2014届上海市闵行区高三二模数学理试题及答案

上海市闵行区 2014 届高三下学期教育质量调研(二模)

数 学 试 卷(理科)

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题

1.

lim
n??

1?

3

? 5 ?L ? (2n 3n2 ? 3n ?1

?1)

?



2.关于方程 2x

1 ? 1 的解为.

3 2x ?3

3.已知全集U

?

R ,集合 r

P

?

? ?

y

?r

|

y

?

1 x

,0

?

x r

?

1?? r?

,则 ?U r

P

=.
r

4.设 x ?R ,向量 a ? (x,1) , b ? (1, ?2) ,且 a ? b ,则| a ? b |? .

5.在 △ABC 中,若 ?A ? 60o , ?B ? 45o, BC ? 3 2 ,则 AC ? .

6.在极坐标系中, ? ? 2? ?1(0 ? ? ? 2? ) 与? = ? 的交点的极坐标为. 2
7.用一平面去截球所得截面的面积为 3? cm2,已知球心到该截面
的距离为 1 cm,则该球的体积是 cm3.

8.复数 z ? a ? bi ( a、b?R ,且 b ? 0 ),若 z2 ? 4bz 是实数,则 有序实数对 (a,b) 可以是.(写出一个有序实数对即可)

9.已知关于 x 的不等式 a x2 ? 3a x ? a ? 2 ? 0 的解集为 R ,则实 数 a 的取值范围.

第 7 题图

10.设摩天轮逆时针方向匀速旋转,24 分钟旋转一周,轮上观光箱所在圆的方程为 x2 ? y2 ? 1.已

知时间 t ? 0 时,观光箱 A 的坐标为 (1 , 3 ) ,则当 0 ? t ? 24 时(单位:分),动点 A 的纵坐标 y 22
关于 t 的函数的单调递减区间是.

11.若不等式 (x ? y)( a ? 4 ) ? 16 对任意正实数 x、y 恒成立,则正实数 a 的最小值为. xy

12.计算机毕业考试分为理论与操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,只有当两 部分考试都“合格”者,才颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率

依次为 4 、2 ,在操作考试中“合格”的概率依次为 1 、5 ,所有考试是否合格,相互之间没有影

53

26

响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后,恰有 1 人获得“合格证书”的概率.

13.已知数列?an? ,对任意的 k ? N* ,当 n ? 3k 时, an ? an ;当 n ? 3k 时, an ? n ,
3

那么该数列中的第 10 个 2 是该数列的第项.

?sin? x, x ??0, 2?

14.对于函数

f

(x)

?

? ?1 ?? 2

f

,有下列
(x ? 2), x ? (2, ??)

4

个命题:

①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f (x1) ? f (x2) ? 2 恒成立;

② f (x) ? 2kf (x ? 2k) (k ? N*) ,对于一切 x ??0,??? 恒成立;

③函数 y ? f (x) ? ln(x ?1) 有 3 个零点;

④对任意

x

?

0 ,不等式

f

(x)

?

k x

恒成立,则实数 k

的取值范围是

?9 ?? 8

,

??

? ??



则其中所有真命题的序号是.

二. 选择题

15.下列命题中,错.误.的是(

).

(A)过平面? 外一点可以作无数条直线与平面? 平行

(B)与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行

(C)若直线 l 垂直平面? 内的两条相交直线,则直线 l 必垂直平面?
(D)垂直于同一个平面的两条直线平行

16.已知集合 A ? {x

x2

?3x ? 2 ? 0}, B

?

? ?

x

?

x?a x?2

?

0, a

? 0?? ,若“ x ? A”是“ x ? B ”的充分 ?

非必要条件,则 a 的取值范围是( ).

(A) 0 ? a ?1(B) a ? 2 (C)1? a ? 2 (D) a ?1

17.若曲线 f (x, y) ? 0 上存在两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线的自公切线,下列方

程的曲线有自公切线的是( ).

(A) x2 ? y ?1 ? 0 (B) x ? 4 ? y2 ?1 ? 0

(C) x2 ? y2 ? x ? x ?1 ? 0 (D) 3x2 ? xy ?1 ? 0

18 . 已 知 等 差 数 列

?an?

的前

n

项和为

Sn

,向量

uuur OP

?

? ??

n,

Sn n

? ??



uuur OP1

?

? ??

m,

Sm m

? ??



? ? uuur
OP2

?

? ??

k

,

Sk k

? ??

n、m、k ?N*

uuur uuur uuur ,且 OP ? ? ?OP1 ? ? ?OP2 ,则用 n、m、k 表

示 ? ? ( ).

(A) k ? m (B) k ? n

k ?n

k ?m

(C) n ? m (D) n ? m

k ?m

n?k

三. 解答题

19.如图,在体积为 3 的正三棱锥 A ? BCD 中,BD 长为

A

2 3 , E 为棱 BC 的中点,求

(1)异面直线 AE 与 CD 所成角的大小(结果用反三角函 B

数值表示);
(2)正三棱锥 A ? BCD 的表面积.

E
y B

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,

分.

如图,点 A、B 是单位圆 O 上的两点,点 C 是圆 O 与 x 轴

O

D
C
第A 19 题图
第(2)小题满分 8 C
x 的正半轴的交

第 20 题图

点,将锐角? 的终边 OA 按逆时针方向旋转 ? 到 OB . 3

(1)若点

A

的坐标为

? ??

3 5

,

4 5

? ??

,求

1? 1?

sin 2? cos 2?

的值;

(2)用? 表示 BC ,并求 BC 的取值范围.

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分.
为了寻找马航 MH370 残骸,我国“雪龙号”科考船于 2014 年 3 月 26 日从港口 O 出发,沿北偏 东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在港口北偏东 ? 角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛 A ,

OA ? 300 13 海里,且 tan? ? 1 , cos? ? 2 .现指挥部需要紧急征调位于港口 O 正东 m 海里的

3

13

B 处的补给船,速往小岛 A 装上补给物资供给科考船.该船沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处

相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的

面积 S 最小时,这种补给方案最优. (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S (m) ;
(2)应征调位于港口正东多少海里处的补给船只,补给方案最优?

Z





·A



O

· B

第 21 题图

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)、(3)小题满分各 6 分.

设椭圆 ?1 的中心和抛物线 ?2 的顶点均为原点 x 3 ?2 4

O , ?1 、 3

y ?2 3 0 ?4 ? 3 2

?2 的焦点均在 x 轴上,过 ?2 的焦点 F 作直线 l ,与 ?2 交于 A、B 两点,在 ?1 、 ?2 上各取两个点,
将其坐标记录于下表中:

(1)求 ?1 , ?2 的标准方程;

(2)若 l 与 ?1 交于 C、D 两点, F0 为 ?1 的左焦点,求

S△F0 AB S△F0CD

的最小值;

( 3 ) 点 P、Q 是 ?1 上 的 两 点 , 且 OP ? OQ , 求 证 :

1 OP

2

?

1 OQ

2

为定值;反之,当

1 OP

2

?

1 OQ 2

为此定值时,

y

A

C

OP ? OQ 是否成立?请说明理由.

F0

F

O

x

B

D

第 22 题图

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分.
已知曲线 C 的方程为 y2 ? 4x ,过原点作斜率为1的直线和曲线 C 相交,另一个交点记为 P1 , 过 P1 作斜率为 2 的直线与曲线 C 相交,另一个交点记为 P2 ,过 P2 作斜率为 4 的直线与曲线 C 相交, 另一个交点记为 P3 ,……,如此下去,一般地,过点 Pn 作斜率为 2n 的直线与曲线 C 相交,另一个 交点记为 Pn?1 ,设点 Pn (xn , yn ) ( n ? N* ). (1)指出 y1 ,并求 yn?1 与 yn 的关系式( n ? N* );
? ? (2)求 y2n?1 ( n ? N* )的通项公式,并指出点列 P1 , P3 ,…, P2n?1 ,… 向哪一点无限接近?

说明理由;

? ? ( 3 )令 an ? y2n?1 ? y2n?1 , 数 列

an

的前

n

项和为

Sn

,设

bn

?

3 4

1 Sn ?1

,求所有可能的乘积

bi ? bj (1 ? i ? j ? n) 的和.

数学试卷(理科)参考答案与评分标准

一. 填空题 1. 1 ; 2.2; 3. ???,1? ; 4. 10 ; 5. 2 3 ; 6.(理) (? ?1, ? ) 、

3

2

7.(理) 32 ? 3

8.?2,1? 或满足 a ? 2b 的任意一对非零实数对;

9.(理)???

?

8 5

,

0???



10.(理)

[2,14] ; 11.4; 12.(理) 23 ; 13.39366( 2 ?39 ) 14.(理)①③ 、. 45
二. 选择题 15. B; 16.A; 17.C; 18. C
三 .解 答题 19.解:(1)过点 A 作 AO ? 平面 BCD ,垂足为 O ,则 O 为 △BCD 的中心,由 A
1 ? 3 ? 22 ? 3? AO= 3 得 AO ? 1(理 1 分文 2 分) 34

又在正三角形 BCD中得 OE=1,所以 AE ? 2
……………………………(理 2 分文 4 分)

B

取 BD中点 F ,连结 AF 、 EF ,故 EF ∥ CD ,

F

E

O

C

D

所以 ?AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角.(理 4 分文 6 分) 第 19 题图

在△ AEF 中, AE ? AF ? 2 , EF ? 3 ,…………………(理 5 分文 8 分)

所以 cos ?AEF ? AE2 ? EF 2 ? AF 2 ? 6 .…………………(理 6 分文 10 分)

2 ? AE ? EF

4

所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小为 arccos 6 .……(理 7 分文 12 分) 4

(2)由 AE ? 2 可得正三棱锥 A ? BCD 的侧面积为

S ? 3? 1 ? BC ? AE ? 3 ? 2 3 ? 2 ? 3 6 …………………(理 10 分)

2

2

所以正三棱锥 A ? BCD 的表面积为

S ? 3 6 ? 3 ? BC 2 ? 3 6 ? 3 3 . …………………………(理 12 分) 4

20.解:(1)由已知, cos? ? 3 ,sin? ? 4 . ………(2 分)

5

5

?sin 2? ? 2sin? cos? ? 24 , cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? ? 7 . ………(4 分)

25

25

1? sin 2? 1? cos 2?

1? 24

=

1?

25 (? 7

)

?

49 18

.………………………………………………(6

分)

25

(2)由单位圆可知: OC ? OB ? 1,?COB ? ? ? ? , ……………………(8 分) 3

由余弦定理得:BC 2 ? OC 2 + OB 2 -2 OC OB cos ?COB

?

1

?

1

?

2

cos

? ??

?

?

? 3

? ??

?

2

?

2

cos

? ??

?

?

? 3

? ??

………………………(10

分)

Q

?

?

? ??

0,? 2

? ??

,??

?

? 3

?

? ??

? 3

,5? 6

? ??

,?cos

????

?

? 3

? ??

?

? ???

?

3 2

,

1 2

? ???

……(12

分)

? ? ? BC 2 ? 1, 2 ?

? 3 ,? BC ????1,

6? 2

2

? ???.

……………………(14

分)

21.(1)以 O 点为原点,正北的方向为 y 轴正方向建立直角坐标系,…(1 分)

则 直 线 OZ 的 方 程 为 y ? 3x , 设 点 A ( x0 , y0 ), 则 x0 ? 300 13 sin ? ? 900 ,

y0 ? 300 13 cos ? ? 600,即 A(900,600),

…………………(3 分)

又 B(m,0),则直线 AB 的方程为: y ? 600 (x ? m) ,…………(4 分) 900 ? m

由此得到 C 点坐标为: ( 200m , 600m ) ,…(6 分)

m ? 700 m ? 700

y

Z



? S (m)

?

1 2

|

OB

|?|

yC

|?

300m2 m ? 700

(m

?

700)

…(8

分)



·A



(2)由(1)知 S(m) ? 300m2 ? 300 …(10 分)

m ? 700

?

700 m2

?

1 m

O

300 ?

300

………(12 分)

?

700 m2

?

1 m

?700( 1 ? 1 )2 ? 1 m 1400 2800

所以当 1 ? 1 ,即 m ?1400 时, S (m) 最小, m 1400

第 21 题图

· B

x

(或令 t ? m ? 700 ,则 S(m) ? 300m2 ? 300(t ? 700)2 ? 300(t ? 7002 ?1400) ? 840000 ,当且

m ? 700

t

t

仅当 m ?1400 时, S (m) 最小)

∴征调 m ?1400 海里处的船只时,补给方案最优.…………………(14 分)

? ? 22.解:(1) ?-2,0?,????

3,-

3 2

? ???

在椭圆上,

3,-2

3 ,?4,-4? 在抛物线上,

? ?1:x42

?

y2 3

? 1,

?2 : y2 ? 4x. …………………(4 分)

(2)(理)

设F0到直线l的距离为d,

S△F0 AB S△F0CD

1 d ? AB =2
1 d CD

?

AB CD

.

2

F(1, 0) 是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线 l 的斜率存在时,

设 l : y ? k(x ?1) , 设 A(x1, y1),B(x2, y2), C(x3, y3),D(x4 , y4)









?y2 ? 4x ?

, 得 k 2x2 ? (2k 2 ? 4)x ? k 2 ? 0 , k ? 0 时 ? ? 0 恒 成

? y ? k(x ?1)

? ? ? ? ? ? 立.

AB ?

1? k 2 ? x2 ? x1 ?2 ?

1? k2

16 ?16k 2

4 1? k2 ?

k4

k2

4?1? k2 ?
(也可用焦半径公式得: AB ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 )………………(5 分)

? x2

联立方程

? ?

4

?

y2 3

? 1 ,得 (3+4k 2 )x2

? 8k 2 x ? 4k 2

?12

?0,?

? 0 恒成立.

?? y ? k(x ?1)

? ? ? ? ? ? CD ?

1? k 2 ? x3 ? ?x4 2 ?

1? k2

144 ?144k 2 (3 ? 4k 2 )2

12 1? k 2 ? 3 ? 4k2

,……(6 分)

4?1? k2 ?

? ? ? S△F0AB =

k2

? 3 ? 4k 2 ? 1 ? 4 ? 4 .………………(8 分)

S△F0CD 12 1? k 2

3k 2 k 2 3 3

3 ? 4k 2

②当直线 l 的斜率不存在时, l : x ?1,

此时, AB ? 4 , CD ? 3 , S△F0AB = 4 .……………………………(9 分) S△F0CD 3

所以, S△F0AB 的最小值为 4 .……………………………(10 分)

S△F0CD

3

(3)(理)证明:①若

P、Q

分别为长轴和短轴的端点,则

1 OP

2

?

1 OQ

2

7
=
12

.(11

分)

②若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点,



OP

:

y

?

kx; 那么OQ

:

y

?

?

1 k

x.

P(x P

,

yP),Q(xQ

,

yQ)

? x2

联立方程

? ?

4

?

y2 3

?? y ? kx

? 1,解得 xP2

?

12 4k 2 ?

3

,

yP2

?

12k 2 ; 4k 2 ? 3

……………(12 分)

? x2

同理,联立方程

?? ?

4

?

y2 3

? ??

y

?

?

1 k

?1
,解得
x

xQ2

?

12k 2 3k 2 ? 4

,

yQ2

?

12 3k 2 ?

4



?

1 OP 2

?

1 OQ 2

?

12 3 ? 4k 2

1

?

12k 2 3 ? 4k

2

?

12k 2 3k 2 ? 4

1

?

12 3k 2 ?

4

7k 2 ? 12k 2

?7 ? 12

?7 12

(13 分)

反之,对于 ?1 上的任意两点 P、Q ,当

1 OP 2

?

1 OQ 2

?7 12

时,

设 OP : y ? k1x , OQ : y ? k2 x ,易得

xP2

?

12 4k12 ? 3 ,

yP2

?

12k12 4k12 ? 3



xQ2

?

12 4k22 ? 3 ,

yQ2

?

12k22 4k22 ? 3





1 OP 2

?

1 OQ 2

?7 12

得 4k12 12k12

?3 ?12

?

4k22 12k22

?3 ?12

?7 12



即 8k12k22

? 7k12

? 7k22

?6

?

7(k12k22

? k12

?

k

2 2

?1) ,亦即 k1k2

?

?1 ,…(15

分)

所以当

1 OP 2

?

1 OQ 2

为定值 7 12

时, OP

? OQ 不成立

……………(16 分)

“反之”的方法二:如果有 OP ? OQ ,且 OQ 不在坐标轴上,作 OQ 关于坐标轴对称的射线与 ?1 交

于 Q' , OQ ? OQ' ,显然, OP ? OQ 与 OP ? OQ' 不可能同时成立

23.解:(1) y1 ? 4 .

…………………………………(16 分) …………………………………………………………(1 分)

?

设 Pn (xn , yn ) , Pn?1(xn?1, yn?1) ,由题意得

? ?? ?

yn2 ? 4xn

y2 n?1

?

4xn?1



…………(2 分)

? ?

yn

?1

?

yn

? 2n

?? xn?1 ? xn

?

yn?1

?

yn

?

4 ? ( 1 )n 2

…………………(4

分)

(2)分别用

2n

?

3



2n

?

2

代换上式中的

n



? ?? ? ? ??

y2n?2 y2n?1

? ?

y2n?3 y2n?2

? ?

4 ? (1)2n?3 2
4 ? ( 1 )2n?2 2

?

y2n?1

?

y2n?3

?

?2? (1)2n?3 = 2

?

(1)n?2 4

(n ? 2)

………………(6 分)



y1

?

4

,?

y2n?1

?

8 3

?

4 3

(1 )n?1(n 4

?

N* )



…………………(8 分)



lim
n???

y2n?1

?

8 3

,所以点列

P1



P3

,…,

P2n?1

,…向点

(16 9

,

8) 3

无限接近(10

分)

(3)(理)Q

an

?

y2n?1

?

y2n?1

?

?(

1 4

)n?1

,?

Sn

?

?

4 3

? ???1?

(1)n 4

? ??



……(11 分)

bn ? 4n , bi ?bj ? 4i? j (1 ? i ? j ? n) .
将所得的积排成如下矩阵:

…………………(12 分)

? 41?1 41?2 41?3 ? ? ? 41?n ?

? ?

42?2

42?3

???

42?n

? ?

A?? ? ?

43?3 ??? 43?n ? ,设矩阵 A 的各项和为 S . ?
??? ??? ?

??

4n?n ??

? 41?1 41?2 41?3 ??? 41?n ?

? ?

42?1

42?2

42?3

???

42?n

? ?

在矩阵的左下方补上相应的数可得 B ? ? 43?1 43?2 43?3 ??? 43?n ?

?

?

?

??? ??? ?

?? 4n?1 4n?2 4n?3

4n?n ??

矩阵 B 中第一行的各数和 s1

? 42

? 43

?L

? 4n?1

? 16 (4n 3

?1) ,

矩阵 B 中第二行的各数和 s2

? 43 ? 44 ?L

? 4n?2

?

64 (4n ?1) , 3

………

矩阵 B 中第 n 行的各数和 sn

? 4n?1 ? 4n?2 ? L

? 4n?n

?

4n?1 (4n ?1) ,………(15 分)从而矩阵 B 中 3

的 所 有 数 之 和 为 s1 ? s2 ?L

?

sn

?

16 9

(4n

?1)2

.

… … … … … … ( 16

分)所有可能的乘积

bi ? bj (1 ? i ? j ? n) 的和

? ? ? ? ? ? s

?

1 2

?16 ?? 9

4n ?1 2 ?

42 ? 44 ?L

? 42n

? ??

?

42 ? 44 ?L

? 42n

? 42n?3 ? 5 ? 4n?2 +16 .………………………………………………(18 分) 45


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