高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:导数几何意义的应用分类解析

导数几何意义的应用分类解析 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, y0)处的 切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成为函数知识与解 析几何知识交汇的一个重要载体.因此,用导数解决与切线有关的问题将是高考命 题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析. 一、切线的夹角问题 例 1 已知抛物线 y=x2﹣4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点,过 A、B 两点的 切线分别为 l1 和 l2.(1)求直线 l1 与 l2 的夹角. 解析:由方程组? ? ? ? ? 2 y=x ﹣4 ,解得 A(-2,0),B(3,5), y=x+2 由 y?=2x,则 y?|x=-2=﹣4,y?|x=3=6,设两直线的夹角为 θ, 根据两直线的夹角公式,tanθ=| -4-6 10 10 |= ,所以 θ=arctan . 1+(-4)×6 23 23 点拨:解答此类问题分两步:第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线 的斜率;第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝 对值符号). 二、两条曲线的公切线问题 例 2 已知抛物线 C1:y=x2+2x 和 C2:y=-x2+a.如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,称直线 l 是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切 线段.(1)a 取什么值时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(2) 若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. 解析:(1)函数 y=x2+2x 的导数 y?=2x+2,曲线 C1 在点 P(x1,x2 1+2x1)处的 切线方程是 y-(x2 +2x1)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x2 …①, 1 1 函数 y=-x2+a 的导数 y?=-2x,曲线 C2 在点 Q(x2,-x2 2+a)处的切线方程 是 2 y-(-x2 2+a)=-2x2(x-x2),即 y=-2x2x+x2+a,…② 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线,则①式和②式都是直线 l 的方程, ? x1+1=-x2 ? 所以? -x2=x2+a,消去 x2 得方程 2x2 1+2x1+1+a=0. ? ? 1 2 1 1 当判别式△=4-4×2(1+a)=0 时,即 a=- 时,解得 x1=- ,此时点 P 和 2 2 Q 重合, 1 即当 a=- 时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线,由①得公切线的方程为 y=x 2 1 - . 4 (Ⅱ)证明:略 点拨:解答此类问题分三步:第一步分别在两条曲线设出切点,并求出切线 方程;第二步根据两个切线方程表示同切线,利用直线重合的条件建立一个二次 方程;第三步根据切线的唯一性,结合判别式为零求出结果. 三、切线逆向运算问题 例 3 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x+b 的图象与函数 g(x)=x2+bx+c 的 图象相切.求 b 与 c 的关系式(用 c 表示 b); 解析:(1)依题意,令 f?(x)=g?(x),得 2x+b=1,故 x= 1-b , 2 由于 f( 1-b 1-b )=g( ),得(b+1)2=4c,∵b>-1,c>0,∴b=-1+ 2c. 2 2 例 4 曲线 y=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与 x 轴、直线 x=a 所围成的三角 1 形的面积为 ,则 a=__________________. 6 解析:y′=3x ,切线斜率为 3a ,方程为 y-a =3a (x-a) , 2 1 3 2 1 当 y=0 时,x= a,当 x=a 时,y=a3,则 · |a |· |a- a|= ,解得 a=±1. 3 2 3 6 点拨:上面两题通过求导,利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对 应的切线方程,建立等式或不等式,进而解决参数问题. 四﹑其它综合问题 2 2 3 2 例 5 已知函数 f(x)=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项 xn=1,以后各项按如 下方式取定:曲线 x=f(x)在(xn+1,f (xn+1))处的切线与经过(0,0)和(xn,f (xn)) 1 2 两点的直线平行(如图)求证:当 n∈N*时,(Ⅰ)x2 (Ⅱ)( )n n+xn=3xn+1+2xn+1; 2 -1 1 ≤xn≤( )n?2. 2 证明: (I)因为 f?(x)=3x2+2x 所以曲线 y=f(x)在(xn+1,f (xn+1))处的切线 斜率 kn+1=3x2 n+1+2xn+1, 2 因为过(0,0)和 (xn,f (xn)) 两点的直线斜率是 x2 所以 x2 n+xn, n+xn=3xn+1+2xn+1. (II)因为函数 h(x)=x2+x 当 x>0 时单调递增, 2 2 2 而 x2 n+xn=3xn+1+2xn+1≤4xn+1+2xn+1=(2xn+1) +2xn+1, 所以 xn≤2xn+1,即 xn+1 1 xn xn?1 x2 1 ≥ 因此 xn= · ·…· ≥( )n?1, xn 2 xn?1 xn?2 x1 2 yn+1 1 ≤ , yn 2 2 2 又因为 x2 n+xn≥2(xn+1+xn+1) ,令 yn=xn+xn,则 1 n?1 1 因为 y1=x2 · y1=( )n?2, 1+x1=2,所以 yn≤( ) 2 2 1 n?2 1 1 因此 xn≤x2 ,故( )n?1≤xn≤( )n?2.. n+xn≤( ) 2 2 2 点拨:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的 证明,同时考查逻辑推理能力.上述解法通过利用利用导数的几何意义求出切线的 斜率建立数列递推公式,为第二小题的解答提供了条件. 跟踪练习 1 1、 已知曲线 C1:y=x2-2x+2 和曲线 C2:y=x3-3x2+ x+5 有一个公

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