山东省枣庄市2015届高考数学模拟试卷(理科)(4月份)

山东省枣庄市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则 i A.1 B . ﹣2
2 2015

=() C. i D.﹣i

2. (5 分)已知集合 A={y|y=﹣x +1,x∈R},B={y|y=log2x},则 A∩B=() A.(﹣∞,1] B. R C. ? D.[1,+∞) 3. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈[﹣1,0)时,f(x)=x+3,则 f( ) =() A.﹣ B. ﹣ C. ﹣ D.﹣2

4. (5 分) 为考察某种药物预防疾病的效果, 对 100 只某种动物进行试验, 得到如下的列联表: [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 患者 未患者 合计 服用药 10 40 50[来源:Z#xx#k.Com] 没服用药 20 30 50 合计 30 70 100 经计算,统计量 K 的观测值 k≈4.762,则在犯错误的概率不超过()的前提下认为药物有效, 2 已知独立性检验中统计量 K 的临界值参考表为: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.00 5 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.0.005 B.0.05 C.0.010 D.0.025
2

5. (5 分)人们常说“无功不受禄”,这句话表明“受禄”是“有功”的() A.充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()

A.

B.
2

C.

D.

7. (5 分)若随机变量 X~N(μ,σ ) (σ>0) ,则下列如下结论: P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0 .6826, P(μ﹣ 2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P( μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974, 某班有 48 名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为 80,标准差为 10,理论上 说在 80 分到 90 分的人数均为() A.32 B.16 C. 8 D.24 8. (5 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为()

A.4

B. 5

C.

7

D. 9

9. (5 分)已知 max{a,b}=

设实数 x,y 满足

则 max{2x+3y﹣1,

x+2y+2}的取值范围是() A.[2,9] B.[﹣1,9]

C.[﹣1,8]

D.[2,8]

10. (5 分)已知定义域为(0,+∞)的单调函数 f(x)满足:?x∈(0,+∞) ,f(f(x)﹣log2x) =3,则函数 g(x)=f(x)﹣sin2πx﹣2 的零点的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知向量 =(1,0) , =(0,1) ,若向量( + )⊥(λ ﹣ ) ,则实数 λ 的值 为.[来源:学科网] 12. (5 分)已知函数 y= 的定义域为 R,值域为[0,+∞) ,则实数 a 的取值集合为.

13. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2) +y =1 相交,

2

2

则双曲线 C 离心率的取值范围是. 14. (5 分)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将其随机地摆 成一排,则同一科目的书均不相邻的摆法有种. (用数字作答) 15. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 4sin c=2,则△ ABC 的面积的最大值为.
2

﹣cos2C= ,且

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,π<φ<2π)为奇函数,且图象上相邻的 一个最高点和一个最低点之间的距离为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f(α)= ,α 为第二象限角,求 tan(α﹣ )的值. .

17. (12 分)已知甲、乙二人决定各购置一辆纯电动汽车,甲从 A、B、C 三类车型中挑选, 乙只从 B、C 两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表: 车型 概率 人 AA BB CC 甲 乙 / p1 p2

若甲、乙两人都选 C 类车型的概率为 . (1)求 p1、p2 的值; (2)该市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:[来源:学科网 ZXXK] 车型 A B C 补贴金额(万元) 1 2 3 记甲、乙两人购买所获得的财政补贴(单位:万元)的和为 X,求 X 的数学期望 E(X) . 18. (12 分)已知数列{an+1+an}的前 n 项和 Sn=2 (1)求数列{an+1+an}的通项公式; (2)求数列{an}的通项公式.
n+1

﹣2,a1=0.

19. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, ∠ABC=∠ADC=90°, CB=CD=1, ∠BCD=120°,E 为线段 BP 的靠近点 B 的一个四等分点,AE⊥PC. (1)求棱 PA 的长; (2)求平面 PCB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值.

20. (13 分)已知函数 f(x)=



(1)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线平行于 x 轴,求 x0 的值; (2)若函数 f(x)在区间( (3)当 x∈[0, π, π) (a>0)上的增函数,求实数 a 的取值范围;

]时,不等式 f(x)≤bx 恒成立,求实数 b 的取值范围.

21. (14 分)已知椭圆 C:
2

+

=1(a>b >0)的左、右焦点 F1、F2 与双曲线 4x ﹣ y =1

2

2

的两焦点重合,抛物线 x =2py 上的点( ,1)处的切线经过椭圆 C 的下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 F1 的两动直线 l 与 m 互相垂直,直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,直线 m 交椭 圆 C 于 D 、E 两点,问是否存在实常数 λ,使得| |+| |=λ| |?| |恒成立?若存在,请求出

λ 的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,求四边形 ADBE 的面积 S 的取值范围.

山东省枣庄市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 2015 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则 i =() A.1 B . ﹣2 C. i D.﹣i 考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 数系的扩充和复数. 4 分析: 利用复数 i =1 及其运算法则即可得出. 4 解答: 解:∵i =1, 2015 4 503 3 ∴i =(i ) ?i =﹣i. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的周期性、运算法则,考查了计算能力,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 A={y|y=﹣x +1,x∈R},B={y|y=log2x},则 A∩B=() A.(﹣∞,1] B. R C. ? D.[1,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据条件求出集合的等价条件即可得到结论. 2 解答: 解:A={y|y=﹣x +1,x∈R}={y|y≤1},B={y|y=log2x}=R, 则 A∩B={y|y≤1}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 3. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈[﹣1,0)时,f(x)=x+3,则 f( ) =() A.﹣ B. ﹣ C. ﹣ D.﹣2
2

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 直接利用函数的奇偶性,结合函数的解析式求解函数值即可. 解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,1]时,f(x)=x+3 , )=﹣ .

则 f( )=﹣f(﹣ )=﹣(﹣ 故选:C.

点评: 本题考查函数的值的求法函数奇偶性的应用,考查计算能力. 4. (5 分) 为考察某种药物预防疾病的效果, 对 100 只某种动物进行试验, 得到如下的列联表: 患者 未患者 合计 服用药 10 40 50 没服用药 20 30 50 合计 30 70 100 经计算,统计量 K 的观测值 k≈4.762,则在犯错误的概率不超过()的前提下认为药物有效, 2 已知独立性检验中统计量 K 的临界值参考表为: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.0.005 B.0.05 C.0.010 D.0.025
2

考点: 独立性检验. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 题目的条件中已经给出这组数据的观测值,我们只要把所给的观测值同节选的观测 值表进行比较,发现它大于 3.841,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为药物有效. 2 解答: 解:由题意算得,k =4.762>3.841,参照附表,可得 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为药物有效. 故选 B. 点评: 本题考查独立性检验的应用,本题有创新的地方就是给出了观测值,只要进行比较 就可以,是一个基础题. 5. (5 分)人们常说“无功不受禄”,这句话表明“受禄”是“有功”的() A.充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:根据充分条件和必要条件的定义可知,而付出不一定要有所得(不求回报那种) , 没有付出就一定不能有这样的所得意思就是要有付出之后才能有相应的所得, 所以“有功”是“受禄”的前提条件, 故“受禄”是“有功”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分,再根据俯视图与左视图的数据可求得底面 扇形的圆心角为 120°,又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2,把数据代入圆锥的 体积公式计算. 解答: 解:由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图与左视图可得:底面扇形的圆心 角为 120°, 又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2, ∴几何体的体积 V= × ×π×2 ×4=
2



故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,解答的关键是判断几何体 的形状及三视图的 数据所对应的几何量.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 7. (5 分)若随机变量 X~N(μ,σ ) (σ>0) ,则下列如下结论: P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974, 某班有 48 名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为 80,标准差为 10,理论上 说在 80 分到 90 分的人数均为() A.32 B.16 C. 8 D.24 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 正态总体的取值关于 x=80 对称,位于 70 分到 90 分之间的概率是 0.6826,位于 80 分到 90 分之间的概率是位于 70 分到 90 分之间的概率的一半,得到要求的结果. 2 解答: 解:∵数学成绩近似地服从正态分布 N(80,10 ) ,[来源:学+科+网] P(|x﹣u|<σ)=0.6826, ∴P(|x﹣80|<10)=0.6826, 根据正态曲线的对称性知: 位于 80 分到 90 分之间的概率是位于 70 分到 90 分之间的概率的一半
2

∴理论上说在 80 分到 90 分的人数是 (0.6826)×48≈16. 故选:B. 点评: 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它 就服从或近似的服从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足 3σ 原则. 8. (5 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为()

A.4

B. 5

C. 7

D.9

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据题意,模拟程序框图的运行过程,求出该程序运行后输出的 S 的值. 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,如下; S=0,n=0,S=0+[ ]=0,0>4,否; n=1,S=0+[ ]=1,1>4,否; n=2,S=1+[ ]=2,2>4,否; n=3,S=2+[ ]=3,3>4,否; n=4,S=3+[ ]=5,4>4,否; n=5,S=5+[ ]=7,5>4,是; 输出 S=7. 故选:C. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,从而得出该 程序运行后的结果是什么.

9. (5 分)已知 max{a,b}=

设实数 x,y 满足

则 max{2x+3y﹣1,

x+2y+2}的取值范围是() A.[2,9] B.[﹣1,9]

C.[﹣1,8]

D.[2,8]

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域 ,利用作差法求出 z 的表达式,然后根据平移,根据 数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 2x+3y﹣1﹣(x+2y+2)=x+y﹣3, 即 z=max{2x+3y﹣1,x+2y+2}= ,

其中直线 x+y﹣3=0 过 A,C 点. 在直线 x+y﹣3=0 的上方, 平移直线 z=2x+3y﹣1(红线) ,当直线 z=2x+3y﹣1 经过点 B(2, 2) 时, 直线 z=2x+3y﹣1 的截距最大, 此时 z 取得最大值为 z=2×2+3×2﹣1=9. 在直线 x+y﹣3=0 的下方,平移直线 z=x+2y+2(蓝线) ,当直线 z=x+2y+2 经过点 O(0,0) 时, 直线 z=x+2y+2 的截距最小, 此时 z 取得最小值为 z=0+2=2. 即 2≤z≤9, 故选:A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 根据 z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的 关键,难度较大. 10. (5 分)已知定义域为(0,+∞)的单调函数 f(x)满足:?x∈(0,+∞) ,f(f(x)﹣log2x) =3,则函数 g(x)=f(x)﹣sin2πx﹣2 的零点的个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件求得 f(x)=2+log2x,本题即求数 y=f(x)的图象和函数 y=sin2πx+2 的图象 的交点个数,数形结合可得结论. 解答: 解:根据题意,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x)﹣log2x]=3, 又由 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,则 f(x)﹣log2x 为定值.

设 t=f(x)﹣log2x,则 f(x)=t+log2x, 又由 f(t)=3,可得 t+log2t=3,可解得 t=2,故 f(x)=2+log2x. 函数 g(x)=f(x)﹣sin2πx﹣2 的零点的个数, 即函数 y=f(x)的图象(图中绿色曲线)和函数 y=sin2πx+2 的图象(图中红色曲线)的交点 个数, 如图所示: 由于函数 y=f(x)的图象(图中绿色曲线)和函数 y=sin2πx+2 的图象(图中红色曲线)的交 点个数为 3, 故选:C.

点评: 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,体现了转化、数形结合的数学思想, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知向量 =(1,0) , =(0,1) ,若向量( + )⊥(λ ﹣ ) ,则实数 λ 的值 为 1. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量垂直的性质可得( + )?(λ ﹣ )=0,再利用两个向量坐标 形式的运算法、两个向量的数量积公式求得实数 λ 的值. 解答: 解:由题意可得( + )?(λ ﹣ )=(1,1)?(λ,﹣1)=λ﹣1=0, ∴λ=1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量坐标形式的运算、两个向量垂直的 性质,属于基础题. 12. (5 分)已知函数 y= {1}. 的定义域为 R,值域为[0,+∞) ,则实数 a 的取值集合为

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以由函数的值域得到函数解析式满足条件, 从而求出实数 a 的取值范围, 得到 本题结论 2 解答: 解:记 f(x)=x ﹣2x+a, ∵函数 y=
2

的定义域为 R,值域为[0,+∞) ,

则 f(x)=ax +2ax+1 的图象是抛物线,开口向上,顶点在 x 轴上, ∴a>0,且△ =4﹣4a=0, ∴a=1. ∴实数 a 的取值集合是:{1}. 故答案为:{1}. 点评: 本题考查了函数的值域和内函数图象的关系,主要考查二次函数的性质,难度不大, 属于基础题.

13. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2) +y =1 相交,

2

2

则双曲线 C 离心率的取值范围是



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线,进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求 得 a 和 b 的关系,进而利用 c =a +b 求得 a 和 c 的关系,则双曲线的离心率可求. 2 2 解答: 解:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆(x﹣2) +y =1 相交 ∴圆心到渐近线的距离小于半径,即 ∴3b <a , ∴c =a + b < a , ∴e= < ∵e>1 ∴1<e< 故答案为: 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式 等.考查了学生数形结合的思想的运用. 14. (5 分)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将其随机地摆 成一排,则同一科目的书均不相邻的摆法有 48 种. (用数字作答) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

<1

考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意,运用排除法分 2 步 进行分析:①、将 5 本书进行全排列,计算全部的摆 法数目,②、计算其中语文书相邻的情况数目与数学书相邻的情况数目,以及语文、数学书 同时相邻的情况数目;由事件的关系计算可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 步进行分析: ①、将 5 本书进行全排列,有 A5 =120 种情况, 2 4 2 4 ②、其中语文书相邻的情况有 A2 A4 =48 种,数学书相邻的情况有 A2 A4 =48 种,语文、数 2 2 3 学书同时相邻的情况有 A2 A2 A3 =24 种, 则同一科目的书均不相邻的摆法有 120﹣48﹣48+24=48 种; 故答案为:48. 点评: 本题考查排列、组合的实际的应用,运用排除法分析,避免分类讨论,但要注意其 中是否有重合的情况. 15. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 4sin c=2,则△ ABC 的面积的最大值为 .
2 5

﹣cos2C= ,且

考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用二倍角公式求得 cosC 的值, 再利用余弦定理、 基本不等式求得 ab 的最大 值,可得△ ABC 的面积 ab?sinC 的最大值. 解答: 解:△ ABC 中,∵4sin
2 2

﹣cos2C= ,∴2[1﹣cos(A+B)]﹣(2cos C﹣1)= ,

2

化简可得 cos C﹣cosC+ =0,解得 cosC= . ∵c=2,则由余弦定理可得 4=a +b ﹣2ab?cosC≥2ab﹣2ab? ,∴ab≤4, 故△ ABC 的面积 ab?sinC 的最大值为 ?4? = ,[来源:Zxxk.Com]
2 2

故答案为: . 点评: 本题主要考查二倍角公式、余弦定理、基本不等式的应用,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,π<φ<2π)为奇函数,且图象上相邻的 一个最高点和一个最低点之间的距离为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f(α)= ,α 为第二象限角,求 tan(α﹣ )的值. .

考点: 两角和与差的正切函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

专题: 三角函数的求值. 分析: (1)设 T 为 f(x)的最小正周期,由题意可得 = ,求得 T 的值,可

得 ω=1 的值.再根据 f(x)=cos(ωx+φ)为奇函数,可得 φ 的值,可得 f(x)的解析式. (2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cosα 的值,可得 tanα= 用两角差的正切公式求得 tan(α﹣ )的值. 的值,从而利

解答: 解: (1) 设T为f (x) 的最小正周期, 由题意可得 ∴ω=1.

=

, 求得 T=2π=



再根据 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,π<φ<2π)为奇函数,可得 φ= ∴f(x)=cos(x+ )=sinx.



(2)若 f(α)=sinα= ,α 为第二象限角, ∴cosα=﹣ ,tanα= =﹣ ,

∴tan(α﹣

)=

=

=﹣7.

点评: 本题主要考查由函数 y=Acos(ωx+φ)的部分图象求解析式,同角三角函数的基本关 系,两角和差的正切公式,属于基础题. 17. (12 分)已知甲、乙二人决定各购置一辆纯电动汽车,甲从 A、B、C 三类车型中挑选, 乙只从 B、C 两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表: 车型 概率 人 AA BB CC 甲 乙 / p1 p2

若甲、乙两人都选 C 类车型的概率为 . (1)求 p1、p2 的值; (2)该市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 A B C 补贴金额(万元) 1 2 3 记甲、乙两人购买所获得的财政补贴(单位:万元)的和为 X,求 X 的数学期望 E(X) .

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用已知条件列出方程组,即可求解 p,q 的值. (Ⅱ)X 可能取值为 3,4,5,6,分别求解概率,即可得到 X 的数学期望 E(X) . 解答: 解: (1)由题意, p1= ,p1+p2+ =1, 解得 p1= ,p2= ; (2)X 可能取值为 3,4,5,6. P(X=3)= P(X=5)= 所以 E(X)=3× = ,P(X=4)= = +4× +5× ,P(X=6)= , +6× =5. = ,

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列的求法,概率的应用,考查分析问题解决问题的 能力. 18. (12 分)已知数列{an+1+an}的前 n 项和 Sn=2 (1)求数列{an+1+an}的通项公式; (2)求数列{an}的通项公式. 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据数列项和前 n 项和之间的关系即可求数列{an+1+an}的通项公式; (2)根据数列{an+1+an}的通项公式,结合等比数列的通项公式即可求数列{an}的通项公式. n+1 解答: 解: (1)∵数列{an+1+an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣2,a1=0. n+1 n n ∴当 n≥2 时,an+1+an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2﹣(2 ﹣2)=2 . n 当 n=1 时,a2+a1=S1=2,满足 an+1+an=2 . n 即数列{an+1+an}的通项公式为 an+1+an=2 . n (2)由 an+1+an=2 . n+1 得 an+2+an+1=2 . n+1 n n 两式相减得 an+2﹣an=2 ﹣2 =2 . 当 n 为奇数时,an=a1+(a3﹣a1)+(a5﹣a3)+…+(an﹣2﹣an﹣4)+(an﹣an﹣2) =0+2 +2 +…+2
1 3 n﹣4 n+1

﹣2,a1=0.

+2

n﹣2

=

=

﹣ .

当 n 为偶数时,由 a1=0 得 a2=2, an=a2+(a4﹣a2)+(a6﹣a4)+…+(an﹣2﹣an﹣4)+(an﹣an﹣2) =2+2 +2 +…+2
2 4 n﹣4

+2

n﹣2

=2+

=

+ .

综上 an=

+(﹣1) ? .

n

点评: 本题主要考查数列通项公式的求解,以及数列递推关系的应用,考查学生的推理能 力. 19. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, ∠ABC=∠ADC=90°, CB=CD=1, ∠BCD=120°,E 为线段 BP 的靠近点 B 的一个四等分点,AE⊥PC. (1)求棱 PA 的长; (2)求平面 PCB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)以 、 所在方向分别为 y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A﹣xyz, ⊥ ,计算即可;

设 PA=t,通过向量的加法运算及

(2)所求值即为平面 PCB 的法向 量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值,利用向 量知识计算即可. 解答: 解: (1)以 、 所在方向分别为 y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A﹣xyz

如图, ∵∠ABC=∠ADC=90°,CB=CD=1, ∴△ABC≌△ADC, 又∵∠BCD=120°, ∴∠BCA=∠ADC=60°, ∴AC= = =2, , ,0) ,

∴A(0,0,0) ,C(0,2,0) ,B( 设 PA=t,则 P(0,0,t) (t>0) , ∴ 从而 又∵ =(﹣ = + ,﹣ ,t) , =( =

=(﹣

,﹣ , ) ,

, , ) , ⊥ ,

=(0,2,﹣t) ,且



?

=

=0,解得 t= 3,

∴棱 PA 的长为 3; (2)由(1)知 C(0,2,0) ,B( ∴ =(0,﹣2,3) , =(﹣ , ,0) ,P(0,0,3) ,D(﹣ =( , ,0) , , ,0) ,

, ,0) ,

设平面 PCB 的法向量为 =(x,y,z) ,



,得



取 x=

,得 =(

,3,2) ,

设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,



,得



取 x= ∵

,得 =( =

,﹣3,﹣2) , =

=﹣ , ∴平面 PCB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值为 .[来源:学科网 ZXXK]

点评: 本题考查空间点、线、面位置关系、求二面角大小等有关基础知识,同时考查空间 想象能力、运算求解能力和推理论证能力,考查数形结合和化归与转化等数学思想方法,注意 解题方法的积累,属于中档题. 20. (13 分)已知函数 f(x)= .

(1)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线平行于 x 轴,求 x0 的值; (2)若函数 f(x)在区间( (3)当 x∈[0, π, π) (a>0)上的增函数,求实数 a 的取值范围;

]时,不等式 f(x)≤bx 恒成立,求实数 b 的取值范围.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出函数的导数,由条件可得 f′(x0)=0,运用同角三角函数的商数关系,解 方程即可得到; (2)求出导数大于等于 0 的解集,由题意可得解集包含( 得即可; (3)首先确定 b>0,当 x∈[0, 恒成立, 令 h(x)=sinx﹣bxe ,则问题转化为当 x∈[0,
x

π,

π) ,得到不等式解

]时,不等式 f(x)≤bx 恒成立?sinx≤bxe ?sinx﹣bxe ≤0

x

x

]时,不等式 h(x)≤0 恒成立,求实数 b 的

取值范围.通过导数判断单调性,讨论 b≥1,0<b<1,求出最值,即可得到 b 的范围. 解答: 解: (1)f′(x)= ,由题意可得 f′(x0)=0,即 cosx0﹣sinx0=0, ,k∈Z; sin(x﹣ )≤0,

即 tanx0=1,求得 x0=kπ+

(2)由 f′(x)≥0,即 sinx﹣cosx≤0, 可得 2k ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, π,

函数 f(x)在区间(

π) (a>0)上的增函数,

即有

,即为



由 8k﹣2≤4k+1,解得 k



当 k=0 时,0<a≤1,k 为负整数.上述不等式的解集为?. 综上可得 0<a≤1; (3)当 x∈[0, ]时,f(x)= ≤bx 成立; >0,若 f(x)≤bx,即 b≥
x

≤bx 恒成立,

当 x=0 时,f(x)= 当 x∈(0, 当 x∈[0, ]时,

恒成立,显然 b>0,
x

]时,不等式 f(x)≤bx 恒成立?sinx≤bxe ?sinx﹣bxe ≤0 恒成立,
x

令 h(x)=sinx﹣bxe , 则问题转化为当 x∈[0,
x

]时,不等式 h(x)≤0 恒成立,求实数 b 的取值范围.

h′(x)=cosx﹣be (x+1) , 当 x∈(0, )时,e >1,x+1>1,h′(x)<cosx﹣b<cos0﹣b=1﹣b, )递减;
x

当 1﹣b≤0 时,h′(x)<0,h(x)在(0, 当 x∈[0,

]时,h(x)≤h(0)=0,可得 b≥1 成立;

当 0<b<1 时,h′(0)=1﹣b>0,h′( h′(x)在(0, )递减,

)=﹣b

(1+

)<0,

由零点存在定理可得存在唯一的 x0∈(0, 于是当 x∈(0,x0)?(0,

) ,使得 h′(x0)=0,

) ,h′(x)>0,

则当 x∈(0,x0) ,h(x)递增, 即有 h(x)>h(0)=0, 可见 0<b<1 不成立. 综上可得 b 的取值范围是[1,+∞) . 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,同时考查函数的单调性的运用, 考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题, 运用分类讨论的思想方法和正确求导是解题 的关键.

21. (14 分)已知椭圆 C:
2

+

=1(a>b>0)的左、右焦点 F1、F2 与双曲线 4x ﹣ y =1 ,1)处的切线经过椭圆 C 的下顶点.

2

2

的两焦点重合,抛物线 x =2py 上的点( (1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)已知过点 F1 的两动直线 l 与 m 互相垂直,直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,直线 m 交椭 圆 C 于 D、E 两点,问是否存在实常数 λ,使得| |+| |=λ| |?| |恒成立?若存在,请求出

λ 的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,求四边形 ADBE 的面积 S 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 分析: (1)根据题意,由双曲线的方程可得 c=1,则可得椭圆 C 的半焦距 c,将点( , 2 1)的坐标代入 x =2py 中,可得抛物线的方程,对其求导可得点( ,1)处切线的斜率,进 而可得在点( ,1)处切线的方程,进而可得椭圆的下顶点为(0,﹣1) ,即可得椭圆中 b 的值,从而可得其中 a 的值,代入椭圆方程可得答案; (2)根据题意,由| |+| |=λ| |?| |可得 λ= + ,分两种情况讨论:①当直线 l

与 m 恰有一条斜率不存在时,不妨设直线 l 的斜率不存在,易得直线 l 的方程以及其与椭圆的 交点坐标,进而可得| 与| |的值,由 λ= + ,可得 λ 的值,②当直线 l 的斜率存

在且非 0 时,设直线 l 的斜率为 k,可设出其方程,联立

,消去 y 并整理可得

(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0,利用韦达定理表示| 综合可得结论; (3)根据题意,设 围,S= | || |= =t,可以表示| = |与|

2

2

2

2

与|

|,由 λ=

+

可得 λ 的值,

|,分析可得|

|的取值范围,进而可得 t 的范

;结合 t 的范围分析可得答案.

解答: 解: (1)根据题意,双曲线的方程为 4x ﹣ y =1,其半焦距 c=

2

2

=1,则椭圆 C:

+

=1 中,c=1,
2 2 2

将点(

,1)的坐标代入 x =2py 中,可得 2p=2,则 x =2py,即 y= x ;

求导可得 y′=x,所以点( ,1)处切线的斜率为 , 抛物线在点( ,1)处切线的方程为 y﹣1= (x﹣ ) ,即 y= 在 y= x﹣1 中,令 x=0 可得 y=﹣1; 因此椭圆的下顶点为(0,﹣1) , 2 2 2 所以 b=1,a =b +c =2, 所以椭圆的标准方程为 (2)| |+| |=λ| |?| +y =1; |?λ= + ,
2

x﹣1,

①当直线 l 与 m 恰有一条斜率不存在时,不妨设直线 l 的斜率不存在, 则直线 l 的方程为 x=﹣1,与椭圆的交点分别为(﹣1, 所以| 因此 λ= |= + ,直线 m 为 x 轴,所以| = , |=2 . ) , (﹣1,﹣ ) ,

②当直线 l 的斜率存在且非 0 时, 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,
2 2 2 2



,消去 y 并整理可得(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0,分析可得该方程的△ >0

恒成立, 设 A(x1,y1)B(x2,y2) , 由韦达定理可得 x1+x2= ,x1?x2= ,

所以|

|=



因为 l⊥m,所以直线 m 的斜率为﹣ ,则| 所以 λ= + =

|=



,[来源:学科网 ZXXK] ,使得| |+| |=λ| |?| |恒成立;

综上可得,存在实常数 λ=

(3)由(2)可得,

+

=

,设

=t,则|

|=



由(1)知,|

|=

=

+





|

|=

=2



≤2

,当且仅当 k=0 时取等号,

因此

≤t≤

,S= |

||

|=

=

;[来源:学+科+网

Z+X+X+K] 因为 ≤t≤ ,所以 t≤﹣4(t﹣ )+ ≤ ,
2

所以



≤2,即

≤S≤2,

综上所述,四边形 ADBE 的面积 S 的取值范围为[

,2].

点评: 本题考查椭圆与直线方程的综合应用,此类题型一般为综合题目,难度比较大;解 答时要联立直线与圆锥曲线的方程,结合韦达定理进行分析计算.


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