2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第2课时)word教案

2019-2020 年高中数学北师大版选修 2-2 第 3 章《导数的实际应用》
(第 2 课时)word 教案
一、教学目标: 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问 题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程: (一).创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常 称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力 工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. (二).新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题, 主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立 适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境, 即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案, 使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:

建立数学模型
优化问题

优化问题的答案

作答

用函数表示的数学问题
解决数学模型
用导数解决数学问题

(三).典例分析

例 1、海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张

如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,

左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?

解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为 128 dm,此时四周空白面积为 x

S( x)? (x? 41)2( 8? ?2 ) ?1 2 ?8x 521?2 ?x 。8 , 0

x

x

求导数,得

S

'

(

x)

?

2

?

512 x2





S

' ( x)

?

2

?

512 x2

?

0

,解得

x

?

16(x

?

?16

舍去)。

于是宽为 128 ? 128 ? 8 。 x 16

当 x ?(0,16) 时, S ' (x) <0;当 x ?(16, ??) 时, S ' (x) >0.

因此,x ?16 是函数 S(x) 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,
宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 例 2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本

是 0.8? r2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料, 制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子的 半径多大时,每瓶的利润最小?

解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是

y

?

f

?r ? ? 0.2? 4 ? r3
3

? 0.8? r2

? 0.8?

? r3

? ?

3

?

r

2

? ?

,

0

?

?

r

?6

令 f ??r? ? 0.8? (r2 ? 2r) ? 0 解得 r ? 2 ( r ? 0 舍去)

当 r ??0 , 2? 时, f ??r? ? 0 ;当 r ??2 , 6? 时, f ??r? ? 0 .

当半径 r ? 2 时, f ??r? ? 0 它表示 f ?r ?单调递增,即半径越大,利润越高;

当半径 r ? 2 时, f ??r? ? 0 它表示 f ?r ?单调递减,即半径越大,利润越低.

(1)半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ?2? ? 0,表示此种瓶内饮料的利

润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. (2)半径为 6 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什
么发现?

有图像知:当 r ? 3时, f ?3? ? 0 ,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与

饮料瓶的成本恰好相等;当 r ? 3时,利润才为正值.

当 r ??0 , 2? 时, f ??r? ? 0 , f ?r ?为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小

于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小. (四).课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器
的底面的一边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最

大容积.(高为 1.2 m,最大容积1.8m3 )

2.课本 P65 练习题

(五).回顾总结:1.利用导数解决优化问题的基本思路:

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

作答

解决数学模型
用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学

模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过 程中,导数往往是一个有利的工具。
(六).布置作业:1、一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断 面尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小, 这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高 h 和下底边长 b.

解:由梯形面积公式,得 S= 1 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= 3 h,BC=b

2

3

∴AD= 2 3 h+b, ∴S= 1 ( 2 3 h ? 2b)h ? ( 3 h ? b)h



3

23

3

∵CD= h ? 2 h ,AB=CD.∴l= 2 h ×2+b ②

cos30? 3

3

由①得 b= S ? 3 h,代入②,∴l= 4 3 h ? S ? 3 h ? 3h ? S

h3

3 h3

h

l′=

3

?

S h2

=0,∴h= S 43

,

当 h< S 43

时,l′<0,h> S 43

时,l′>0.

∴h= S 时,l 取最小值,此时 b= 24 3 S

43

3

2、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在

x 轴上方的曲线上,求这种矩形中面积最大者的边长.

【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),且 x >0,y >0,

则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y),在 x 轴上的两个顶点为(-x,0)、

(x,0),其中 0< x <2.设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x2),0< x <2.由

S′(x)=8-6 x2=0,得 x = 2 3 ,易知 x = 4 是 S 在(0,2)上的极值点,

3

3

即是最大值点,

所以这种矩形中面积最大者的边长为 2 3 和 8 .

3

3

【点评】应用题求解,要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条

件.应用题的分析中如确定有最小值,且极小值唯一,即可确定极小值就是最小

值.

五、教后反思:


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