【赢在课堂】高中数学 1.1.2 四种命题检测试题 新人教A版选修1-1

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
一、选择题 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.若一个数是负数,则它的平方不是正数 B.若一个数的平方是正数,则它是负数 C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数 D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数 答案:B 解析:命题“若 p,则 q”的逆命题是“若 q,则 p”.故 B 正确. 2.命题:“a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是( ) A.若 a,b 都不是奇数,则 a+b 是偶数 B.若 a+b 是奇数,则 a,b 都是偶数 C.若 a+b 不是偶数,则 a,b 都不是奇数 D.若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数 答案:D 解析:∵a,b 都是奇数的否定为:a,b 不都是奇数,a+b 是偶数的否定为:a+b 不是偶数, ∴逆否命题为:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数. 3.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆 命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为(

)

A.1

B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题. ∵逆命题为“若 a>-6,则 a>-3”,∴逆命题为假命题,∴否命题为假命题.从而真命题的个数是 2. 4.已知命题 p:垂直于平面 α 内无数条直线的直线 l 垂直于平面 α , q 是 p 的否命题,下面结论正 确的是( ) A.p 真,q 真 B.p 假,q 假 C.p 真,q 假 D.p 假,q 真 答案:D 解析:当平面 α 内的直线相互平行时,l 不一定垂直于平面 α .故 p 为假命题. 易知 p 的否命题 q:若直线 l 不垂直于 α 内无数条直线,则 l 不垂直于 α .易知 q 为真命题. 5.下列有关命题的说法正确的是( ) x A.“若 x>1,则 2 >1”的否命题为真命题 B.“若 cosβ =1,则 sinβ =0”的逆命题是真命题 C.“若平面向量 a,b 共线,则 a,b 方向相同”的逆否命题为假命题 D.命题“若 x>1,则 x>a”的逆命题为真命题,则 a>0 答案:C x x 解析:A 中,2 ≤1 时,x≤0,从而否命题“若 x≤1,则 2 ≤1”为假命题,故 A 不正确;B 中,sinβ =0 时,cosβ =± 1,则逆命题为假命题,故 B 不正确;D 中,由已知条件得 a 的取值范围为[1,+∞),故 D 不 正确. 二、填空题 a b 6.命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题是 . a b 答案:若 a≤b,则 2 ≤2 -1 解析:“若 p,则 q”的否命题为“若p, 则 q”. 7.已知命题“若 m-1<x<m+1,则 1<x<2”的逆命题为真命题,则 m 的取值范围是 . 答案:1≤m≤2 解析:由已知,逆命题“若 1<x<2,则 m-1<x<m+1”为真命题. ∴∴1≤m≤2. 8.有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号).

1

①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; 2 ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆命题; 2 2 ④“若 a>b,则 ac >bc ”的逆否命题. 答案 :①③ 解析:①中逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,是真命题. ②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题. 2 ③的逆命题为“若 x +2x+q=0 有实根,则 q≤1”,为真命题,由 Δ =4-4q≥0,得 q≤1. ④中当 c=0 时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题. 综上可知①③是真命题. 三、解答题 2 9.设 M 是一个命题,它的结论是 q:x1,x2 是方程 x +2x-3=0 的两个根,M 的逆否命题的结论是 p:x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3. (1)写出 M; (2)写出 M 的逆命题、否命题、逆否命题. 2 解:(1)设命题 M 表述为:若 p,则 q,那么由题意知其中的结论 q 为:x1,x2 是方程 x +2x-3=0 的两个根. 而条件 p 的否定形式p 为:x1+x2≠-2 或 x1 x2≠-3,故p 的否定形式即 p 为:x1+x2=-2 且 x1x2=-3.所 2 以命题 M 为:若 x1+x2=-2 且 x1x2=-3,则 x1,x2 是方程 x +2x-3=0 的两个根. 2 (2)M 的逆命题为:若 x1,x2 是方程 x +2x-3=0 的两个根,则 x1+x 2=-2 且 x1x2=-3. 2 逆否命题为:若 x1,x2 不是方程 x +2x-3=0 的两个根,则 x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3. 2 否命题为:若 x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3,则 x1,x2 不是方程 x +2x-3=0 的两个根. 10.证明:已知函数 f(x)是(- ∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+ f(b)≥f(-a )+f(-b),则 a+b≥0. 解:证明:(方法一)原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”. 若 a+b<0,则 a<-b,b<-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 即逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题. (方法二)假设 a+b< 0, 则 a<-b,b<-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知条件 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾. 因此假设不成立,故 a+b≥0.

2


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