2016_2017学年云南省云天化中学高二数学上学期期末测试习题理

云天化中学 2016—2017 学年上学期期末考试试卷

高 二 数学(理)

说明: 1.时间:120 分钟; 分值:150 分;

2. 本卷分Ⅰ、Ⅱ卷,请将答案作答在答题卡上,在试卷上作答无效.

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意.)

1. 高二某班共有学生 56 人,座号分别为 1,2,3,…,56,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个

容量为 4 的样本.已知 4 号、18 号、46 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是( )

A.30

B.31

C.32

D.33

2. 设 x, y ? R, 则“ x ≥1 且 y ≥1”是“ x2 ? y2 ≥ 2 ”的( )

A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

3.设 Sn 是等差数列 ?an?的前 n 项和, a2 ? a3 ? a4 ? 3 ,则 S5 为( )

A.5

B.7 C.9

D.11

4. 在区间 ?0,1?上随机取两个数 x, y ,则事件“ x ? y ≤ 2 ”的概率是(
3

A. 1 2

B. 2 3

C. 4 9


D. 2 9

5.如果执行如图的程序框图,那么输出的 S=( )

A.22

B.46

C.94

D.190

6.如上图是一名篮球运动员在最近 5 场比赛中所得分数的茎叶图,若该运动员在这 5 场比赛中的得 分的中位数为 12,则该运动员这 5 场比赛得分的平均数不可能为( )

A. 68 5

B. 69 5

C.14

D. 71 5

7.已知 F1,F2 是椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭 圆 C 上的一点,且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2

的面积为 9,则 b=( )

A.3 B.6 C.3 3 D.2 3

8.直线 x ? y ? 3 ? 0 被圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截得的弦长等于( )

A. 2 3

B. 6

C. 3

D. 6 2

?x ? 4y ? 3 ? 0

9.已知变量 x, y 满足 ??x ? 1

,则 x ? y 的取值范围是( )

??x ? y ? 4 ? 0

A.[?2, 6] 5

B.[?2,0]

C. [0, 6] 5

D.[?2,-1]

10. 如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )

A. 8
C. 4 2

B. 4
D. 4 3

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : x ? y ? a ? 0 与点 A(0,2) ,若直线 l 上 存在点 M 满足

MA2 ? MO 2 ? 10( O 为坐标原点),则实数 a 的取值范围是( )

? ? A. ? 5 ?1 , 5 ?1

B. [? 5 ?1 , 5 ?1]

? ? C. ? 2 2 ?1 ,2 2 ?1

D. [?2 2 ? 1 , 2 2 ? 1]

12. 若以 F1(?3,0),F2(3,0) 为焦点的双曲线与直线 y ? x ?1有公共点,则该双曲线的离心率的最小
值为( )

A. 6 2

B. 3 5 5
第Ⅱ卷 客观题(共 90 分)

C. 3 2

D. 3

二、填空题(每小题 5 分,4 小题共 20 分)

13.在 ?ABC中, A ? 75? , C ? 60? , c ? 1,则边 b 的长为



14.已知双曲线 x2 ? y 2 ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点 (2, 3) ,且双曲线的一个焦点为 F (? 7,0) ,
a2 b2

则双曲线的方程为



15.某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期中考试的数学

成绩(均为整数)分成六段: [40,50),[50,60),…,[90,100]后得

到频率分布直方图(如右图所示),则分数在[70,80)内的人数是



16.椭 圆 x2 a2

?

y2 5

? 1( a 为定值,且 a

?

5 )的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆交于 A, B 两点,?FAB

的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率为_____.

三、解答题(第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤)
17.已知命题 p : x2 ? 4x ? 5 ? 0 ,命题 q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0 ( m ? 0 ). (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 5 , p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 x 的取值范围.

18.某产品的三个质量指标分别为 x, y, z ,用综合指标 s ? x ? y ? z 评价该产品的等级,若 s ? 4 ,则

该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下:

产品编号 质量指标 ( x, y, z )

A1

A2

A3

A4

A5

(1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)

产品编号 质量 指标 ( x, y, z )

A6

A7

A8

(1,2,2) (2,1,1) (2,2,1)

A9

A10

(1,1,1) (2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品,

①用产品编号列出所有可能的结果;

②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”.

求事件 B 发生的概率.

19.

已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,且点 ????1,

3 2

????

在椭圆

C

上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)斜率为 1 的直线 l 过椭圆的右焦点,交椭圆于 A, B 两点,求 | AB | .

20.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对应的边长分别是 a,b, c, 且 2cosC(a cos B ? bcos A) ? c . ( 1)求角 C ; (2)若 c ? 7 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 ?ABC 的周长.
2

21. 设数列?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? (n ? 2)an ?1(n ? N * ) .

(1) 求 a1 的值,并用 an?1 表示 an ;
(2) 求数列?an ?的通项公式;

(3)

设 Tn

?

1 a1a3

?

1 a2 a 4

?

1 a3a5

???

1 an an ? 2

,求证: Tn

?

5. 3

22.已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O ,离心率等于 3 ,以椭圆 E 的长轴和短轴为对角
2 线的四边形的周长为 4 5 ,直线 l : y ? kx ? m 与 y 轴交于点 P ,与椭圆 E 交于 A、B 两个相异点,且 AP ? ? PB . (1) 求椭圆 E 的方程; (2)是否存在 m ,使 OA ? ?OB ? 4OP ?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

云天化中学 2016—2017 学年上学期期末考试试卷

高 二 数学(理)(参考答案)

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

C

B

A

D

C

D

A

B

A

C

D

B

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13. 6 3

14. x2 ? y2 ? 1 43

15. 30

16. 2 3

三、解答题(其中第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分)

17.(1)对于 p : A ? ??1,5? ,对于 q : B ? ?1? m,1? m?,

由已知,

A

?

B

,∴

?1 ??1

? ?

m m

? ?

?1, ∴ 5,

m

?[4,

??)

.…………5



(2)若 p 真: ?1 ? x ? 5 ,若 q 真: ?4 ? x ? 6 .…………6 分

由已知, p 、 q 一真一 假.

①若

p



q

假,则

??1 ? x ? 5, ??x ? ?4或x

?

6,

无解;…………8



②若

p



q

真,则

?x ? ?1或x ? ???4 ? x ? 6,

5,



x

?[?4,

?1)

(5, 6].…………10 分

18. 解:(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表:

产品编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

S

446345453 5

其中

S≤4

的有

A1,A2,A4,A5,A7,A9,共

6

件,故该样

6 本的一等品率为10=0.6.

从而可估计该批产品的一等品率为 0.6.

(2) ①在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,

A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种.

②在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有

可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7}, 共 6 种.

所以 P(B)=165=25.

19.解:(1)椭圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1.…………6 分 4

(2)| AB |? 8 5

20.解:(1) 2cosC ?a cos B ? b cos A? ? c 由正弦定理得: 2cosC ?sin A? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2cosC ? sin ? A ? B? ? sin C ,∵ A ? B ? C ? π , A、B 、C ??0,π? ,



sin ?

A

?

B?

?

sin C

?

0



2cosC

?1,

cos C

?

1 2

∵C ,

? ? 0 ,π ?

,∴ C

?

π 3

…………6



(2)由余弦定理得: c2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? cosC , 7 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 1 ?a ? b?2 ? 3ab ? 7
2,

S ? 1 ab ? sin C ? 2

3 4

ab

?

33 2

∴ ,

ab

?

6

,∴

?a

?

b?2

? 18

?

7



a

?

b

?

5

∴ △ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 …………12 分

21.(1)由 2S1 ? (1 ? 2)a1 ?1 ? 2a1 ,得 a1 ? 1 ………………1 分

当n

?

2时, an

?

Sn

?

S n?1

?

(n

?

2)an 2

?1 ?

(n ? 1)an?1 2

?1

? nan ? (n ?1)an?1

(

n

?

2),即 an

?

n ?1 n an?1

( n ? 2 ).………………5 分

(2) 由(Ⅰ),得

a2

?

3 2

a1 ,

a3

?

4 3

a2 , a4

?

5 4

a3 ,

an

?

n

? n

1

an?1



将以上 (n ?1) 个式子相乘,得 an

?

n

? 2

1

a1

.而

a1

? 1 ,故 an

?

n ?1 . 2

………………8 分

(3) ∵ 1 ?

4

? 2( 1 ? 1 ) ………………9 分

anan?2 (n ?1)(n ? 3)

n?1 n?3

Tn

?

2[(1 2

?

1) ? (1 43

?

1) ? (1 54

?

1) ??? ( 1 ?

6

n ?1

1 )] ? n?3

2( 1 2

?1? 3

1 n?2

?

1 ) .………11 分 n?3

? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ………12 分 3 n?2 n?3 3

22.

解:(Ⅰ)根据已知设椭圆

E

的方程为

y a

2 2

?

x2 b2

? 1?a ? b ?

0? ,焦距为 2c ,由已知得 c
a

?

3, 2

∴ c ? 3 a,b2 ? a2 ? c2 ? a2 .…………………………3 分

2

4

∵以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5 ,∴

4 a2 ? b2 ? 2 5a ? 4 5,? a ? 2,b ? 1.∴椭圆 E 的方程为 x2 ? y2 ? 1.…………5 分 4
? ? (Ⅱ)根据已知得 P ?0, m? ,由 AP ? ? PB ,得 OP ? OA ? ? OB ? OP .
∴ OA ? ?OB ? ?1? ??OP .∵ OA ? ?OB ? 4OP ,∴ ?1? ??OP=4OP ,若 m ? 0,由椭圆的对称

性得 AP ? PB ,即 OA ? OB ? 0 .…………………………7 分

∴ m ? 0能使 OA ? ?OB ? 4OP 成立.

若 m ? 0,则1? ? ? 4 ,解得 ? ? 3.

? ? 设

A? x1, kx1

?

m?, B? x2 ,kx2

?

m?

,由

?y ?

? ?

4

x

2

kx ? ? y2

m ?

4

?

0



k2 ? 4

x2 ? 2mkx ? m2 ? 4 ? 0 ,由

? ? ? ? 已知得 ? ? 4m2k2 ? 4 k2 ? 4 m2 ? 4 ? 0 ,即 k2 ? m2 ? 4 ? 0 .且

x1

?

x2

?

?2km

k2

?

, 4

x1 x2

?

m2 ? 4 .…10 分 k2 ? 4

由 AP ? 3PB 得 ? x1 ? 3x2 ,即 x1 ? ?3x2 .∴ 3? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ? 0 ,

? ? ? ? ∴

12k 2m2 k2 ? 4 2

?

4

m2 ? 4 k2 ? 4

? 0 ,即 m2k 2 ? m2 ? k 2 ? 4 ? 0 .当 m2 ? 1 时,

m2k 2

?

m2

?

k2

?

4

?

0 不成立.∴ k 2

?

4? m2

m2 ?1

,∵ k 2

? m2

?4?

0 ,∴

4? m2

m2 ?1

?

m2

?

4

?

0 ,即

? ? 4 ? m2 m2 m2 ? 1 ? 0 .∴1 ? m2 ? 4 ,解得 ?2 ? m ? ?1或1 ? m ? 2 .

综上述,当 ?2 ? m ? ?1或 m ? 0或1 ? m ? 2 时, OA ? ?OB ? 4OP .…………12 分


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