广西陆川县中学2012届高三下学期开学基础知识竞赛数学(理)


陆川县中学 2012 届高三下学期开学基础知识竞赛(理科)

数学试题
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案,请把你认
为正确的答案填在答题卡上,答在试卷上的一律无效。 )

........

..........
( C. ?1 ? i

1. 复数

1? i 2 ? i 的值是: 1? i A. i ? 1 B. 1 ? i

) D. ? 1

2. f (x) 是定义在 (0,??) 上的非负可导函数,且满足 x ? f ?( x) ? ? f ( x) ,对任意的正数 a, b , 若a ? b, 则必有: A. af (a) ? bf (b) B. af (a) ? bf (b) C. af (b) ? bf (a) ( ) D.

af (b) ? bf (a)
3. 在 ? x ?

? ?

1 ? 4 ? 的展开式中, x 的系数为是: 2x ?

10





A. ?120 B. 120 C. ?15 D. 15 4. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有 5 种颜色 可供使用, 则不同的染色方法总数有: ( ) A. 240 种 B. 300 种 C. 360 种 D. 420 种 5. O 为平面 ? 内的动点,A、B、C 是平面 ? 内不共线的三点,满足 OA ? OB ? ?OC ? 0 ,则 O 点轨迹必过△ ABC 的: A.重心 B. 外心 6. 若函数 y ? lg ( C.垂心 D. 内心 )

?

f ( x) 的定义域为 M ,函数 y ? lg[ f ( x)]的定义域为 A ,函数 y ? lg[ g ( x)] 的 g ( x)
( B. M ? A ? B C. M ? A ? B D. M ? A ? B )

定义域为 B , 则有: A. M ? A ? B

7. 球面上三点 A、B、C,其中 AB 为球的直径,若 ?ABC ? 30?, BC ? 2 3 ,则 A、C 两点的球 面距离为: ( )

? A. 3

2? B. 3

4? C. 3

5? D. 3

8. 设 ? 、 ? 、 ? 是三个不重合的平面,给出下列命题:
1 ○若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? 2 ○ m // ? , n // ? , ? ? ? ,则 m ? n

3 ○若 ? // ? , ? // ? , ? // ? 则

4 ○若 m, n 在 ? 内的射影相互垂直, m ? n 则

其中错误的个数为 .. A. 0

( B. 1 C. 2 D. 3



9. 设 f ( x) ? A sin(wx ? ? ) ( w 、A 为正常数, x ? R ),则 f (0) ? 0 是 f (x) 为奇函数的: ( ) A. 充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.设偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在 (0,??) 上单调递增,则 f (b ? 2) 与 f (a ? 1) 的大小关系 ( A. f (b ? 2) ? f (a ? 1) B. f (b ? 2) ? f (a ? 1) ) D. 不能确定

C. f (b ? 2) ? f (a ? 1)

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 11.设 O 为坐标原点,点 M 的坐标为 (2,1) ,若点 N ( x, y) 满足不等式组 ?2 x ? y ? 12 ? 0 ,则使 ?x ? 1 ?

OM ? ON
( ) A. 1 个 12.已知 P 是椭圆 径为 ( A.



得 B. 2 个







时 C. 3 个



N











D.无数个

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是该椭圆的两个焦点,若△ PF1 F2 的内切圆半 4 3

1 ,则 PF ? PF2 的值为: 1 2
) B.

3 2

9 4

C. ?

9 4
共 90 分)

D. 0

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把你认为正确的答案填在答题 ...... 卡上,答在试卷上的一律无效。 .. .......... )
13. 把函数 y ? sin(2 x ? 的

?
4

) 的图象向右平移

? 个单位, 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来 8

1 2

(纵坐标不变) ,则所得图象的解析式为 。 14.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若点 P 为△BCD 的重心,则 D1P 与平面 ADD1A1 所 成角的大小为 。
2 15.过点 A(?1,0) 作抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的两条切线,切点分别为 B、C,且△ABC 是正三

角形,则抛物线方程为



2 2 16.在由正数组成的数列 ?an ? 中,对任意的正整数 n , (n ? 1)an ? an an?1 ? nan?1 都成立,且

a1 ? 2 ,则极限 lim
n ??

an ? 3n ? 1



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。答案写在答题卡上,答在试卷上的一 ........ ....... 律无效,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) ...
17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,a 、b 、c 为角 A、 C 所对的三边, B、 已知 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc 。 (1)求角 A; (2)若 BC ? 2 3 ,内角 B 等于 x ,周长为 y ,求 y ? f (x) 的最大值。

18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD ? 平面 ABCD, 且 PD=AB=2,E 是 PB 的中点,F 是 AD 的中点。 P (1)求证:EF ? 平面 PBC; (2)求异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小; (3)求二面角 F—PC—B 的大小。 E· D C F · B A

19. (本小题满分 12 分)A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验进行对比试验,每个试验 由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另两只服用 B,然后观察疗效,若在一个试验组中, 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组,设每只小白鼠服用 A 有效的概率为

2 1 ,服用 B 有效的概率为 。 3 2

(1)求一个试验组为甲类组的概率; (2)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ? 的分布列和数学期望。

20 .( 本 小 题 满 分

12

分 ) 已 知 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 S n , a1 ?

1 且 4

2S n ? 2S n?1 ? 2an?1 ? 1

(n ? 2, n ? N * )

,





?bn ?





b1 ?

3 4

,



3bn ? bn?1 ? n (n ? 2, n ? N * ) 。
(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列; (2)求证:数列 ?bn ? an ?为等比数列; (3)求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 Tn 。

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,过点 A(0,?b) 和 2 3 a b

B(a,0) 的直线与坐标原点的距离为
(1)求椭圆的方程;

3 。 2

(2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆相交于 C、D 两点,试判断是否存 在 k 值,使以 CD 为直径的圆过定点 E?若存在求出这个 k 值,若不存在说明理由。

2 22. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 。

(1)若 b ? ?12 ,求 f (x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立。 n n

参考答案 一、 选择题
题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 D

5 A

6 C

7 B

8 D

9 C

10 C

11 D

12 B

二、 填空题
13. y ? sin 4 x 14. arcsin
14 35 10 (或 arccos 或 arctan ) 7 7 5

15. y 2 ? x

4 3

16.

2 3

三、 解答题
17.解: (1)由 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc得 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?bc
b2 ? c2 ? a2 1 ? ?A? ? 又 0? A?? 3 2bc 2 AC BC BC 2 3 ? , ? AC ? (2)? ? sin x ? ? sin x ? 4 sin x ? sin x sin A 3 sin 3 2 BC 2? ? sin C ? 4 sin( ? x) 同理: AB ? sin A 3 2? ? ? y ? 4 sin x ? 4 sin( ? x) ? 2 3 ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3 3 6 ? 2? ?A? ?0 ? B ? x ? 3 3 ? ? 5? ? ? ? ) ? 故x ? ? ? x ? 时, y max ? 6 3 故 x ? ?( , 6 6 6 6 2 3 ? cos A ?

18.解: (1)连结 FO,? F 是 AD 的中点, ? OF ? AD,
? EO ? 平面 ABCD 由三垂线定理,得 EF ? AD,
又? AD//BC,? EF ? BC 连结 FB,可求得 FB=PF= 5 ,则 EF ? PB, 又? PB ? BC=B,? EF ? 平面 PBC。 (2)连结 BD,? PD ? 平面 ABCD,过点 E 作 EO ? BD 于 O,连结 AO,则 EO//PD 且 EO ? 平面 ABCD,所以 ? AEO 为异面直线 PD、AE 所成的角

1 ? E 是 PB 的中点,则 O 是 BD 的中点,且 EO= PD=1 2

在 Rt△EOA 中,AO= 2 ,? tan ?AEO ?

AO ? 2 EO

所以:异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为 arctan 2. (3)取 PC 的中点 G,连结 EG,FG,则 EG 是 FG 在平面 PBC 内的射影 ? PD ? 平面 ABCD, ? PD ? BC,又 DC ? BC,且 PD ? DC=D,

? BC ? 平面 PDC ? BC ? PC, ? EG//BC,则 EG ? PC, ? FG ? PC 所以 ? FGE 是二面角 F—PC—B 的平面角 1 在 Rt△FEG 中,EG= BC=1,GF= DF 2 ? DG2 ? 3 2
? cos?FGE ?
3 EG 1 3 ,所以二面角 F—PC—B 的大小为 arccos . ? ? 3 FG 3 3

19.解: (Ⅰ)设 A1 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只” 0,1,2, ,i=
B1 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只” 0,1,2,依题意有 ,i=

1 2 4 2 2 4 P( A1 ) ? 2 ? ? ? , P( A2 ) ? ? ? . 3 3 9 3 3 9 1 1 1 1 1 1 P( B0 ) ? ? ? . P( B1 ) ? 2 ? ? ? . 2 2 4 2 2 2
所求的概率为 P = P(B0·A1)+ P(B0·A2)+ P(B1·A2= (Ⅱ)ξ 的可能值为 0,1,2,3 且ξ ~B(3,

1 4 1 4 1 4 4 ? ? ? ? ? ? . 4 9 4 9 2 9 9

4 ) 9 5 125 4 5 100 1 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? , P (? ? 1) ? C 3 ? ? ( ) 2 ? , 9 729 9 9 243 4 5 80 4 64 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? , P(? ? 3) ? ( ) 3 ? . 9 9 243 9 729
ξ p 0 1 2 3

ξ 的分布列为

125 729 4 4 数学期望 E? ? 3 ? ? . 9 3

100 243

80 243

64 729

* 20.解: (1)∵ 2S n ? 2S n?1 ? 2an?1 ? 1 (n ? 2, n ? N ) ,

∴当 n ? 2 时, 2an ? 2an?1 ? 1 ∴数列 ?an ? 为等差数列。 (2)∵ ?an ? 为等差数列,公差 d ?

可得 a n ? a n ?1 ?

1 2

1 2

∴ a n ? a1 ? (n ? 1) ?

1 1 1 ? n? 2 2 4

∵ 3bn ? bn?1 ? n (n ? 2) , ∴ bn ? a n ?

1 1 1 1 1 1 1 bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? 3 3 2 4 3 6 4 1 1 3 1 1 1 ? (bn ?1 ? n ? ) ? (bn ?1 ? (n ? 1) ? ) 3 2 4 3 2 4 1 = (bn ?1 ? an ?1 ) 3
1 ?0 2
∴对 n ? N ,bn ? an ? 0 , 得
*

又∴ b1 ? a1 ?

bn ? an 1 ? (n ? 2) bn?1 ? an?1 3

1 1 公比为 的等比数列。 2 3 1 1 n ?1 n 1 1 1 n ?1 * (3)由(2)得 bn ? a n ? ? ( ) ,∴ bn ? a n ? ? ? ? ( ) (n ? N ) 2 3 2 4 2 3 1 1 [1 ? ( ) n ] 3 又∵ b1 ? a1 ? b2 ? a 2 ? ? ? bn ? a n ? 2 1 1? 3 3 1 n ∴ (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? [1 ? ( ) ] 4 3
∴ Tn ?

∴数列 ?bn ? an ?是首项为

n2 3 1 ? [1 ? ( ) n ] 4 4 3

∴ Tn ?

n2 3 1 ? [1 ? ( ) n ] (n ? N * ) 4 4 3

x y | ab | 3 21.解: (1)直线 AB: ? =1,∴ = .① a b 2 a2 ? b2
由 ①

c2 2 6 e= ? 2 ? .② 3 3 a


3 4a 2b 2 ? 3a 2 ? 3b 2 ? 4(a 2 ? c 2 ) ? 3a 2 ? 3(a 2 ? c 2 ) ? 6a 2 ? 3c 2 ? 4a 4 ? 4a 2 c 2 ,○

3 由②○得 a 2 ? 3, c 2 ? 2, b 2 ? 1

∴所求椭圆的方程是

x2 2 +y =1. 3

? y ? kx ? 2 ? (2) ? x 2 ? (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?3
Δ ? 144k ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 36k ? 36 ? 0 ? k ? 1或k ? ?1
2 2 2

设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则有

x1 ? x 2 ?

? 12 k 9 , x1 ? x 2 ? , y1 ? y 2 ? (kx1 ? 2)( kx 2 ? 2) ? k 2 x1 ? x 2 ? 2k ( x1 ? x 2 ) ? 4 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

∵ EC ? ( x1 ED.

? 1, y1 ), ED ? ( x2 ? 1, y2 ) ,且以 CD 为圆心的圆点过点 E,∴EC⊥

则 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 ∴

7 9(1 ? k 2 ) ? 12k ? (2k ? 1) ? 5 ? 0 ,解得 k = >1, 2 2 6 1 ? 3k 1 ? 3k

7 时以 CD 为直径的圆过定点 E. 6 22.解: (1)由题意知, f (x) 的定义域为 (?1,??) ,
∴当 k =

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1 当 x ? [1, 2) 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f / ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3
b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, (2)由题意 f ( x) ? 2 x ? x ?1 x ?1 2 即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, ?? ? 4 ? 8b ? 0 1 2 设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ? ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0
/

(3)对于函数 f ?x? ? x ? ln(x ? 1) ,令函数 h?x? ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln(x ? 1)
2 3 3 2

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 / ? ,?当x ? [0,??)时,h ?x? ? 0 x ?1 x ?1 所以函数 h?x ? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h?x ? ? h(0) ? 0 1 1 1 1 即 x 2 ? x 3 ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ? ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n n 1 1 1 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n
则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?
/ 2


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