综合题:高一数学函数经典习题及答案

必修 1 第一章集合与函数专题

一、集合

9.当 a 满足

时, 集合 A={ x 3x ? a ? 0, x ? N }表示单元集. ?

12.已知集合 A={x? N| 12 ? N },试用列举法表示集合 A.
6-x

13.已知集合 A={ x ax2 ? 2x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R }. (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

14.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a? A, a ? 1,则 1 ? A ,证明:
1? a
(1)若 2? A,则集合 A 必还有另外两个元素,并求出这两个元素;
(2)非空集合 A 中至少有三个不同的元素。

§1.2 子集、全集、补集 7.如果 M={x|x=a2+1,a? N*},P={y|y=b2-2b+2,b? N+},则 M 和 P 的关系为 M_________P.
8.设集合 M={1,2,3,4,5,6},A ? M,A 不是空集,且满足:a? A,则 6-a? A,则满足条件的集合 A 共有_____________
个.

10.集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B A,则实数 m 的值是



11.判断集合之间的关系:

k1

k1

A ? {x | x ? ? , k ? Z}, B ? {x | x ? ? , k ? Z}.

24

42

? ? 12. 已知集合 A ? x | x2 ? ( p ? 2)x ?1 ? 0,x ? R ,且 A ? {负实数},求实数 p 的取值范围.

§1.3 交集、并集
重难点:并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系.
经典例题:已知集合 A=?x x2 ? x ? 0? , B=?x ax 2 ? 2x ? 4 ? 0?, 且 A ? B=B,求实数 a 的取值范围.

3.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 5?,B ? ?x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1?,且A ? B ? B ,

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( ).

A. a ? 1

B. 0 ? a ? 1

C. a ? 0

D. ? 4 ? a ? 1

6.已知集合 M={x|-1≤x<2=,N={x|x—a≤0},若 M∩N≠ ? ,则 a 的取值范围是



7.已知集合 A={x|y=x2-2x-2,x∈R},B={y|y=x2-2x+2,x∈R},则 A∩B=



? ? 10.在直角坐标系中,已知点集 A=

(x, y)

y?2 ?2

,B=?(x, y) y ? 2x? ,则

x ?1

(CuA) ? B=



? ? ? ? 14.已知集合 A=

x ? R x2 ? 4x ? 0

,B=

x?R

2
x

?

2(a

?

1) x

?

2
a

?1 ?

0

,且 A∪B=A,试求 a 的取值范围.

7.50 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格 40 人和 31 人,两项测试均不及格的有 4 人,则两

项测试成绩都及格的人数是( )

(A)35

(B)25

(C)28

(D)15

? ? 8.设 x,y? R,A=?(x, y) y ? x? ,B= (x, y) y ? 1 ,则 A、B 间的关系为( ) x

(A)A B

(B)B A

(C)A=B

(D)A∩B= ?

10.已知集合 M ? { x | x ? 3m ?1 ,

m ? Z },

N ? { y | y ? 3n ? 2 , n ? Z } ,若 x ? M , y ? N ,

0

0

则 x0 y0 与集合 M , N 的关系



()

(A) x0 y0 ?M 但? N (B) x0 y0 ? N 但?M (C) x0 y0 ?M 且? N (D) x0 y0 ?M 且? N

14.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={1},那么 M∪N 的真子集有

个.

16.设 I ? ? 1 , 2 , 3 , 4 ? , A 与 B 是 I 的子集,若 A B ? ? 2 , 3 ? ,则称 ( A, B) 为一个“理

想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是

.(规定 ( A, B) 与 (B, A) 是两个不同的

“理想配集”)

? ? 21.已知集合 A=?a , a , a , a ? ,B= a 2 , a 2 , a 2 , a 2

1234

1

2

3

4

,其中

a , a , a , a 均为正整数,且 1234

a 1

?

a 2

?

a 3

?

a 4

,A∩B={a1,a4},

a1+a4=10, A∪B 的所有元素之和为 124,求集合 A 和 B.

22.已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5},若 A∩B=B,求实数 a 的值.

一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域:

⑴ y ? x2 ? 2x ?15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? ( x ?1)2 x ?1

⑶ y ? 1 ? (2x ?1)0 ? 4 ? x2 1? 1 x ?1

2、设函数 f (x) 的定义域为[0,1] ,则函数 f (x 2 ) 的定义域为_ _ _;函数 f ( x ? 2) 的定义域为________;

3、若函数 f (x ? 1)的定义域为 [?2,3] ,则函数 f ( 2x ? 1)的定义域是





;函数 f (1 ? 2)的定义域 x

4、 知函数 f (x) 的定义域为[?1, 1],且函数 F(x) ? f (x ? m) ? f (x ? m) 的定义域存在,求实数 m 的取值范围。

二、求函数的值域
5、求下列函数的值域:
⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 (x ? R)

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[1, 2]

⑶ y ? 3x ?1 x ?1
⑷ y ? 3x ?1 (x ? 5) x ?1

⑸ y ? 2 x ?6 x ?2



y

?

5x2+9x ? x2 ?1

4

⑺ y ? x ?3 ? x ?1

⑻ y ? x 2?x

⑼ y ? ?x2 ? 4x ? 5

⑽ y ? 4 ? ?x2 ? 4x ? 5 ⑾ y ? x ? 1? 2x

6、已知函数

f

(x)

?

2x2 ? x2

ax ? b ?1

的值域为[1,3],求 a, b 的值。

三、求函数的解析式
1、 已知函数 f (x ?1) ? x2 ? 4x ,求函数 f (x) , f (2x ?1) 的解析式。
2、 已知 f (x) 是二次函数,且 f (x ?1) ? f (x ?1) ? 2x2 ? 4x ,求 f (x) 的解析式。

3、 已知函数 f (x) 满足 2 f (x) ? f (?x) ? 3x ? 4 ,则 f (x) =



4、设 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x ?[0, ??) 时, f (x) ? x(1? 3 x) ,则当 x ?(??, 0) 时 f (x) =____ _ f (x) 在 R 上的解析式为

5、设 f (x) 与 g(x) 的定义域是{x | x ? R,且x ? ?1}, f (x) 是偶函数, g(x) 是奇函数,且 f (x) ? g(x) ? 1 ,求 x ?1
f (x) 与 g(x) 的解析表达式

四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间:
⑴ y ? x2 ? 2x ? 3

⑵y?

?x2 ? 2x ? 3

⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

7、函数 f (x) 在[0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1? x2 ) 的单调递增区间是

8、函数 y ? 2 ? x 的递减区间是 3x ? 6
五、综合题

;函数 y ? 2 ? x 的递减区间是 3x ? 6

9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 (





y1

?

(x

? 3)(x ? x?3

5)



y2 ? x ? 5 ;

⑵ y1 ?

x ?1 x ?1 ,

y2 ? (x ?1)(x ?1) ;

⑶ f (x) ? x , g(x) ? x2 ; ⑷ f (x) ? x , g(x) ? 3 x3 ; ⑸ f1(x) ? ( 2x ? 5)2 , f2 (x) ? 2x ? 5 。

A、⑴、⑵

B、 ⑵、⑶

C、 ⑷

D、 ⑶、⑸

10、若函数 f (x) =

x ?4 mx2 ? 4mx ? 3

的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是





A、(-∞,+∞)

B、(0, 3 ] 4

C、( 3 ,+∞) 4

D、[0, 3 ) 4

11、若函数 f (x) ? mx2 ? mx ?1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( )

(A) 0 ? m ? 4

(B) 0 ? m ? 4

(C) m ? 4

(D) 0 ? m ? 4

12、对于 ?1? a ?1,不等式 x2 ? (a ? 2)x ?1? a ? 0 恒成立的 x 的取值范围是(



(A) 0 ? x ? 2 (B) x ? 0 或 x ? 2 (C) x ?1或 x ? 3

(D) ?1? x ?1

13、函数 f (x) ? 4 ? x2 ? x2 ? 4 的定义域是(



A、[?2, 2]

B、 (?2, 2)

C、 (??, ?2) (2, ??)

D、{?2, 2}

14、函数 f (x) ? x ? 1 (x ? 0) 是( x
A、奇函数,且在(0,1)上是增函数
C、偶函数,且在(0,1)上是增函数


B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

?x ? 2(x ? ?1)

15、函数

f

(x)

?

? ?

x2

(?1

?

x

?

2)

,若 f (x) ? 3 ,则 x =

??2x(x ? 2)

16、已知函数 f (x) 的定义域是 (0,1],则 g(x) ? f (x ? a) ? f (x ? a)(? 1 ? a ? 0) 的定义域为



2

17、已知函数 y

?

mx ? n x2 ?1

的最大值为 4,最小值为

—1

,则 m =

,n=

18、把函数 y ? 1 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图象 C,则 C 关于原点对称的图象的解析式为 x ?1

19、求函数 f (x) ? x 2 ? 2ax ? 1在区间[ 0 , 2 ]上的最值

20、若函数 f (x) ? x2 ? 2x ? 2,当x ?[t,t ?1] 时的最小值为 g(t) ,求函数 g(t) 当 t ?[-3,-2]时的最值。

21、已知 a ? R ,讨论关于 x 的方程 x2 ? 6 x ? 8 ? a ? 0 的根的情况。

22、已知 1 ? a ? 1 ,若 f x( ) ax? 2x?2 ?1 在区间[1,3]上的最大值为 M (a) ,最小值为 N (a) ,令 ga( ) M? a( ) Na(?)



3

(1)求函数 g (a) 的表达式;(2)判断函数 g (a) 的单调性,并求 g (a) 的最小值。

23、定义在 R 上的函数 y ? f (x),且f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时,f (x) ? 1 ,且对任意 a,b ? R ,f (a ? b) ? f (a) f (b) 。 ⑴ 求 f (0) ; ⑵求证:对任意 x ? R,有f (x) ? 0 ;⑶求证: f (x) 在 R 上是增函数; ⑷若 f (x) f (2x ? x2 ) ? 1 ,求 x
的取值范围。

函数练习题答案

一、函数定义域:

1、(1){x | x ? 5或x ? ?3或x ? ?6} (2){x | x ? 0} (3){x | ?2 ? x ? 2且x ? 0, x ? 1 , x ? 1} 2

2、[?1,1]; [4, 9]
二、函数值域:

3、[0, 5]; (??, ? 1] [1 , ??)

2

32

4、 ?1? m ?1

5、(1){y | y ? ?4}

(2) y ?[0,5]

(3){y | y ? 3}

(4) y ?[7 ,3) 3

(5) y ?[?3, 2)

(6){y | y ? 5且y ? 1} (7){y | y ? 4} 2

(8) y ? R

(9) y ?[0,3] 6、 a ? ?2,b ? 2

(10) y ?[1, 4]

(11){y | y ? 1} 2

三、函数解析式:

1、 f (x) ? x2 ? 2x ? 3 ; f (2x ?1) ? 4x2 ? 4

2、 f (x) ? x2 ? 2x ?1

3、 f (x) ? 3x ? 4 3

4、 f (x) ? x(1? 3 x)



f

(x)

?

?? x(1 ? ?

3

x )(x

?

0)

??x(1? 3 x )(x ? 0)

5、 f (x) ? 1 x2 ?1

g(x) ? x x2 ?1

四、单调区间:

6、(1)增区间:[?1, ??) 减区间: (??, ?1] (2)增区间:[?1,1] 减区间:[1,3]

(3)增区间:[?3, 0],[3, ??) 减区间:[0,3], (??, ?3]

7、 [0,1]

8、 (??, ?2), (?2, ??) (?2, 2]

五、综合题:

CDBBDB

14、 3 15、 (?a, a ?1] 16、 m ? ?4 n ? 3

17、 y ? 1 x?2

18、解:对称轴为 x ? a (1) a ? 0时 , f (x)min ? f (0) ? ?1 , f (x)max ? f (2) ? 3 ? 4a

(2) 0 ? a ? 1时 , f (x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f (x)max ? f (2) ? 3 ? 4a

(3)1 ? a ? 2时, f (x)min ? f (a) ? ?a2 ?1 , f (x)max ? f (0) ? ?1

(4) a ? 2时 , f (x)min ? f (2) ? 3 ? 4a , f (x)max ? f (0) ? ?1

?t2 ?1(t ? 0) 19、解: g(t) ? ??1(0 ? t ? 1)
??t2 ? 2t ? 2(t ? 1)
20、21、22、(略)

t ? (??, 0]时, g(t) ? t2 ?1 为减函数
? 在[?3, ?2] 上, g(t) ? t2 ?1也为减函数 ? g(t)min ? g(?2) ? 5 , g(t)max ? g(?3) ? 10


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