高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2第1课时对数函数的图象及性质课件新人教A版必修18_图文

2.2.2
学习目标

对数函数及其性质

第1课时 对数函数的图象及性质
1. 理解对数函数的概念 (易错点 ).2. 初步掌握对数函 数的图象和性质(重点).

预习教材 P70-P73,完成下面问题: 知识点 1 对数函数的概念

y=logax(a>0,且a≠1) 一般地,把函数 ______________________ 叫做对数函数, x (0,+∞) . 其中______ 是自变量,函数的定义域是 __________

【预习评价】

(正确的打“√”,错误的打“×”) ) ) )

1 (1)函数 y=logx2是对数函数.( (2)函数 y=2log3x 是对数函数.(

(3)函数 y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).(

提示 (2)×

(1)×

对数函数中自变量x在真数的位置上,且x>0,所

以(1)错; 在解析式 y = logax 中, logax 的系数必须是 1 ,所以 (2) 由对数式 y = log3(x + 1) 的真数 x + 1>0 可得 x> - 1 ,所以

错;
(3)× 函数的定义域为(-1,+∞),所以(3)错.

知识点2 对数函数的图象和性质
a>1 0<a<1

图象

a>1
定义域 值域 过定点 (0,+∞) R

0<a<1

(1,0) 过定点 __________ ,即x=1时,y=0 性 y>0 y<0 当0<x<1时,_______ 函数值 当0<x<1时,______ 质 y>0 y<0 当x>1时,_________ 的变化 当x>1时,_________ 在(0,+∞)上是 单调性 ________ 增函数 在(0,+∞)上是 ________ 减函数

【预习评价】 (1)函数f(x)=loga(2x-1)+2的图象恒过定点________. (2)若函数y=log(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,则a的取值 范围是________.

解析

(1)令2x-1=1,得x=1,又f(1)=2,故f(x)的图象恒

过定点(1,2). (2)由题意2a-3>1,得a>2,即a的取值范围是(2,+∞). 答案 (1)(1,2) (2)(2,+∞)

知识点3 反函数 指数函数y=ax(a>0, 对数函数 y = logax(a>0 ,且 a≠1) 与 _____________________ 且a≠1) _____________ 互为反函数.

【预习评价】 设函数 f(x) = 2x 的反函数为 g(x) ,若 g(2x - 3)>0 ,则 x 的取值 范围是________. 解析 易知 f(x) = 2x 的反函数为 y = log2x ,即 g(x) = log2x ,

g(2x-3)=log2(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2.
答案 (2,+∞)

题型一 对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列函数表达式中,是对数函数的有( y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1). A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 )

①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤

(2)若对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则f(8)=________.

解析

(1)由于①中自变量出现在底数上,∴①不是对数函数;

由于②中底数 a∈R 不能保证 a>0,且 a≠1, ∴②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),∴ ⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中 log4x 的系数为 2, ∴⑥也不是对数函数;只有③④符合对数函数的定义. (2)由题意设 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),则 f(4)=loga4=-2,所以 1 a =4,故 a=2,
-2

f(x)=log1 x,所以 f(8)=log1 8=-3.
2 2

答案 (1)B (2)-3

规律方法 判断一个函数是对数函数的方法

【训练 1】

若函数 f(x) =log(a +1)x + (a2 -2a - 8) 是对数函数,

则a=________.

?a2-2a-8=0, ? 解析 由题意可知?a+1>0, ?a+1≠1, ?
答案 4

解得 a=4.

题型二 对数型函数的定义域
1 【例 2】 (1)函数 f(x)= +ln(x+1)的定义域为________. 2-x 1 (2)函数 f(x)= 的定义域为________. log1 ?2x+1?
2

解析

? ?x+1>0 (1) 若 使 函 数 式 有 意 义 需 满 足 条 件 : ? ? ?2-x>0

?

? ?x>-1, ? ? ?x<2

取交集可得:x∈(-1,2),故函数的定义域为(-1,2). 1 解得 x>-2且 x≠0,则 f(x)的定义域

? ?2x+1>0, (2)由题意有? ? ?2x+1≠1, ? 1 ? 为?-2,0?∪(0,+∞). ? ?

答案

(1)(-1,2)

? 1 ? (2)?-2,0?∪(0,+∞) ? ?

规律方法

求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的

原则
(1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

【训练 2】 求下列函数的定义域: 1 (1)f(x)=lg(x-2)+ ; x-3 (2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
? ?x-2>0, (1)要使函数有意义,需满足? ? ?x-3≠0,



解得 x>2 且 x≠3. ∴函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).

?16-4x>0, ? (2)要使函数有意义,需满足?x+1>0, ?x+1≠1, ? 解得-1<x<0 或 0<x<4. ∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,4).

题型三 对数函数的图象问题
【例3】 (1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点( A.(1,2) B.(2,1) )

C.(-2,1)

D.(-1,1)
)

(2)如图,曲线C1,C2,C3,C4分别对应函数y=loga1x,y= loga2x,y=loga3x,y=loga4x的图象,则( A.a4>a3>1>a2>a1>0 B.a3>a4>1>a1>a2>0

C.a2>a1>1>a4>a3>0
D.a1>a2>1>a3>a4>0 (3)作函数y=|log2(x+1)|+2的图象.

解析

(1)令x+2=1,即x=-1,得y=loga1+1=1,故函数y

=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1). (2)作直线y=1,它与各曲线C1,C2,C3,C4的交点的横坐标就

是各对数的底数,由此可判断出各底数的大小必有
a4>a3>1>a2>a1>0. 答案 (1)D (2)A

(3)解 第一步:作y=log2x的图象,如图(1)所示.

第二步:将 y=log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度,得 y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示. 第三步:将 y=log2(1+x)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴 的对称变换,得 y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.

第四步:将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度,
即得到所求的函数图象,如图(4)所示.

规律方法 1.对数函数图象过定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需 令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).

2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线 y = 1 与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底 数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数 的底数逐渐变大,可比较底数的大小.

3.函数图象的变换规律:

(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数
y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.

【训练3】

已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在 )

同一坐标系中的图象可能是(

解析

∵函数y=ax与y=logax互为反函数,∴它们的图象关于

直线y=x对称.再由函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象
过(1,0),观察图象知,只有C正确. 答案 C

课堂达标
1.下列函数是对数函数的是(
A.y=loga(2x) C.y=log2x+1 解析

)
B.y=log22x D.y=lg x

选项 A , B , C 中的函数都不具有“ y = logax(a > 0 且

a≠1)”的形式,只有D选项符合.

答案 D

2.函数 f(x)= 3-x+lg(x+1)的定义域为( A.[-1,3) C.(-1,3]
解析

)

B.(-1,3) D.[ -1,3]
解得-1<x≤3,∴f(x)的定

? ?3-x≥0, 根据题意,得? ? ?x+1>0,

义域为(-1,3].

答案 C

3 . 若 函 数 f(x) = ax - 1 的 反 函 数 的 图 象 过 点 (4,2) , 则 a = ________. 解析 ∵ f(x) 的反函数图象过 (4,2) ,∴ f(x) 的图象过 (2,4) , ∴a2-1=4,∴a=4. 答案 4

4.函数 f(x)=

1 的定义域为________. log1 x+1
2

解析 要使函数 f(x)有意义,则log1 x+1>0,即log1 x>-1,
2 2

解得 0<x<2,即函数 f(x)的定义域为(0,2).

答案 (0,2)

5.已知f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; (2)当0<a<2时,利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值.

解 (1)作出函数y=log3x的图象如图所示.

(2)令f(x)=f(2),即log3x=log32,解得x=2.由如图所示的图 象知:当 0<a<2 时,恒有 f(a)<f(2) .故当 0<a<2 时,不存在 满足f(a)>f(2)的a值.

课堂小结
1.判断一个函数是不是对数函数,关键是分析所给函数是否 具有y=logax(a>0,且a≠1)这种形式. 2.在对数函数y=logax中,底数a对其图象直接产生影响,学 会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分 析.


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