(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第20课 函数的图象及其变换课件 文


考纲要求

1.掌握图象变换的规律. 2.利用函数的图象来研究函数的性质.

知识梳理
1.平移变换: 原函数 图象变换 (a ? 0) 向左平移 a 个单位 向右平移 a 个单位 向上平移 a 个单位 向下平移 a 个单位 变换后的函数

y ? f ( x)
y ? f ( x) y ? f ( x) y ? f ( x)

y ? f ( x ? a)
y ? f ( x ? a) y ? f ( x) ? a y ? f ( x) ? a

2.对称变换: 函数 A 函数 B 图象间的对称关系 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 关于直线 x ? a 对称

y ? f ( x) y ? f ( x) y ? f ( x)

y ? ? f ( x)

y ? f (? x) y ? ? f (? x)

y ? f ( x)

y ? f (2a ? x)

3.翻折变换: 原函数 图象变换过程 作 y ? f ( x) 的图象,将图象 位于 x 轴下方的部分以 x 轴 为对称轴翻折到 x 轴上方, 其余部分不变. 作 y ? f ( x) 在 y 轴上及 y 轴 右边的图象部分,并作 y 轴 右边的图象关于 y 轴对称的 图象. 变换后的 函数

y ? f ( x)

y ? f ( x)

y ? f ( x)

y ? f (| x |)

4.具有对称性的抽象函数: 函数 f ( x) 对于定义域中的任意 x ,都有

a?b ① f (a ? x) ? f (b ? x) ,则 f ( x) 关于直线 x ? 对称. 2 a?b ② f (a ? x) ? ? f (b ? x) ,则 f ( x) 关于点 ( , 0) 对称. 2

基础自测
1. 2012 江门一模) ( 已知函数 f ( x) ? lg | x | , ? R 且 x ? 0 , x 则 f (x) 是( )

A.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 B.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 C.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减 D.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减
【答案】B

2.函数 y ? ? x ? b 与 y ? b ( b ? 0 且 b ? 0 )的图象可能是 ( )
x

y
1 O 1

y

x
O

O

x
B O

A

y
1 O

y
1

x
O

O

x
O

C

D

【答案】B 【解析】∵直线的斜率 k ? ?1 ? 0 ,∴排除 C、D. ∵由 A、B 的图象可知 y ? b 中的 b ? 1,
x

∴直线 y ? ? x ? b 在 y 轴上的截距大于1 ,∴B 正确.

典例剖析
考点1 作图

【例 1】作出下列函数的图象: (1) y ? 2
x ?1



(2) y ? log 2 x ; (3) y ? x ? 2 x .
2

【解析】(1)先作出 y ? 2 的图象,
x

y
1 O
图1

如图 1 中的虚线部分,然后将图象 向左平移 1 个单位,即得到所求图象. 如图 1 所示的实线部分.

x

(2)先作出 y ? log 2 x 的图象, 然后将 x 轴下方的部分以 x 轴为 对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分不变. 如图 2 所示的实线部分.

y

O

1

x

图2

(3)先作出 y ? x ? 2 x ( x ? 0) 的图象,
2

利用该函数为偶函数作出其余部分图象, 如图 3 所示的实线部分.

y
O -2 -1 1 2

x

图3

【变式】作出下列函数的图象: (1) y ? log 2 (1 ? x) ;

2x ?1 (2) y ? . x ?1

【解析】(1)先作出 y ? log 2 x 的图象, 如图 4 中在第一、四象限的虚线部分, 再作出 y ? log 2 x 关于 y 轴对称的图象,

y

-1 O
即 y ? log 2 (? x) 的图象,如图 4 中在 第二、三象限的虚线部分, 最后将 y ? log 2 (? x) 的图象向右平移 1 个单位, 便得到 y ? log 2 (1 ? x) 的图象, 如图 4 所示的实线部分.
图4

1

x

2 x ? 1 2( x ? 1) ? 3 3 (2) y ? , ? ? 2? x ?1 x ?1 x ?1 3 ∴先作出 y ? ? 的图象,如图 5 中的虚线部分, x
然后将图象向左平移 1 个单位,向上平移 2 个单位, 即得到所求图象.如图 5 所示的实线部分.

y

O

x

图5

考点2 识图

【例 2】在同一坐标系中画出函数 y ? log a x, y ? a , y ? x ? a 的
x

图象, 可能正确的是(



【答案】D 【解析】 y ? x ? a 在 B、C、D 三个选项中对应的 a ? 1 , 只有选项 D 的图象正确.

【变式】 (2012 东城一模)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)(其中

a ? b )的图象如下图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是
( )

y
f ( x)

?1
O

1

x

y
1

y
1

O x
A.

O
B.

x y
1

y
1

O x
C.
【答案】A 【解析】由图可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,故选 A.

O
D.

x

考点3 函数图象的应用

【例 3】已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 .
2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间,并指出其增减性; (2) 求 x ? 4 x ? 3 ? a ? 0 有 4 个不相等的实数根,求实数 a
2

的范围.

?( x ? 2) 2 ? 1,??? x ? ( ??,1] ? [3, ??), ? 2 【解析】 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ? ? 2 ? ?( x ? 2) ? 1,??? x ? (1,3). ?
作出图象如图所示.

y

1
O 1

2 3

x

O O (1)递增区间为 [1, 2] , [3, ??) ,递减区间为 (??,1] , [2,3] . (2)由图象可知, y ? f ( x) 与 y ? a 图象要有四个不同的交点, ∴实数 a 取值的范围 0 ? a ? 1.

【变式】 (2012 四校联考)若关于 x 的方程 4 ? x ? kx ? 2 只有一个
2

实数根,则 k 的取值范围为( A. k ? 0 B. k ? 0 或 k ? 1 C. k ? ?1 或 k ? 1 D. k ? 0 或 k ? ?1 或 k ? 1



【答案】D 【解析】作出 y ? kx ? 2 和 y ?

4 ? x 2 的图象,

y

-2 -1 O

1

2

x

从图中可以看出: k 的取值范围应选 D. 注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法. .

归纳反思
1.要熟练掌握最基本的一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数、幂函数的图象. 2.作函数图象应首先考虑函数是否具备奇偶性.


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