2016高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件:第二章函数.导数及其应用 6

第二章 函数、导数及其应用 第6节 二次函数与幂函数 1.了解幂函数的概念. 1 1 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2 的图像, 2 3 了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质. 4. 能用二次函数、 方程、 不等式之间的关系解决简单问题. [要点梳理] 1.二次函数 (1)定义 2+bx+c(a≠0) y = ax 函数_______________________________叫做二次函数. (2)表示形式 ax2+bx+c(a≠0) ①一般式:y=____________________ ; (h,k) a(x-h)2+k(a≠0) ②顶点式: y = _____________________ ,其中 _________ 为抛物线顶点坐标; ③零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1、x2是抛物线 与x轴交点的横坐标. (3)图像与性质 a> 0 a<0 图像 定义域 值域 对称轴 R 4ac-b2 y∈[ 4a ,+∞) R 4ac-b2 y∈(-∞, 4a ] b x=-2a 顶点坐标 奇偶性 ? b 4ac-b2? ?- , ? 2 a 4 a ? ? b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数 x∈(-∞,- b b )时是减函数; x∈(-∞,- )时是增函数; 2a 2a 单调性 x∈(- b b ,+∞)时是增函数 x∈(- ,+∞)时是减函数 2a 2a b 当 x=- 时, 2a 4ac-b2 ymin= 4a b 当 x=- 时, 2a 4ac-b2 ymax= 4a 最值 2.幂函数 (1)幂函数的概念 y=xα(α∈R) 形如_________________ 的函数称为幂函数,其中x是自变 量,α为常数. (2)常见幂函数的图像与性质 特征 函数 y=x 图像 或性质 y=x 2 y=x 3 y=x 1 2 y=x -1 图像 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) 奇偶性 奇 偶 x∈[0,+ ∞) 奇 非奇非偶 奇 x∈(0,+∞) 单调性 增 时,增 x∈(-∞, 0],减 增 增 时,减 x∈(-∞,0) 时,减 特殊点 (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (-1,-1) (-1,-1) (1,1) (-1,-1) 质疑探究:幂函数图像均过定点(1,1)吗? 提示:是,根据定义y=xα,当x=1时y=1α,无论α为何 值,1α=1. [ 基础自测] 1. 下面给出 4 个幂函数的图像, 则图像与函数的大致对应 是( ) 1 A.①y=x3 3 1 ,②y=x2,③y=x2 2 ,④y=x -1 B.①y=x ,②y=x 1 ,③y=x2 ,④y=x ,④y=x -1 1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x2 1 D.①y=x3 1 ,②y=x2 -1 ,③y=x2,④y=x -1 [ 解析] 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于 1,排除 A,D.图像②中幂函数是偶函数,幂指数必为正偶数,排除 C. 故选 B. [ 答案] B 2.函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要 条件是( ) B.m=2 D.m=1 2 A.m=-2 C.m=-1 [ 解析] m 函数 f(x)=x +mx+1 的图像的对称轴为 x=- , 2 m 且只有一条对称轴,所以- 2 =1,即 m=-2. [ 答案] A 3.(2015· 昆明模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R), 若 a=c,则函数 f(x)的图像不可能是( ) [ 解析] 由 A,B,C,D 四个选项知,图像与 x 轴均有交 点,记两个交点的横坐标分别为 x1,x2,若只有一个交点,则 c x1=x2,由于 a=c,所以 x1x2= =1,比较四个选项,可知选项 a D 的 x1<-1,x2<-1,所以 D 不满足.故选 D. [ 答案] D 4.若幂函数 y=(m2-3m+3) 则实数 m 的值为________. 的图像不经过原点, [ 解析] 2 ? m ? -3m+3=1 由? 2 ? ?m -m-2≤0 , 解得 m=1 或 2. 经检验 m=1 或 2 都适合. [ 答案] 1或2 5.给出下列命题: ①函数 y=2x 是幂函数. ②如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点. ③当 n<0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的减函数. ④二次函数 y = ax2 + bx + c , x ∈ [ m , n] 的最值一定是 4ac-b2 4a . ⑤关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 恒成立的充要条件是 ? ?a>0, ? 2 ? ?b -4ac<0. 其中正确的是( A.①③ C.③④ ) B.② D.④⑤ [ 解析] ①错误,不符合幂函数的定义. ②正确,因若相交,则 x=0 得 y=0;若 y=0,则得 x=0. ③错误,幂函数 y=x-1 在定义域上不单调. b ④错误,当-2a?[ m,n] 时,二次函数的最值,在区间端点 4ac-b2 达到,而非 4a . ⑤错误,由 ax +bx+c>0 因为 a 可以为 0. 2 ? ?a>0, 恒成立不一定有? 2 ? ?b -4ac<0, [ 答案] B 考向一 二次函数的图像与性质 例 1 (2015· 无锡模拟)已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[ - 4,6] . (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,

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