? ? n , n ? N 。
?

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

8 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值。 (2)若点 A 的坐标为 (0,
y [解](1) A

0
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P1 P2 P3

P4

x
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(2)

31. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分。
已知真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于点 P(a、 b) 成中心对称图形”的充要条件为“函数 。 y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数” (1)将函数 g ( x) ? x ? 3x 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像
3 2

对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; (2)求函数 h( x) ? log 2

2x 图像对称中心的坐标; 4? x

(3)已知命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实 数 a 和 b,使得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数” 。判断该命题的真假。如果是真命题,请 给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命 题(不必证明) 。 [解](1)

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(2)

(3)

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数 学 试 卷
参考答案
一. (第 1 至 12 题)每一题正确的给 3 分,否则一律得 0 分。 1. (?2, ??) 7. 2. 3 8. 7 3. 9.

x ? ?2

4. 10.

2?
4 5
11.

5.

?

13
13 B

? 3
17 D

3 4

6. 5 12. 4836

5 2 7 n ? n 6 6
21 C 22 A

二. (第 13 至 24 题)每一题正确的给 3 分,否则一律得 0 分。 题号 代码 14 B 15 D 16 A 18 A 19 C 20 B 23 D 24 C

三. (第 25 至 31 题) 25.[解]因为 CC1 AA1 . 所以 ?BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 .所成的角,即 ?BC1C = 在 Rt ?BC1C 中, BC ? CC1 ? tan ?BC1C ? 6 ?

? 。 6

3 ?2 3, 3

从而 S ?ABC ?

3 BC 2 ? 3 3 , 4

因此该三棱柱的体积为 V ? S?ABC ? AA1 ? 3 3 ? 6 ? 18 3 . A 26.[解]如图,设矩形为 EBFP , FP 长为 x 米,其中 0 ? x ? 40 , 健身房占地面积为 y 平方米。因为 ?CFP ∽ ?CBA , 以 E P C

FP CF x 50 ? BF 5 , ,求得 BF ? 50 ? x , ? ? B F BA CB 40 50 4 5 5 2 5 2 从而 y ? BF ? FP ? (50 ? x) x ? ? x ? 50 x ? ? ( x ? 20) ? 500 ? 500 , 4 4 4 当且仅当 x ? 20 时,等号成立。
答:该健身房的最大占地面积为 500 平方米。 27.[解]当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ?n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? ?2n ? 2 。
2 2

且 a1 ? s1 ? 0 ,所以 an ? ?2n ? 2 。 因为 bn ? 2
?2 n ? 2

1 1 ? ( )n?1 ,所以数列 {b n } 是首项为 1、公比为 的无穷等比数列。 4 4
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(b1 ? b2 ? ? ? bn) 故 lim ?
n ??

1 1? 1 4

?

4 。 3

28[解](1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 。 a 2 b2

根据题意知 ?

? a ? 2b ?a ? b ? 1
2 2

, 解得 a 2 ?

4 1 , b2 ? 3 3

x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1。 4 1 3 3
(2)容易求得椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 2

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 。 2 ? ? y ?1 ?2
y1 ), Q( x2, y2 ) ,则 设 P( x1,

x1 ? x2 ?
????

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? , x x ? , F P ? ( x ? 1 , y ) , F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) 1 2 1 1 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
???? ???? ????

因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? 0 ,即

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1

?

7k 2 ? 1 ?0, 2k 2 ? 1

解得 k ?
2

7 1 ,即 k ? ? 。 7 7

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 。

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y ? yA ) , y A ) ,则 AP ? ( x ? x A, 29.(1)设动点 P 的坐标为 ( x, y) ,点 A 的坐标为 ( xA, yA ) , 因为 F 的坐标为 (1 , 0) ,所以 FA ? ( xA ? 1, ??? ?

??? ?

y ? y A ) ? ?2( xA ? 1, yA ) 。 由 AP ? ?2 FA 得 ( x ? xA,
即?

??? ?

??? ?

? x ? x A ? ?2( x A ? 1) ? y ? y A ? ?2 y A
2

解得 ?

? xA ? 2 ? x ? yA ? ? y
2

代入 y ? 4 x ,得到动点 P 的轨迹方程为 y ? 8 ? 4 x 。 (2)设点 Q 的坐标为 (t, 0) .点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 Q?( x, y) ,

1 ? y ?? ? ?x?t 2 则? ?y ? x?t ? ?2

3 ? x?? t ? ? 5 解得 ? ?y ? 4 t ? 5 ?
2

若 Q? 在 C 上,将 Q? 的坐标代入 y ? 4 x ,得 4t ? 15t ? 0 ,即 t ? 0 或 t ? ?
2

15 。 4

所以存在满足题意的点 Q ,其坐标为 (0, 0) 和 (? 30.[解](1)设 A(0, t) ,根据题意, xn ? 2
n ?1

15 , 0) 。 4 1 1 ,知 tan ?3 ? , 3 3

。由 ?3 ? arctan

x4 x3 ? t t ? t ( x4 ? x3 ) ? 4t , 而 tan ?3 ? tan(?OAP4 ? ?OAP 3) ? 2 2 x x 1 ? 4 ? 3 t ? x4 ? x3 t ? 32 t t 4t 1 所以 2 ? ,解得 t ? 4 或 t ? 8 。 t ? 32 3
故点 A 的坐标为 (0, 4) 或 (0, 8) 。
n ?1

(2)由题意,点 Pn 的坐标为 (2

, 0) , tan ?OAPn ?

2n ?1 。 8 2

2n 2n ?1 ? 2n ?1 1 2 ? tan ? n ? tan(?OAPn ?1 ? ?OAPn ) ? 8 2 n 8 n ? 。 ?1 2 n ?1 2 2 2 16 2 2n 1? ? 8 2? ? 8 2 8 2 8 2 2n 8 2
因为

16 2 2n 1 2 ? ? 2 2 ,所以 tan ? n ? ? , n 2 4 8 2 2 2

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当且仅当

16 2 2n ? ,即 n ? 4 时等号成立。 2n 8 2

易知 0 ? ? n ?

?

, y ? tan x 在 (0, ) 上为增函数, 2 2
2 。 4
3 2

?

因此,当 n ? 4 时, ? n 最大,其最大值为 arctan

31.(1)平移后图像对应的函数解析式为 y ? ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 2 , 整理得 y ? x ? 3x ,
3

由于函数 y ? x ? 3x 是奇函数,
3

由题设真命题知,函数 g ( x) 图像对称中心的坐标是 (1 , ? 2) 。 (2)设 h( x) ? log 2

2x 的对称中心为 P(a, b) ,由题设知函数 h( x ? a) ? b 是奇函数。 4? x
2( x ? a) 2 x ? 2a ? b ,即 f ( x) ? log 2 ?b 。 4 ? ( x ? a) 4?a? x

设 f ( x) ? h( x ? a) ? b, 则 f ( x) ? log 2 由不等式

2 x ? 2a ? 0 的解集关于原点对称,得 a ? 2 。 4?a? x 2( x ? 2) 此时 f ( x) ? log 2 ? b, x ? (?2, 2) 。 2? x
任取 x ? (?2, 2) ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? 1, 所以函数 h( x) ? log 2

2x 图像对称中心的坐标是 (2, 1) 。 4? x

(3)此命题是假命题。 举反例说明: 函数 f ( x) ? x 的图像关于直线 y ? ?x 成轴对称图像, 但是对任意实数 a 和 b , 函数 y ? f ( x ? a) ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数。 修改后的真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称图像” 的充要条件是 “函数 y ? f ( x ? a) 是 偶函数” 。

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