新人教版必修1第2章第3节对数运算性质的应用_换底公式_图文

复习回顾
对数的运算性质
如果a > 0, a ? 1, M

0, N > 0, 那么
可推广到n个

⑴ log a ( MN ) ? log a M ? log a N

M ? log a M ? log a N ⑵ log a N

n log M ? n log a M (n ? R) ⑶ a

①简记为:“积的对数 = 对数的和” “商的对数 = 对数的差” “n次方的对数 = 对数的n倍” ②注意公式的正用和逆用 ③注意底数和真数的取值范围

热身训练
求下列各式的值:

1. lg 2 ? lg 5 ? 1

2. log5 10 ? log5 2 ? 1

3. log3 1 ? log3 3 ? log3 27 ? 4
能把不同的底换成相同的底吗?
1. log2 3与 log 4 9 之间的关系如何?
解:设 x = log4 9, 则 4x = 9,
x

即 22x = 32,

\ 2 = 3, \ x = log2 3. \ log2 3 = log4 9.
2. 一般情况如何呢?

即 loga N 是否可以换成以c为底的对数呢 ?

新课讲授
换底公式:

logc N loga N = logc a
N = p
p

(a, c > 0且a, c ? 1, N

0)

证明: 设 loga

由对数的定义得:N

=a

p

? logc N

logc a ? logc N p logc a log c N log c N 即 log a N ? ? p? log c a log c a
把不同底换成同底

选底有什么要求吗? 公式有什么作用?
任意选,只要底有意义就行

换底公式的推论1:

n loga m N = loga N m
n

(a > 0且a ? 1, N 0, m 0)
n

loga m 证明: 取以a为底的对数得:
n n loga N = loga N m m loga a n n loga N 即 loga m N = m
n

N

loga N n = = m loga a

系数是怎么构成的? 系数可以放在其它地方吗?
n m

n loga m N = loga N = loga N m

= log

m an

N

换底公式的推论2: 1 loga b = logb a

(a, b > 0且a, b

1)

log b b 证明: 取以b为底的对数得:log a b ? log b a 1 ? logb b ? 1, \ loga b = logb a
变形为

loga b ?logb a

1

注意:公式的正用和逆用。
真数和底数的取值范围。

范例讲解
例 1. log 3 4 鬃 log 4 5 log5 8 ?log 8 9

底不同,怎么办?
lg 4 lg 5 lg 8 = × × lg 3 lg 4 lg 5 lg 9 = log3 9 = = lg 3

怎么换底?
lg 9 × lg 8

解: log 3 4 鬃 log 4 5 log5 8 log 8 9

log 3 32 = 2

多个对数相乘,若前一个对数的真数是后一 个对数的底数,则积是以第一个对数的底数 为底数,最后一个对数的真数为真数的对数。

例 2. 解方程 : log 3 (x - 1) = log9 (x + 5) .
1 解 : log9 (x + 5) = log 32 (x + 5) = 2 log3 (x + 5).

\ 原方程化为 2 log3 (x - 1) = log3 (x + 5) ,
即 log 3 (x - 1)2 = log 3 (x + 5) ,

\

ì x - 1> 0 ? ? ? ? íx + 5> 0 ? 2 ? ( x 1) = x+ 5 ? ? ?

解得x = 4
注意:底数和 真数的范围。

\ 原方程的解为x = 4.

例 3. 已知 a, b, c > 0, 且3a = 4b = 6c , 2 1 2 求证 : + = a b c
证明 : 设3a = 4b = 6c = N , 由对数定义得 a = log3 N , b = log4 N , c = log6 N ,
2 1 2 1 = 2 logN 3 + logN 4 + = + a b log3 N log4 N

= logN 3 + logN 4= logN (9 4) = logN 36 = 2 logN 6
2

2 2 而 = c log6 N

= 2 logN 6

2 1 2 \ + = . a b c

课堂练习
1. 设 log3 4 鬃 log4 8 log 8 m = log 4 16, 求m 的值.

2. 解方程 : log5 (x + 1) = log 1 x .
5

3. 若x , y , z > 0, 且 3 = 4 = 6 , 1 1 1 求证 : = . z x 2y

x

y

z

1. 设 log3 4 鬃 log4 8 log 8 m = log 4 16, 求m 的值. 解 : log3 4 鬃 log 4 8 log 8 m = log 4 16

lg 4 lg 8 lg m 2 × × = log 4 4 lg 3 lg 4 lg 8 lg m = 2 lg 3

log3 m = 2

\ m= 9

2. 解方程 : log5 (x + 1) = log 1 x .
5

1 log5 x = log5 . x 1 \ 原方程化为 log5 = log5 (x + 1)
- 1

解 : log 1 x = log - 1 x = - log5 x = 5
5

x

ì x + 1> 0 ? ? ? ? x> 0 ? \ í ? 1 ? ? = x+1 ? ? ?x
\ 原方程的解为x =

解得x =

5- 1 2

5- 1 . 2

注意:底数和 真数的范围。

3. 若x , y , z > 0, 且 3x = 4y = 6z , 1 1 1 求证 : = . z x 2y
证明 : 设3x = 4y = 6z = N , 由对数定义得

x = log3 N , y = log4 N , z = log6 N ,
1 1 1 1 = z x log6 N log3 N

= logN 6 - logN 3
1 2

6 = logN 2. = logN 3

1 1 1 = logN 4 = logN 4 而 = 2 2y 2 log4 N 1 1 1 \ = . z x 2y

= logN 2.

归纳小结
1.换底公式

logc N loga N = logc a

(a, c > 0且a, c ? 1, N

0)

2.换底公式的两个推论 n n (1). loga m N = loga N m

(a > 0且a ? 1, N 0, m 0)

1 (2). loga b = logb a
变形为 loga b ?logb a

(a, b > 0且a, b

1)

1

3.注意公式的正用和逆用。 4.注意底数和真数的范围。

训练
1.求 log2 3 鬃 log3 7 log7 8 的值.

2.求 9

log3 x

- 7

log49 x 2

- 12 > 0 的解集.

已知f (x ) = x 2 + (lg a + 2)x + lg b, f (- 1) = - 2, 当x ? R 时f (x ) 2x 恒成立,

求实数a的值, 并求此时f (x )的最小值 ?


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