高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:感悟导数的运算法则问题

感悟导数的运算法则问题 熟练掌握导数的运算是学好导数的前提,也是近年高考考查的一个方面,这部分 主要考查公式的运用和运算法则以及综合应用。 一、求导公式以及导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数: (1) y ? x sin x ? x ; (2) y ? ln x ? 2x ; x ?1 分析:仔细观察和分析所给函数表达式的结构规律,紧扣求导运算法则,联系基 本函数的求导公式可以迅速解决一类简单函数的求导问题。若不直接具备求导法 则条件,可先进行适当的恒等变形。 解析: (1) y / ? ( x sin x)/ ? ( x )/ ? sin x ? x cos x ? 1 2 x 。 1 ( x ? 1) ? ln x ln x ) / ? (2 x ) / ? x ? 2 x ln 2 (2) y / ? ( x ?1 ( x ? 1) 2 1 ? ln x x ? ? 2 x ln 2 。 2 ( x ? 1) 1? 评注:运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数的基本步骤如下: (1)分析函数 y ? f ( x) 的结构和特征; (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导; (3)整理得结果。 二、导数运算在解析几何中的应用 例2 在抛物线 y ? x2 ? x ?1 上取横坐标分别为 x1 ? 1 与 x2 ? 3 的两点,过这两点引 割线,在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线? 分析:要求平行于所引割线的切线,则切线的斜率应与所引割线的斜率相等。 解析:将 x1 ? 1 与 x2 ? 3 代入抛物线方程,得 y1 ? 1 y2 ? 11 , 则所引割线的斜率与切线斜率均为 k ? 设符合题意的切点坐标为 ( x0 , y0 ) , ∵ y / ? 2 x ? 1,∴ 2 x0 ? 1 ? 5 , y2 ? y1 11 ? 1 ? =5。 3 ?1 x2 ? x1 ∴ x0 ? 2 ,代入抛物线方程得 y0 ? 5 , 故在抛物线上过点 (2,5) 处的切线平行于所引的割线。 评注:导数不仅有求斜率的功能,而且还有求点的坐标的功能。 三、导数计算的创新应用 例3 求满足下列条件的函数 f ( x) 。 (1) f ( x) 是三次函数,且 f (0) ? 3 , f / (0) ? 0 , f / (1) ? ?3 , f / (2) ? 0 ; (2) f / ( x) 是一次函数, x2 f / ( x) ? (2x ?1) f ( x) ? 1 。 分析: (1)可设三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ) ,由条件确定 a 、 b 、 c 、 d; (2)由 f / ( x) 是一次函数,可设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) ,然后利用条件确 定 f ( x) 。 解析: (1)设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ) , 则 f / ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , 由 f (0) ? 3 得 d ? 3 , 由 f / (0) ? 0 得 c ? 0 , ?3a ? 2b ? ?3 由 f / (1) ? ?3 , f / (2) ? 0 可建立方程组 ? , ?12a ? 4b ? 0 ?a ? 1 解得 ? ,∴ f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3 。 ?b ? ?3 (2)由 f / ( x) 是一次函数可知 f ( x) 为二次函数,设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) , 则 f / ( x) ? 2ax ? b 。 把 f ( x) 、 f / ( x) 代入方程得 x2 (2ax ? b) ? (2x ?1)(ax2 ? bx ? c) ? 1, 即 (a ? b) x2 ? (b ? 2c) x ? c ?1 ? 0 。 要使对任意 x 方程都成立,则需 a ? b , b ? 2c , c ? 1 , 解得 a ? 2 , b ? 2 , c ? 1 , ∴ f ( x) ? 2x2 ? 2x ? 1 。 评注:注意(2)用待定系数法确定二次函数的系数,认真体会所用的方法。 例4 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 (1,1) ,且在点 (2, ?1) 处与直线 y ? x ? 3 相 切,求 a 、 b 、 c 的值。 分析:该例涉及三个未知量,已知中有三个独立条件,因此,要通过解方程组来 确定 a 、 b 、 c 的值。 解析:∵ y ? ax2 ? bx ? c 过点 (1,1) ,∴ a ? b ? c ? 1 。 ∵ y / ? 2ax ? b ,∴曲线过点 (2, ?1) 的切线的斜率为 4a ? b ? 1 。 又∵曲线过点 (2, ?1) ,∴ 4a ? 2b ? c ? ?1 。 ?a ? b ? c ? 1 ?a ? 3 ? ? 由 ? 4a ? b ? 1 解得 ?b ? ?11 , ? 4a ? 2b ? c ? ?1 ?c ? 9 ? ? 故 a 、 b 、 c 的值依次为 3、 ?11、9。 评注:该例主要考查了导数的几何意义、导数的运算法则及运算能力。

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