离散数学(一)练习题与答案

relations hip, establidge she d equivalent hip and s ubje a ppli cation --scores and per centage a ppli cation problem review content overvie ans wers s cores , and percentage ppli cation problem ofgraphics key is: areview ccor ding to mea ning, (1)adetermine sta ndard v olume (units "1") (2) find associate "volume rate corresponds to" relati ons hip, The in -line sol ution. Categ orykfraction multiplication w ord onshapes a ppli cations e ngine ering prnder oblem probl em a su : review of the mea sureme3, ntcone of the amount offeatures ca pacit y, urement and units of meas com mon units ement and their significa nce i n and rate vol 1, currency, l ength, are.. a, vol ume, unit size, v olume, weig ht and rate. (Omitted) 2, commonly used time units a nd their relationshi ps. (Slightly) with a mea surement units Z hijia n of of poly 1, and of method 2, a nd poly method 3, and of method and poly method of relations hip meas urement distance of method 1, a nd t ool meas urement 2, and e stimates 16, a nd s ubject: ge ometry preliminary knowle (1)--li ne and relati angleons revi ew14, content li ne,ct: and segme nt, problem and Ray, (4) and vertical, a nd parallel, and angl e angle of classifi cation (slig htly) 17, w and subje ct: geometry prelimi narya knowledge (2)--pla ne conte nt triangle, nd e dges shape d, and round, and fan axisymme tric graphi cs perimeter a nd area combination graphics ofnarea subject : Preliminary nowl edge (3) -review of solidproblem content score categ Divisi ory 1-d are divide d int o: cyli a nd cone 2,XV, colum nbject is divi ded i nto: cuboi d, square cone of the ofmeas cuboids a nd cubes relations hip urement betwee nof characteristics of of cirmeasur cular cone is slig htly soli d surfa ce area ume 1, size 2 , table .和

一、判断题(正确√,错误× )

××××√ 6-10 题:× × √ √ √ 11-15 题:× × √ × √ 16-17 题:√ ×
1-5 题: 二、单项选择题 1AC 6B 11 D 2C 7B 12 A 3C 8C 13 C 4. B 9B 14 C 5A 10 B

三、填空题 1 ┐Q→P 或┐P→Q, Q→P

2 A B ? {{a,b}, {a},{b},{c}} ,A B?{ {c} } ,
A ? B ? {{a,b}} ,
A ? B ? {{a,b},{a},{b}} 。

3. ? {?} ? Φ, {?,{?}} ? ? ? {Φ,{ Φ}},
{?,{?}} ? {?} ? {{Φ}}, ? {?} ? {Φ}。

4.A={1,2,3,……,12},R 是 A 上的整除关系,子集 B={2,4,6}。 则 B 的最大元是:无,最小元是:2, 极大元是:4,6,极小元是:2, 上界是:12,下界是:2, 上确界是:12,下确界是:2。 5. 6 g g g R, T

7. 略 8.极大元:{a,b}, {b,c},最大元:无,上界:{a,b,c},下确界:Φ。

象 形 个 出 现 体 都 会 G20峰 再 路 带 一 、 行 投 ”到 区 易 贸 由 自 太 “亚 从 。 任 责 重 起 负 担 要 大 方 东 在 立 屹 为 作 国 中 , 题 主 的 界 世 今 当 是 展 发 与 平 和

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一、判断题(正确√,错误× ) ( ( ( ( ( ( )1.设 A,B,C 为任意的命题公式,若 A ? C ? B ? C ,则 A ? B 。 )2.公式 P ? Q 是合取范式,不是析取范式。 )3.公式 (?P ? Q) ? ( P ? Q) 与公式 P ? (Q ? R) 等价。 )4. (?x)( A( x) ? B( x)) ? (?x) A( x) ? (?x) B( x) 。 )5.谓词公式 (?x)(?y)( P( x, y) ? Q( y, z)) 中,x,y 是约束变元,z 是自由变元。 )6.对谓词公式 (?x)(P ( y ) ? Q ( x, y )) ? R (x , y )中的自由变元进行代入后得到 公式 (?x)( P( z) ? Q( x, z)) ? R( x, y) 。 ( )7. 对谓词公式 (?x)( P( x) ? Q( x, y)) ? R( x, y) 中的约束变元进行换名后得到公 式 (?y)( P( y) ? Q( y, y)) ? R( x, y) 。 ( ( ( ( )8. {?} ?{?,{?}} ,且 {?} ? {?,{?}} 。 )9.对任意的集合 A,B,C,D.若 A ? C , B ? D ,则 A ? B ? C ? D 。 )10.设 A,B,C 是任意的集合,则 A ( B ? C ) ? ( A B) ? ( A C ) 。 )11.集合 A={a,b,c}上的任何二元关系 R 都不可能既是对称的,又是反对称 的。 ( )12.若 R 和 S 是集合 A 上的任意的两个反自发的关系,则 R○S 也是反自反 的。 ( )13.设<P, ≤ >是一个偏序集合,若最大成员存在,则该最大成员必然是极大 成员。 ( ( ( ( )14.R 是等价关系一定是相容关系,反之亦然。 )15.当 X 和 Y 都是有限集合时,若 f:X→Y 是单射函数,则|X|≤|Y|。 )16.设 N 是自然数集合,f : N→N,且 f(j)=j2+2,则 f 是单射函数。 )17.设 X={1,2,3,4}, f 是 X 上的关系且 f={<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,2>, <4,4>},则 f 是函数。 二、单项选择题 1.给定命题公式 P ? (Q ? R) ,则它的成真指派为( 成假指派为( )。 B. 111, 011 D. 000 )。 ),

A.111, 011, 100, 101,110 C. 000, 010, 001

2.给定命题公式: (?P ? Q) ? ( P ? R) 与之等价的是( A. P ? (?Q ? R) B. P ? (Q ? R)
2
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C. P ? (Q ? R)

D. ?P ? (Q ? R) )。

3.命题: “所有马都比某些牛跑得快” 的符号化公式为(

假设:H(x):x 是马;C(x):x 是牛;F(x,y):x 跑得比 y 快。 A. (?x)( H ( x) ? (?y)(C ( y) ? F ( x, y))) B. (?x)( H ( x) ? (?y)(C ( y) ? F ( x, y))) C. (?x)( H ( x) ? (?y)(C ( y) ? F ( x, y))) D. (?y)(?x)( H ( x) ? (C ( y) ? F ( x, y))) 4.给定命题公式: (?x)( A( x) ? B) 与之等价的公式是( A. (?x) A( x) ? B C. ?B ? (?x) A( x) B. (?x) A( x) ? B D. ?B ? (?x)?A( x) ) 。 )。

5.对任意的集合 A,B,C,下述论断正确的是( A.若 A ? B, B ? C ,则 A ? C . C. 若 A ? B, B ? C ,则 A ? C . 6.下列选项错误的是( A. ? ? ? ) 。 C. ? ? {?}

B. 若 A ? B, B ? C ,则 A ? C . D. 若 A ? B, B ? C ,则 A ? C .

B. ???

D. ? ?{?} ) 。

7.设 A={1,{1}}, P(A)为 A 的幂集,下列选项错误的是( A. {1} ? P( A) B. {1} ? P( A) C. {{1}}? P( A)

D. {{1}} ? P( A) )

8.集合 A={1,2,3,6}, A 上的整除关系具有的性质是( A.自反的,对称的,可传递的 B. 反自反的,对称的,可传递的 C. 自反的,反对称的,可传递的 D. 反自反的,反对称的,可传递的
?1 ?0 9.关系 R 的关系矩阵 M R ? ? ?0 ? ?0 0 1 0 0 1 0 1 0

0? 1? ? , 则关系 R 具有的性质是 ( 0? ? 1?

)。

A.自反的,对称的,可传递的 B.自反的,反对称的,可传递的 C.自反的,对称的
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D.都不是 10.函数的复合运算满足( A.交换律 ) 。 C.等幂律 ) 。 B.f,g 必是单射 D. f 必是单射, g 必是满射 D.分配律

B.结合律

11.若 g○f 是双射函数,则( A.f,g 必是满射 C.f 必是满射, g 必是单射

12.设 N 是自然数集合,R 是实数集合,f : N→R,且给定 f ( j ) ? log10 j , 则( ) 。 B.f 是满射 ) 。 C. A ? B D. B ? A ) 。 C.f 是双射 D.都不是

A.f 是单射

13.设 A ? B ? ? ,则有( A. B ? ? B. B ? ?

14.给定公式 (?x) F ( y, x) ? (?y)G( y) ,它的前束范式是( A. (?x)(?y)( F ( y, x) ? G( y)) C. (?x)(?y)(?F ( z, x) ? G( y)) 三、填空题

B. (?x)(?y)( F ( z, x) ? G( y)) D. (?x)(?y)(?F ( z, x) ? G( y))

1.给定命题 1: “除非你努力,否则你将失败” (假设 Q:你努力,P:你将失败) ; 命题 2: “只有睡觉才能恢复疲劳” (假设 P:睡觉,Q:恢复疲劳) 。则命题 1 符号 化为_________________, 命题 2 符号化为___________________。

2.集合 A={{a,b},{c}},B={{a},{b},{c}}, 试写出:
A B ? ___________________, A B ? ___________________,

A ? B ? ___________________, A ? B ? ___________________。

3.确定以下各式: ? {?} ? ____________, {?,{?}} ? ? ? ____________,
{?,{?}} ? {?} ? ________________, ? {?} ? ________________。

4.A={1,2,3,……,12},R 是 A 上的整除关系,子集 B={2,4,6}。 则 B 的最大元是____________,最小元是____________, 极大元是____________,极小元是____________, 上界是______________,下界是______________, 上确界是____________,下确界是____________。 5.设 A={1,2,3},f, g, h 均为 A 到 A 的函数,即 f, g, h:A→A,其中
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f={<1,1>,<2,1>,<3,1>}, g={<1,1>,<2,3>,<3,2>}, h={<1,3>,<2,1>,<3,1>} , 则 __________是单射,__________是满射,__________是双射。 6.设 A={a,b,c}, B={x,y,z},R,S,T:A→B 的关系,且 R={<a,x>,<b,y>,<c,y>}, S={<a,x>,<a,y>},T={<a,x>,<b,x>,<c,x>},则________可定义为 A 到 B 的 函数。 7. 关系 R 是自反的,当且仅当在关系矩阵中___________________________, 在关系图中____________________________________________________; 关系 R 是反自反的,当且仅当在关系矩阵中_________________________,在 关系图中___________________________________________________; 关系 R 是对称的,当且仅当在关系矩阵中__________________________, 在关系图中__________________________________________________。 8.设 A={a,b,c}上偏序集 ? P( A), ?? ,其中 P(A)是 A 的幂集,则幂集 P(A)的 子 集 B ? {? , { 的,极 a } ,b { }a , {b , b } ,c { }大 } 元 是 ______________ , 最 大 元 是 _______________,上界是______________,下确界是______________。 四、简答题 1. 将下列命题符号化 (1) 不存在两片完全相同的叶子。 (2) 发光的不都是金子。 (3)尽管有人聪明,但未必一切人都聪明。 2. 利用两种方法证明下列蕴涵式:
?Q ? ( P ? Q) ? ?P . 3.利用求主合取范式证明下列公式等价性:

( P ? Q) ? ( P ? R) ? P ? (Q ? R)
4.设 A,B 和 C 是集合,则回答下列问题: 若 A? B ? A? C , 是否必须 B=C? 五、综合题 1 应用 CP 规则证明:R→S 可以从前提 P→(Q→S),┐R∨P 和 Q 推出。 2.符号化下列命题,并给出构造推理证明 每位资深名士或是中科院院士或是国务院参事。 所有的资深名士是政协委员。 张大为是资深名士,但他不是中科院院士,因此有的政协委员是国务院参事。
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六 R 是整数集合 Z 上的二元关系,对任意 m,n∈Z, <m,n>∈R 当且仅当 m =n . (1)证明 R 是等价关系。 (2)求 R 的等价类。 七.设 S 为 X 上的偏序关系,T 为 Y 上的偏序关系,若< <x1, y1> ,<x2, y2> >∈P 当 且仅当<x1, x2>∈S 且<y1, y2>∈T,证明 P 是 X× Y 上的一个偏序关系。

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