综合题:高一数学函数经典习题及答案

必修 1 第一章集合与函数专题
一、集合 9.当 a 满足 12.已知集合 A={x ? N| 时, 集合 A={ x 3x ? a ? 0, x ? N }表示单元集.
?

12 6-x

? N },试用列举法表示集合 A.

13.已知集合 A={ x ax2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R }. (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

14.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1,则

1 1? a

? A ,证明:

(1)若 2 ? A,则集合 A 必还有另外两个元素,并求出这两个元素; (2)非空集合 A 中至少有三个不同的元素。

§1.2 子集、全集、补集 7.如果 M={x|x=a +1,a ? N*},P={y|y=b -2b+2,b ? N+},则 M 和 P 的关系为 M_________P.
2 2

8. 设集合 M={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ? M, A 不是空集, 且满足: a ? A, 则 6-a ? A, 则满足条件的集合 A 共有_____________ 个. 10.集合 A={x|x +x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B A,则实数 m 的值是 11.判断集合之间的关系:
A ? {x | x ? k 2 ? 1 4 , k ? Z }, B ? {x | x ? k 4 ? 1 2 , k ? Z }.
2



12. 已知集合 A ? x | x2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0,x ? R ,且 A ? {负实数},求实数 p 的取值范围.

?

?

§1.3 交集、并集 重难点:并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系. 经典例题:已知集合 A= ?x
x ?x?0 ,
2

?

B= ?x

ax ? 2x ? 4 ? 0 , 且
2

?

A ? B=B,求实数 a 的取值范围.

且A ? B ? B , 3.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 5?,B ? ?x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1?,

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( ) . A. a ? 1 B. 0 ? a ? 1

C. a ? 0

D. ? 4 ? a ? 1

6.已知集合 M={x|-1≤x<2=,N={x|x—a≤0} ,若 M∩N≠ ? ,则 a 的取值范围是



7.已知集合 A={x|y=x -2x-2,x∈R} ,B={y|y=x -2x+2,x∈R} ,则 A∩B=

2

2



10.在直角坐标系中,已知点集 A= (CuA) ? B=

?

( x, y )

y?2 x ?1

?2

?

,B= ?( x, y )

y ? 2 x? ,则



14.已知集合 A= ?x ? R

x ? 4x ? 0
2

? ,B= ?x ? R x

2

? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0
2

? ,且 A∪B=A,试求 a 的取值范围.

7.50 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格 40 人和 31 人,两项测试均不及格的有 4 人,则两 项测试成绩都及格的人数是( ) (A)35 (B)25 (C)28 (D)15 8.设 x,y ? R,A= ?( x, y ) y ? x? ,B=

?

( x, y )

y x

? 1 ,则 A、B 间的关系为(

?



(A)A B (B)B A (C)A=B (D)A∩B= ? 10.已知集合 M ? { x | x ? 3m ? 1 , m ? Z }, N ? { y | y ? 3n ? 2 , n ? Z } ,若 x0 ? M , y0 ? N , 则 x0 y 0 与集合 M , N 的关系 是 ( ) (A) x0 y 0 ?M 但 ? N (B) x0 y 0 ? N 但 ? M (C) x0 y 0 ? M 且 ? N (D) x0 y 0 ?M 且 ? N 14.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={1},那么 M∪N 的真子集有 16.设 I ? ? 1 , 2 , 3 , 4 ? , A 与 B 是 I 的子集,若 A ? B ? ? 想配集” ,那么符合此条件的“理想配集”的个数是 “理想配集” )
2, 3

个.

? ,则称 ( A, B ) 为一个“理
. (规定 ( A, B ) 与 ( B , A) 是两个不同的

21.已知集合 A= ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,B= a1 , a2 , a3 , a4
2 2 2

?

2

? ,其中 a , a , a , a 均为正整数,且 a
1 2 3 4

1

? a2 ? a3 ? a4 ,A∩B={a1,a4},

a1+a4=10, A∪B 的所有元素之和为 124,求集合 A 和 B.

22.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -ax+3a-5},若 A∩B=B,求实数 a 的值.

2

2

一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域:

⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

⑶y?

1 1 1? x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

2、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_

2

_

_;函数 f ( x ? 2) 的定义域为________; ; 函 数 f ( ? 2 )的 定 义 域

3 、 若 函 数 f ( x ? 1) 的 定 义 域 为 [ ?2 , 3] , 则 函 数 f ( 2x ? 1)的 定 义 域 是 为 。

1 x

4、 知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在,求实数 m 的取值范围。

二、求函数的值域
5、求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R)
2 ⑵ y ? x ? 2 x ? 3 x ? [1, 2]

⑶y?

3x ? 1 x ?1
3x ? 1 ( x ? 5) x ?1

⑷y?

⑸ y?

2 x ?6 x ?2
5 x 2+9x ? 4 x2 ?1

⑹ y?

⑺ y ? x ? 3 ? x ?1 ⑻ y ? x 2? x ⑼ y ? ? x2 ? 4 x ? 5 ⑽ y ? 4 ? ? x2 ? 4 x ? 5 ⑾ y ? x ? 1 ? 2x

2 x 2 ? ax ? b 6、已知函数 f ( x) ? 的值域为[1,3],求 a , b 的值。 x2 ? 1

三、求函数的解析式
1、 已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式。

2、 已知 f ( x) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2 x2 ? 4 x ,求 f ( x) 的解析式。

3、 已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =



4、设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =____ f ( x) 在 R 上的解析式为

_

5、设 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 {x | x ? R, 且x ? ?1} , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 x ?1

f ( x) 与 g ( x) 的解析表达式

四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x ? 2x ? 3
2

⑵ y ? ? x2 ? 2 x ? 3

⑶ y ? x ? 6 x ?1
2

2 7、函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1 ? x ) 的单调递增区间是

8、函数 y ?

2? x 的递减区间是 3x ? 6

;函数 y ?

2? x 的递减区间是 3x ? 6

五、综合题

9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ⑴ y1 ?



( x ? 3)( x ? 5) , y 2 ? x ? 5 ; ⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , x?3
3

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x) ? x , g ( x) ? x 2 ; ⑷ f ( x) ? x , g ( x) ? A、⑴、⑵ B、 ⑵、⑶ C、 ⑷ 10、若函数 f ( x) =
2

x3 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 。
D、 ⑶、⑸

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 ( ) mx ? 4mx ? 3 3 3 3 ) A、(-∞,+∞) B、(0, ] C、( ,+∞) D、[0, 4 4 4

11、若函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4 (C) m ? 4 (D) 0 ? m ? 4 12、对于 ?1 ? a ? 1 ,不等式 x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? a ? 0 恒成立的 x 的取值范围是( (A) 0 ? x ? 2 13、函数 f ( x) ? (B) x ? 0 或 x ? 2 (C) x ? 1 或 x ? 3 (D) )

?1 ? x ? 1

4 ? x 2 ? x 2 ? 4 的定义域是( ) A、 [?2, 2] B、 (?2, 2) C、 (??, ?2) ? (2, ??) 1 14、函数 f ( x ) ? x ? ( x ? 0) 是( ) x
A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数

D、 {?2, 2}

B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 15、函数 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x( x ? 2) ?
16、已知函数 f ( x ) 的定义域是 (0,1] ,则 g ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a )( ? 17、已知函数 y ?

mx ? n 的最大值为 4,最小值为 —1 ,则 m = ,n= x2 ? 1 1 18、把函数 y ? 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图象 C,则 C 关于原点对称的图象的解析式为 x ?1 2 19、求函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间[ 0 , 2 ]上的最值

1 ? a ? 0) 的定义域为 2



20、若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2,当x ?[t , t ? 1] 时的最小值为 g (t ) ,求函数 g (t ) 当 t ? [-3,-2]时的最值。
2

21、已知 a ? R ,讨论关于 x 的方程 x2 ? 6 x ? 8 ? a ? 0 的根的情况。

1 ? a ? 1, ( ) Ma ? ( ) Na (? ) 若 fx 3]上的最大值为 M (a) , 最小值为 N ( a ) , 令 ga () a x ? 2 x ? 2 ? 1 在区间[1, 3 (1)求函数 g (a ) 的表达式; (2)判断函数 g (a ) 的单调性,并求 g (a ) 的最小值。
22、 已知



23、 定义在 R 上的函数 y ? f ( x), 且f (0) ? 0 , 当 x ? 0 时,f ( x) ? 1 , 且对任意 a, b ? R ,f (a ? b) ? f (a) f (b) 。
2



求 f (0) ; ⑵求证:对任意 x ? R, 有f ( x) ? 0 ;⑶求证: f ( x) 在 R 上是增函数; ⑷若 f ( x) f (2 x ? x ) ? 1 ,求 x 的取值范围。

函 数 练 习 题 答 案
一、函数定义域: 1、 (1) {x | x ? 5或x ? ?3或x ? ?6} 2、 [ ?1,1] ; (2) {x | x ? 0} 3、 [0, ]; (3) {x | ?2 ? x ? 2且x ? 0, x ?

1 , x ? 1} 2

[4,9]

5 2

1 1 (??, ? ] ? [ , ??) 3 2
(3) { y | y ? 3}

4、 ?1 ? m ? 1

二、函数值域: 5、 (1) { y | y ? ?4} (5) y ? [?3, 2) (2) y ? [0,5] (4) y ? [ ,3) (8) y ? R

7 3

(6) { y | y ? 5且y ? } (7) { y | y ? 4}

1 2

(9) y ? [0,3] 6、 a ? ?2, b ? 2 三、函数解析式: 1、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 4、 f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ;

(10) y ? [1, 4]

(11) { y | y ? }

1 2

f (2x ? 1) ? 4x2 ? 4
3 ? ? x(1 ? x )( x ? 0) 3 ? ? x(1 ? x )( x ? 0)

2、 f ( x) ? x2 ? 2 x ?1 5、 f ( x) ?

3、 f ( x ) ? 3 x ?

4 3

; f ( x) ? ?

1 x ?1
2

g ( x) ?

x x ?1
2

四、单调区间: 6、 (1)增区间: [?1, ??) 7、 [0,1] 五、综合题:

减区间: (??, ?1]

(2)增区间: [ ?1,1]

减区间: [1,3]

(3)增区间: [?3, 0],[3, ??)

减区间: [0,3], (??, ?3]

8、 (??, ?2), (?2, ??)

(?2, 2]

C D B B D B
14、 3 15、 (?a, a ? 1] 16、 m ? ?4

n?3

18、解:对称轴为 x ? a (1) a ? 0时 , f ( x)min

1 x?2 ? f (0) ? ?1 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a
17、 y ?

(2) 0 ? a ? 1时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a (3) 1 ? a ? 2时 , f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f ( x)max ? f (0) ? ?1 (4) a ? 2时 , f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a , f ( x)max ? f (0) ? ?1

?t 2 ? 1(t ? 0) ? 19、解: g (t ) ? ?1(0 ? t ? 1) ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1) ?

? t ? (??, 0] 时, g (t ) ? t ? ?

2

? 1 为减函数
2

在 [?3, ?2] 上, g (t ) ? t ? 1 也为减函数

g (t )min ? g (?2) ? 5 , g (t )max ? g (?3) ? 10

20、21、22、 (略)


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