安徽省芜湖一中2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题

芜湖一中 2011—2012 学年第二学期期中考试

高二数学(理科)试卷
一、选择题(10 小题,每题 3 分,共计 30 分) 1. 下列命题中,不是真命题的是( ) A.“若 b 2 ? 4 a c ? 0 ,则一元二次方程 a x 2 ? b x ? c ? 0 有实根”的逆否命题 B.“四边相等的四边形是正方形”的逆命题 C.“ x 2 ? 9 ,则 x=3”的否命题 D.“对顶角相等”的逆命题 2. 已知 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是( ). A.1 3. B.
1 5

C.
2 , 0 ), Q (0,

3 5

D.

7 5

经过两点 P ( ? 2 A. x
2

5)
y
2

的椭圆标准方程( C. x
2

).
?1

?

y

2

?1

B. x

2

?

?1

?

y

2

D. x ).

2

?

y

2

?1

8

5

5

8

16

9

16

18

4.

抛物线 x 2 A. 8

? ay

的准线方程是 y=2,则实数 a 的值为( C.
1 8
2

B. -8

D.
2

?

1 8

5.

若 a,b 是实数,则“a>b>0”是 a >b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要 条件 D.既不充分也不必要条件 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x
2

6.

? y ? 1 上,顶点
2

A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外

3

一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A. 2 3 B.6 C. 4 3 7. 已知 p: | 3 x ? 4 |? 2 ,q: A.充分不必要条件 C.充要条件 8. 设坐标原点是 O,抛物线 y 2 A. 9.
3 4

) 。 D.12 )

1 x ? x?2
2

? 0

,﹁p 是﹁q 的(

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 2x

与过焦点的直线 l 交于 A、B 两点,则 O A ? O B 等于( C. 3 D. -2

??? ??? ? ?

).

B.

?

3 4

命题“ ? x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( ) 3 2 A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 B. ? x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 3 2 C. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 D. ? x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

10. 已知双曲线 ( ). A.
3 6 5

x

2

?

y

2

F ? 1 的焦点为 F1、 2,点

M 在双曲线上,且 M F1

? x

轴,则 F1 到 F2M 距离是

6

3

B.

5 6

6

C.

6 5

D.

5 6

二、填空题(共 5 小题,每题 4 分,共计 20 分)

11. 已知 P 为椭圆 x 是 . 2 12. 与双曲线 x ? 2 y 2

2

?

y

2

? 1 上一点,F1、F2

是椭圆的两个焦点, ? F1 P F 2

? 6 0 ? ,则△F1PF2

的面积

25

9

? 2

有共同的渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程为
? ??? ? ? ???? ? a, O B ? b, O C ? c ???? ? 的中点,则 M N 等于 ??? ?

.
M A O E

O

13. 如 图:空间四边形 OABC 中, O A ? 且 OM=2MA,点 N 为 BC 14. 抛物线 y
2

, ,点 M 在 OA 上, . .

C N

? x

上的点到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离最小的点的坐标是

B

15. 设 p:方程 x 2 ? 2 m x ? 1 ? 0 有两个不等的正根;q:方程 x 2 ? 2 ( m ? 2 ) x ? 3 m ? 1 0 ? 0 无实数根, 则使 p 或 q 为真,p 且 q 为假的实数 m 的取值范围是 三、解答题(5 题,共计 50 分) ,应有适当的解题过程。 16. (本题 8 分)已知命题 p: lg ( x 2 ? 2 x ? 2 ) ? 0 ;命题 q: | 1 ? 题,求实数 x 的取值范围.
x 2 |? 1 .若

. p 是真命题,且 q 是假命

17. (本题 8 分)已知点 A(-1,0),B(1,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 2,求 点 M 的轨迹方程,并指出该轨迹曲线的离心率.

18. (本题 10 分)已知椭圆 C: x 2 ? 4 y 2

? 16

,点 M(2,1).

(1)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (2)求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程.

19. (本题 12 分)如图,在棱长 是 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F,G 分别是 DD1, BD,BB1 的中点. (1)求证:EF⊥CF; D1 (2)求 EF 与 CG 所成的角的余弦值; (3)求三棱锥 G-CEF 的体积.
E A1A
[来源:ZXXK]

C1

B1 D A F B A G C A

A

20. (本题 12 分) 已知抛物线 y 2 在 AB 上,又 O D
? AB

直线 ? ax (a ? 0) ,

l 与抛物线交于 A、 且 O B, A

O ? B

,点 y D ? 1, 2 ?
A D O B

.

x

(1)求直线 l 的方程; (2)求 a 的值; (3)求△OAB 的面积.

高二数学理科参考答案 一、选择题(10 小题,每题 3 分,共计 30 分 ) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 C 10
[来源:Zxxk.Com]

C

二、填空题(共 5 小题,每题 4 分,共计 20 分) 11.
3 3

12. 15.

y

2

?

x

2

?1
[ 1, 3) ?

13. .

?

2

4
( ? ? , ? 2? ]

2 ? 1 ? 1 ? a? b? c 3 2 2

.

14. (1,1)

三、解答题(5 题,共计 50 分) ,应有适当的解题过程。 16.(本 题 8 分) 解:由 lg ( x 2 ? 2 x ? 2 ) ? 0 得: x 2 ? 2 x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 3 或 x ? ? 1 ????2 分 由| 1 ?
x 2 |? 1 得: 0 ? x ? 4 ??????????4

分 分

因为 p 为真命题,q 为假命题,则 ? x ? 3 或 x ? ? 所以
x ? 4

? 1 ??????6

? x ? 4或 x ? 0

或x ?

? 1 ??????? ????8



17.(本题 8 分) 解:设点 M(x,y) ,则
k AM ? y x ?1

, k BM 得

?

y x ?1

( x ? ? 1)

??????2 分

由 k AM

? k BM ? 2

y y ? ? 2 ?????????4 x ?1 x ?1



2x ? y ? 2
2 2

??????????5 分
y
2

所以 M 点的轨迹方程是: x 2 ? 此双曲线的离心率是: e ? 18.(本题 10 分) 解: (1)由 x 2 ? 4 y 2
? 16
3

? 1 ( x ? ? 1 )??????6



2

???????????8 分



x

2

?

y

2

?1

16
a ? 4, b ? 2, c ? 2 3

4

????????2 分
3,) 和 ( -2 3,)??????3 0 0

所以 焦点坐标是 2 ( 离心率 e ?
3 2



????????????????????4 分

(2)显然直线不与 x 轴垂直,可设此直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2 ) ,且它与椭圆的交点分别 为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 ? x1 ? 所以: ( x1 ? x 2 )( x1 ? 又 所以: k
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? k
2 2

? 4 y1 ? 1 6
2 2

??????????????6 分 分
[来源:Z§xx§k.Com]

? x2 ? 4 y2 ? 16

x 2 ) ? 4 ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 0 ???????????8

, x1 ? x 2

? 4, y 1 ? y 2 ? 2

???????????????9 分

? ?

1 2

, 直线方程为:y ? 1 ?

?

1 2

( x ? 2 ) ????????????????

D1

C1

10 分 19.(本题 12 分)
A1A D A A

E B1 G F B C A

解:建立如图所示的坐标系,则 E (0 , 0 , 1 ), F ( 1 , 1 , 0 ), C (0 ,1, 0 ), G (1,1, 1 ) ??1 分
2 2 2 2

(1)

??? ? ? 1 1 1 ??? 1 1 E F ? ( , , ? ) , C F ? ( , ? , 0 ) ???????2 2 2 2 2 2 ??? ??? ? ? 1 1 ?CF ? ? ? 0 ? 0 4 4 ??? ??? ? ? 所以: E F ⊥ C F



因为: E F

???????3 分

即:EF⊥CF??????????4 分 (2)因为: C G
???? 1 ? (1, 0, ) 2

??? ???? 1 1 ? 1 EF ?CG ? ? ? 2 4 4

????????5 分
1 4 3 2 ? 5 2 ? 15 15

所以:

??? ???? ? ??? ???? ? EF ?CG ? co s E F , C G ? ??? ???? ? | E F || C G |

????????7 分

即:EF 与 CG 所成角的余弦值是 (3)CF⊥平面 EFG,且 CF= S△EFG= 1 ? 1 ? 1
2 2 ? 1 4
? 1 3 ? 2 2 ? 1 4 ? 2 2

15 15

?????????????8 分

,????????????9 分

?????????????????10 分
2 24

VG-CEF=VC-EFG= 1 C F ? S △ E F G
3

??????????12 分

20. (本题 12 分) 解 (1) 因为 O D 直线 l 为:
? AB

,

kOD

=2,所以

k AB ? ?

1 2

y A D O B x

y?2 ? ?

1 2

( x ? 1) ????????3 分

即x ? 2y ?5 ? 0

(2)由 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 得, y 2 ? 2 a y ? 5 a ?
? y
2

? 0 ??????????5

? ax

分 设
y1 ? y2 ? 2 ?, a

A(x1
1



y1)



B



x2



y2





y

????????6 分 ? y5 ? a 2
y1 y 2 ? 0

由 O A ? O B 得 x1 x 2 ? 又
x1 x 2 ? 1 a
2

????????????????????7 分

( y 1 y) ? 2
2

2 5

所以: 2 5 ? 5 a

?0

即 a=5??????????????????????8 分
y 2 ? ? 1 0, y1 y 2 ? ? 2 5

(3)由(2)知 y1 ?

????????????????9 分

所以

| y1 ? y 2 |?

( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 1 0
2

2

| A B |?

1 ? 4 | y1 ? y 2 |? 1 0 1 0

??????????????????? 10


S △ OAB ? 1 2 | O D | ? | A B |? 1 2 ? 5 ?1 0 1 0 ? 2 5 2

??????????????

12 分


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