【一本通】高考数学一轮复习 第5章 第32讲 向量的概念与线性运算课件 理_图文

uu u r uur uuu r 1.如图,在平行四边形ABCD中, AB ? CA ? BD ? uuu r CD uur uuu r uu u r 2.平面内有四边形ABCD和点O,若OA ? OC ? OB ? uuu r OD则四边形ABCD的形状是 平行四边形 uur uuu r uu u r uuu r uur uu u r uuu r uuu r 解析: OA ? OC ? OB ? OD ? OA ? OB ? OD ? OC uur uuu r ? BA ? CD 即AB / /CD,故四边形ABCD是平行四边形. 3.平面向量a,b共线的充要条件是 _____ . ④   (填写正确序号) ①a,b方向相同; ②a,b两向量中至少有一个为零向量; ③存在? ? R,b ? ? a; ④存在不全为零的实数?1,?2使得?1a ? ?2b ? 0 4.一架飞机向西飞行100 km,然后改变方 向向南飞行100 km,则飞机两次位移的和 100 2km 为__________________ uuu r uuu r uuu r 解析:如图所示, AC ? AB ? BC uuu r 所以 AC =100 2,方向为西南方向. uuu r uuu r uuu r 1 uur uur 解析:因为 AD ? 2 BD, CD ? CA ? ? CB 3 uuu r uur uuu r uur 2 uuu r 则CD ? CA ? AD ? CA ? AB 3 uur 2 uur uur ? CA ? (CB ? CA) 3 1 uur 2 uur ? CA ? CB 3 3 uuu r uuu r 5.在V ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD ? 2BD, uuu r 1 uur uur 2 CD ? CA ? ? CB则? ? 3 3 平面向量的概念 【例1】 下列各命题中,真命题的个数为 ________ . uu u r uuu r ①若 AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形; ②若 | a | = b ,则a=b或a=-b; ③若a=b,b=c,则a=c; ④若a / / b,b / / c,则a / / c. 【解析】①正确. ②不正确,因为两向量相等必须大小 相同且方向相同,模相等是向量相等 的必要不充分条件. ④不正确,当 b = 0 时, a∥c 不一定成 立. ③正确. 答案:2 向量的相关概念较多,且容易 混淆,所以在学习中要分清,理解各 概念的实质.注意向量相等应满足的 两个条件:①模相等;②方向相 同.还要注意零向量的特殊性,尤其 是判定向量共线时不要忽略零向量. 【变式练习1】 ④ 下列命题中正确的有_______. ①单位向量都相等; ②长度相等且方向相反的两个向量不一定 是共线向量; ③若非零向量a,b满足|a|=|b|,且a与b同向, 则a>b; ④对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|. 向量的线性表示 【例2】 如图所示,D、E分别是?ABC的边AB、AC 的中点,M 、N 分别是DE、BC的中点.已 知BC=a, BD=b,试用a、b分别表示DE、 CE 和MN . 1 【解析】由三角形的中位知DE / / ? BC, 2 1 故DE= BC, 2 1 即DE= a.所以CE= CB+BD+DE 2 1 1 =-a+b+ a=- a+b, 2 2 1 1 MN=MD+DB+BN= ED+DB+ BC 2 2 1 1 1 =- a-b+ a= a-b. 4 2 4 用已知向量来表示另外一些 向量,是用向量解题的基本功, 除综合利用向量的加、减法运算 及数乘向量外,还需要充分利用 平面几何中的一些定理. 【变式练习2】 平行四边形ABCD中,M 、N 分别为 DC、BC的中点.已知AM=c, AN=d, 试用c,d 表示AB和AD. 【解析】如图.设AB=a, AD=b,则由M 、N 1 1 分别为DC、BC的中点可得DM= a, BN= b. 2 2 在 ABN 和 ADM 中, 2 1 ? ? a ? ? 2d ? c ? a? b?d ? ? ? ? 3 2 可得? ,解得? .   ?b ? 1 a ? c ?b ? 2 ? 2c ? d ? ? ? ? 2 3 ? 2 2 所以, AB= (2d-c ), AD= (2c-d ). 3 3 向量共线 【例3】 设a,b是两个不共线的非零向量. OA= 3a+b, OA=a- 3b, ?1? 若OA=2a-b, 求证:A、B、C 三点共线; ? 2 ? 若8a+kb和ka+2b共线,求实数k的值. 【解析】 (1)证明:因为AB=(3a+b)-(2a-b) =a+2b, BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB, 所以 AB、 BC共线. 又AB、BC有公共点B,所以A、B、C三点共 线. (2)因为8a+kb和ka+2b共线, 所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b), 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0. 因为a与b不共线, 所以, 解得λ=±2, 所以k=2λ=±4. 本题从正反两方面考查了向量共 线的充要条件,即b与非零向量a共线, 则必存在唯一实数 λ ,使 b = λa ;若 b = λa(λ∈R) ,则 b 与 a 共线.三点共线 问题可利用向量共线的充要条件来解 决. 【变式练习 3】 若a,b是两个不共线的非零向量,t ? R. 若a与b起点相同,t为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在一直线上? 3 1 【解析】设a-tb=?[a- (a+b)], 3 2 ? 得a-tb= ? a- b, 3 3 3 ?2 ? ? ?1 ?? ? ? ?3 ? 2, 因为a,b不共线,所以? ,所以? ??t ? ? ? ?t ? 1 ? ? 3 ?

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