汕尾市2013届高中毕业生第二次综合测试(理科数学)试卷


汕尾市 2013 届高中毕业生第二次综合测试 数
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后, 用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: (1)样本数据 x1,x2,?,xn 的标准差: (3)锥体体积公式: V ?

学(理科)试题

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

1 Sh 3

s?

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

其中 S 为底面面积、h 为高 (4)球的表面积、体积公式:

其中 x 为样本平均数 (2)柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

4 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ部分

选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.请把答案填在答题卡上. 1. 已知命题 p、q 均为真命题,则下列命题中的假命题是( ) A. p 或 q B. p 且 q C. ? p 且 q D. ? p 或 q 2.设全集U ? R , A ? {x | x ? 3x ? 0}, B ?{x |lg x ? 0} ,则图中阴影部分表示的集合为 (
2

)

A. {x | x ? 1} 3.向 量 a ? (1,x ) , ? b

B. {x | 0 ? x ? 3}

C. {x | 0 ? x ? 1}

D. ?

?

?

? ? ( , ,)则 “ x ? 2 ”是 “ a ∥ b ”的 ( ) x 4
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
开始
S ? 0, i ? 1, a ? 1
S?S?a

A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 4. 函数 y ?

(第 2 题)

x?

1 的定义域为( ) lg( x ?1)
C.[0,1) D.(0, ??)

A.(1, ??)

B. (1, 2) ? (2, ??)

i ? i?1 a ? a?i ? S

结束
输出 i

5.如图所示程序框图,输出结果是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 否

a ? 500?
第 5 题图



-1-

6.已知 a ?

?

e

1

1 ( ? 1)dx, 函数 y ? a x ? b x (a ? b) 是奇函数,则函数 y ? logb x 是( ) x
B.减函数 C.常数函数 D.增函数或减函数

A.增函数

7.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、 俯视图如图所示, 则其侧视图(左)视图为 ( )

正(主)视图 俯视图 C D b c d 8.对于复数 a、、、 ,若集合 S ? {a,,, } 具有性质: “对任意 x, ? S ,都有 xy ? S ” ,则当 b c d y ?a ? 1 ? 2 ?b ? 1 时, (cd )b 的值是 ( ) ?c 2 ? b ? A. 1 B. ?1 C. i D. ?i

A

B

第Ⅱ部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请把答案填在答题卡上。 (一)必做题 (9~13 题) 9.设 g ( x ) ? ?

?e x ( x ? 0) ?ln x ( x ? 0)

,则 g ( g (0)) ? _________.

10. 已知圆 C 的方程为:( x ? 2) ? y ? 25 , 则过 M (0,1) 的圆 C 的对称轴所在的直线方程为
2 2

.

11. 已知某随机变量 ? 的概率分布列如右表,其中

xi
.

1

2

3

x ? 0, y ? 0 ,则随机变量 ? 的数学期望 E? ?

P( ? ? xi ) x

y

x

12.不等式 2 | x | ? | x ? 1|? 4 的解集为

.

13.如图所示:有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移 到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片; (2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面.将 n 个金属片从 1 号针移到 3 第 13 题图 号针最少需要移动的次数记为 f ( n) ; 则: (Ⅰ) f (3) ? (Ⅱ) f ( n) ? . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,若两题全答的,只计 14 题的得分。 ) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? 小值为 .
-2-

,则曲线 C 上的点到直线 ?

?x ? t ?1 ? ( t 为参数)距离的最 ? y ? 3t ?

15. (平面几何证明选做题) ? 已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上, 直线 CA 与圆 O 相切于点 A, ACB 的平分线分别交 AB 、

AE 于点 D 、 F ,则 ?ADF ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(? (Ⅰ)求 sin 2? ? tan ? 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数 y ? 3 f ( 大值及对应的 x 的值.

3 1 , ). 2 2

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 的最

17. (本小题满分 13 分) 甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛成绩记录如下: 甲: 78 乙: 90 76 70 74 75 90 85 82 80

(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)从甲乙两人成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (Ⅲ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说 明理由.

18. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且 PA=AD=1,AB=2, ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? . (Ⅰ)求证: DA ? 平面 PAB ; (Ⅱ) 求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值. D

C

A

B

P

-3-

19. (本小题满分 14 分) 已知 F (? 2,0), F2 ( 2,0) 为平面内的两个定点, 动点 P 满足 | PF | ? | PF2 |? 4 ,记点 P 的轨迹 1 1 为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)判断原点 O 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 R 是否在曲线 ? 包围的范围内?说明理由。 (注:点在曲线 ? 包围的范围内是指点在曲线 ? 上或点在曲线 ? 包围的封闭图形的内部。 ) (Ⅲ)设点 O 为坐标原点,点 A , B , C 是曲线 ? 上的不同三点,且 OA ? OB ? OC ? 0 . 试探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论。

??? ??? ??? ? ? ?

?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ) 讨论 f ( x ) 在区间 (0, e) 上的单调情况; (Ⅲ)试推断方程 2 x( x ? ln x) = 2 ln x ? x 是否有实数解。若有实数解,请求出它的解集。

21. (本小题满分 13 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2, S2 ? 8 (n ? N *) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列(如:在 a1 与 a2 之间插 入 1 个数构成第一个等差数列,其公差为 d1 ;在 a2 与 a3 之间插入 2 个数构成第二个等差数列,其 公差为 d2 ,?以此类推),设第 n 个等差数列的和是 An . 是否存在一个关于 n 的多项式 g (n) ,使得

An ? g (n)dn 对任意 n ? N * 恒成立?若存在,求出这个多项式;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 d1,d2,d3, ,dn, ,这个数列中是否存在不同的三项 dm,dk,d p (其中 ? ?
正整数 m,k,p 成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.

-4-


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